☉浙江省義烏市第二中學(xué) 龔輝斌

遵循“兩個尊重” 提高數(shù)學(xué)作業(yè)講評有效性

☉浙江省義烏市第二中學(xué) 龔輝斌

作為數(shù)學(xué)日常教學(xué)的重要組成部分，作業(yè)講評在促進(jìn)學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的理解、數(shù)學(xué)技能和方法的掌握、加速數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟等方面具有重要的意義.然而，我們發(fā)現(xiàn)，作業(yè)講評教學(xué)普遍存在以下問題：缺乏以學(xué)生作業(yè)的實際解答情況為講評出發(fā)點的意識，導(dǎo)致講評的針對性不強(qiáng)；目標(biāo)局限于單純的“糾錯”和“解惑”，導(dǎo)致講評的育人功能缺失……“數(shù)學(xué)是思維的科學(xué).”［1］數(shù)學(xué)作業(yè)講評是思維活動的講評.上述問題的存在，不利于激發(fā)和維持學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，不利于學(xué)生思維能力的和諧健康發(fā)展.為實現(xiàn)數(shù)學(xué)作業(yè)講評的有效性，筆者以為遵循“兩個尊重”至關(guān)重要.

一、“兩個尊重”的涵義

1.尊重學(xué)生的思維

尊重學(xué)生的思維，包括兩個方面：一是尊重由作業(yè)反映的學(xué)生的思維特點和思維規(guī)律.這就是說，既要積極評價學(xué)生作業(yè)中有效的、高品質(zhì)的數(shù)學(xué)思維活動，又要認(rèn)真分析可能存在的思維缺陷、不足和錯誤，這是作業(yè)講評不可或缺的環(huán)節(jié)；二是尊重學(xué)生伴隨講評教學(xué)的思維發(fā)展權(quán).作業(yè)講評的根本目的是發(fā)展學(xué)生的思維能力.講評教學(xué)并非單向的思維灌輸過程，而是在教師引領(lǐng)下學(xué)生對作業(yè)題再思考、對原解答再審視的過程，因而學(xué)生的思維活動占據(jù)了講評活動的重要成分，教師的“教”是為改進(jìn)學(xué)生的解答、提升學(xué)生的思維品質(zhì)服務(wù)的.總的來說，尊重學(xué)生的思維，要求我們既重視學(xué)生“作業(yè)中的思維”，又重視學(xué)生“課堂上的思維”，兩者互為聯(lián)系，并行不悖.

2.尊重數(shù)學(xué)的思維

尊重數(shù)學(xué)的思維，就是以具有普遍意義的、宏觀的數(shù)學(xué)思維方式作為作業(yè)講評的主旋律，以此引領(lǐng)學(xué)生糾正思維錯誤、彌補思維缺陷、開拓思維空間，幫助學(xué)生養(yǎng)成科學(xué)有效的思考習(xí)慣，形成對數(shù)學(xué)完整和深刻的認(rèn)識.

尊重數(shù)學(xué)的思維，是追求作業(yè)講評的高品位、強(qiáng)化思想性教學(xué)的必然要求.囿于就題論題的作業(yè)講評有可能導(dǎo)致學(xué)生思維的低層次徘徊.尊重數(shù)學(xué)的思維，就是以數(shù)學(xué)中思考問題、分析問題的一般方法引導(dǎo)學(xué)生的思維再起步，以高影響力的策略性知識促使學(xué)生思維的升華，克服常見的“只見步驟，不見思想”的傾向，從根本上提升作業(yè)講評的境界，為學(xué)生謀取長遠(yuǎn)的發(fā)展利益.

二、“兩個尊重”的落實

“兩個尊重”落實于具體的課堂教學(xué)，需要我們切實處理好數(shù)學(xué)方面和教育方面的關(guān)系，數(shù)學(xué)方面做到“內(nèi)容深刻、到位”，教育方面做到“形式科學(xué)、高效”.

1.作業(yè)批改環(huán)節(jié)了解學(xué)生思維中的突出問題，講評伊始展示有典型意義的作業(yè)解答

作業(yè)講評，與其說講教師所知道的，倒不如說講學(xué)生正需要的.學(xué)生的作業(yè)解答為教師了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀況提供了最全面、最深刻的材料.在作業(yè)批改環(huán)節(jié)，從尊重學(xué)生的思維出發(fā)，把了解學(xué)生的思維狀況放在突出的位置是講評教學(xué)有的放矢、實現(xiàn)高效優(yōu)質(zhì)的前提.為此，教師需要有“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的意識和能力.這就是說，我們不僅要看到學(xué)生作業(yè)中的顯性表現(xiàn)，更要窺探其背后的思維過程，并對其思維品質(zhì)作出恰當(dāng)?shù)脑u價.講評課上常見的“滿堂灌”、“無病呻吟”和“啟而不發(fā)”等不良現(xiàn)象，本質(zhì)上與教師課前了解作業(yè)反映的學(xué)生思維現(xiàn)狀不夠密切相關(guān).

