☉江蘇省東海縣安峰初級(jí)中學(xué) 郄利霞

凸顯核心
——初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的突破口

☉江蘇省東?？h安峰初級(jí)中學(xué) 郄利霞

數(shù)學(xué)教學(xué)，必須重視數(shù)學(xué)概念及其滲透的思想方法，即抓住核心概念和概念的核心來(lái)組織教學(xué)，揭示其蘊(yùn)含的思想方法.如果違背這個(gè)原則，僅僅把解題方法作為教學(xué)核心，以大量的練習(xí)題來(lái)應(yīng)對(duì)概念教學(xué)，強(qiáng)化概念的內(nèi)涵和外延，這在理解與做法上，都是片面的，教學(xué)是無(wú)效的.本文對(duì)概念教學(xué)中存在的缺失進(jìn)行探討，并對(duì)如何理解概念的本質(zhì)、構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)以及掌握數(shù)學(xué)思想方法等幾個(gè)方面，進(jìn)行全方位的探討，希望能給大家有所啟迪或借鑒.

一、忽視“核心”，數(shù)學(xué)概念教學(xué)的缺失

理解與掌握數(shù)學(xué)概念，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的前提與基礎(chǔ).從新知學(xué)習(xí)到鞏固應(yīng)用，從推理到判斷，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念不熟悉或模糊不清，就無(wú)法進(jìn)行，所以概念教學(xué)非常重要而必要.

目前比較常用的數(shù)學(xué)概念教學(xué)環(huán)節(jié)為：第一步，列舉數(shù)學(xué)最為熟悉的事例，或者設(shè)計(jì)前后知識(shí)的聯(lián)系，引入概念；第二步，學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行探討，形成概念；第三步，按定義舉出實(shí)例，讓學(xué)生舉出實(shí)例，明確概念；第四步，通過(guò)反例等對(duì)概念進(jìn)行辨析和鞏固，明晰概念；第五步，練習(xí)強(qiáng)化，把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，應(yīng)用與鞏固概念.

然而，教學(xué)中，個(gè)別老師卻認(rèn)為，上述環(huán)節(jié)中第五步是重心，即強(qiáng)化練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，其他如第一二步都是教學(xué)形式，可有可無(wú).這種認(rèn)識(shí)最終造成學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的來(lái)源與背景不清，對(duì)概念的形成過(guò)程沒(méi)有體驗(yàn)，無(wú)法適應(yīng)新的概念，也沒(méi)有完成同化或順應(yīng)、平衡，認(rèn)知上存在嚴(yán)重缺失.具體表現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：

1.缺少概念的形成過(guò)程，直接將數(shù)學(xué)概念的定義交給學(xué)生

如學(xué)生對(duì)“數(shù)的絕對(duì)值”概念的學(xué)習(xí)，已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)的正負(fù)性和數(shù)軸概念.教學(xué)實(shí)踐中，經(jīng)常有學(xué)生說(shuō)“負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是一個(gè)正數(shù)”或者“一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是去掉符號(hào)”或者“就是不考慮數(shù)的正負(fù)性”，從表面上來(lái)看，這些都是學(xué)生對(duì)原有定義的改組并用自己的語(yǔ)言表述了絕對(duì)值概念，但這種改組偏離了概念本身的內(nèi)涵，因此建立在這種表述上的認(rèn)識(shí)還不能算是正確的理解，因?yàn)楫?dāng)用字母來(lái)表示數(shù)時(shí)，用上述解釋就很難做出正確的判斷.由數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離來(lái)解讀數(shù)才是對(duì)數(shù)的絕對(duì)值概念的理解.課本例題如下：一輛汽車(chē)在東西方向的道路上行駛，規(guī)定向東為正，出發(fā)地為原點(diǎn)，然后來(lái)回地行駛，并最終停在某處，總共行駛了多少路程？這里就是絕對(duì)值的和，也就是無(wú)須考慮行駛方向.從本例出發(fā)來(lái)解析數(shù)