尊重學(xué)生的思維，需要讓學(xué)生個體感受到老師對其思維活動的關(guān)注.具體地說，作業(yè)批改時，發(fā)現(xiàn)了學(xué)生作業(yè)中的思維閃光點，教師應(yīng)該及時用文字或符號給予熱情的評價，同時做好摘錄，以便在后來的課堂講評時與全班同學(xué)共享，并“發(fā)揚光大”；而對于學(xué)生思維中存在的問題，教師不應(yīng)該簡單地以“錯”、“壞”評價之，而應(yīng)該作出具體的分析.比如，作業(yè)中的一些錯誤表面上看與學(xué)生對知識的理解、技能的掌握有關(guān)，可能根本的原因還是不良的思維品質(zhì)和習(xí)慣，為此，教師作出簡短的點評和提示是必要的.

2.把數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵、數(shù)學(xué)方法的作用和數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)等作為講評的核心內(nèi)容，以此占據(jù)講評教學(xué)的制高點

“有些題目的難度是由題目本身和所用的數(shù)學(xué)方法決定的，倘若不從數(shù)學(xué)方法上下功夫，僅僅從教學(xué)方法的角度出發(fā)，學(xué)生學(xué)習(xí)起來仍然很辛苦.”［2］尊重數(shù)學(xué)的思維，要求教師圍繞學(xué)生的作業(yè)表現(xiàn)，以數(shù)學(xué)概念、方法和思想為載體，不僅把其中的思維講清楚，更要講深刻.史寧中先生指出，“一個學(xué)者或發(fā)明家得到的最后結(jié)論可能是非常完美，但頭腦中思考的是非常簡潔的東西.”［3］高層次的作業(yè)講評就是要讓學(xué)生學(xué)會像學(xué)者和發(fā)明家那樣簡潔地思維.

3.平衡“學(xué)”和“教”兩個方面的作用，追求作業(yè)講評效益最大化

遵循“兩個尊重”，要求我們緊緊圍繞“糾錯和解惑”這一短期目標(biāo)和“發(fā)展學(xué)生的認(rèn)識力和思維力”這一長期目標(biāo)，積極處理好學(xué)生的主體性和教師的主導(dǎo)性關(guān)系.

具體地說，一方面，作業(yè)講評要自始至終強(qiáng)調(diào)學(xué)生思維的實質(zhì)性參與，強(qiáng)化學(xué)生的思維體驗.實踐證明，學(xué)生糾正作業(yè)中的錯誤、克服作業(yè)中的困難并不能單純依靠他人的講授，而主要是一個思維引領(lǐng)和行為操作相結(jié)合的自我否定、自我發(fā)展的過程.事實上，不經(jīng)過思考的不是數(shù)學(xué)，作業(yè)講評給予了學(xué)生再學(xué)習(xí)再創(chuàng)造的機(jī)會.

另一方面，作業(yè)講評要充分發(fā)揮教師對數(shù)學(xué)理解深刻的優(yōu)勢，強(qiáng)化示范和引領(lǐng)作用.數(shù)學(xué)問題的復(fù)雜性、數(shù)學(xué)思維的抽象性和學(xué)生智力的局限性決定了單純依靠學(xué)生自己的努力往往很難取得根本性的糾錯和問題關(guān)鍵處的突破.教師必須抓住時機(jī)，理直氣壯、毫不含糊地以自己的理解力培養(yǎng)學(xué)生的理解力，以自己的思維力發(fā)展學(xué)生的思維力，體現(xiàn)教師的實質(zhì)性作用.例如，學(xué)生作業(yè)中的錯誤和困難常常源于數(shù)學(xué)的形式化特征.形式化的表達(dá)具有簡潔、深刻的特點，是一種文化繼承行為.然而，數(shù)學(xué)的形式化遠(yuǎn)離了學(xué)生的原有經(jīng)驗和生活實際，自然會給學(xué)生的理解和運用帶來困惑，造成學(xué)生作業(yè)中這樣那樣的錯誤和困難.如果教師不采取針對性的主導(dǎo)措施，學(xué)生可能永遠(yuǎn)也明白不了問題的本質(zhì)，走不出迷霧.

三、案例：一道“解含參不等式”作業(yè)的講評

學(xué)完了人教A版必修5第三章“不等式”，筆者在一次綜合練習(xí)中布置了下面的作業(yè)題

通過批改，發(fā)現(xiàn)了2種有代表性的（不正確）解答.講評伊始，利用投影儀，這2種解答展示如下：

課堂活動片段之一：用數(shù)學(xué)概念引領(lǐng)思維活動

師：解答1存在什么問題嗎？

教室很安靜，看來學(xué)生處于困惑之中.

師：請大家看一看它的推理過程.推理有問題嗎？

學(xué)生一致認(rèn)為推理沒有錯誤.

師：既然推理沒有錯誤，看來問題出在解題目標(biāo)的實現(xiàn)上.誰來說一說，“解不等式”的含義是什么？

課堂上請了一位采用解答1的學(xué)生A來回答.

生A：就是把滿足該不等式的x的值找出來.

師：是部分找出來，還是全部找出來？

生A：當(dāng)然是全部找出來.

師：解答1最終把滿足不等式的x值都找出來了嗎？

生A：哦，我明白了！我是分“x>2”和“x<2”這兩段來找的，我還應(yīng)該把這兩段內(nèi)的x值“并”起來.

師：你講得很對！先來看“x>2”這一段吧！那么，你把“x>2”這一段內(nèi)的x值找出來了嗎？

生A：好像還沒有.

師：“x>2”這一段內(nèi)的x要滿足什么條件？為此，你需要做點什么？

反思 批改作業(yè)時，筆者發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生的解答類似于上面的解答1.表面上看是學(xué)生的能力問題，其實，根本的原因還是學(xué)生對于“什么是解不等式”“解不等式的要求是什么”等常識性知識缺乏清晰的認(rèn)知.我們說數(shù)學(xué)是自然的，首要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)的思維是自然的，思維活動引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)方法也是自然的.要讓學(xué)生的思維自然起來，需要教師借助實例使學(xué)生感受到“從概念出發(fā)，就是按概念確定的規(guī)則辦事”和“數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)方法的源泉”，從而培養(yǎng)學(xué)生重視數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)和理解的好習(xí)慣.上面的教學(xué)中，學(xué)生一旦明白了“解不等式就是把滿足不等式的x值無一遺漏地找出來”，后續(xù)的“為什么要討論”、“何時討論”和“怎樣討論”等分類討論難題便迎刃而解.解題就像是一次遠(yuǎn)行，常常是數(shù)學(xué)概念決定了“要走怎樣的路”，以及“怎樣才算到達(dá)了目的地”.作業(yè)講評就是要讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維回歸自然，畢竟自然的思維是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的東西.

課堂活動片段之二：闡釋操作方法背后的數(shù)學(xué)思考

師：現(xiàn)在，我們來看解答2.采用這個解答的同學(xué)是怎么想的呢？

學(xué)生B不是一位采用解答2的學(xué)生，但他要求發(fā)言.

生B：我想，他是希望把這個不等式不斷地化簡.

師：是的.在解不等式時，我們經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)不等式中多個位置出現(xiàn)x的情形，x隱藏得很深，而解不等式的最終要求是寫出x的取值范圍，從這個角度來說，解不等式的過程其實是一個不斷化簡的過程.為此，解答2采取了“分離常數(shù)”、“求倒數(shù)”和“兩邊同乘以一個數(shù)”等一系列步驟，不斷朝著“確定x的取值范圍”的目標(biāo)前進(jìn)，這種方法是很合理的.

師：現(xiàn)在，請同學(xué)們仔細(xì)檢查一下這些步驟，操作過程有什么問題嗎？為什么？……

反思 數(shù)學(xué)方法常常表現(xiàn)為操作性步驟，數(shù)學(xué)方法的背后是數(shù)學(xué)思考.上面的講評，教師引導(dǎo)學(xué)生透過顯性的方法操作，闡釋其隱性的數(shù)學(xué)思考，并評析其合理性（或不合理性），這是保證學(xué)生思維參與并不斷深入、促使學(xué)生個體的思維向?qū)W生集體的思維轉(zhuǎn)化的教學(xué)形式，是大面積提高學(xué)生思維能力的有效舉措.從內(nèi)容上看，不同于解答1的講評，教師一針見血地指出“解不等式的過程是一個逐步化簡的過程”，這就點出了“分離常數(shù)”、“求倒數(shù)”和“兩邊同乘以一個數(shù)”等一系列步驟的思維出發(fā)點，是尊重數(shù)學(xué)思維的集中體現(xiàn).同時，也讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)觀的教育，即“數(shù)學(xué)就是追求簡單”.

課堂活動片段之三：用數(shù)學(xué)思想開啟新思維

師：本章，我們學(xué)習(xí)了一元二次不等式的解法.把陌生的、較難的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、較易的問題，是數(shù)學(xué)中常用的思維策略.請同學(xué)們想一想，可以把這個分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式來解嗎？

反思 抓住時機(jī)不斷推進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，是發(fā)揮作業(yè)蘊含的育人功能、體現(xiàn)教師主導(dǎo)性的重要方面.本題中，為幫助學(xué)生學(xué)會用聯(lián)系的觀點看待數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，提升思維水平，教師及時提出了數(shù)學(xué)思想方面（轉(zhuǎn)化思想）的“學(xué)”的要求，提高了課堂講評的思想性.不僅如此，教師還對不等式轉(zhuǎn)化過程中的具體思維形式（抽象概括）給予了總結(jié)和強(qiáng)調(diào)，從而把發(fā)展學(xué)生的抽象思維意識落到了實處.

1.單墫.數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)［J］.數(shù)學(xué)通報，2001（6）.

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3.史寧中.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的若干思考［J］.數(shù)學(xué)通報，2007（5）.

4.李邦河.數(shù)的概念的發(fā)展［J］.數(shù)學(xué)通報，2009（8）.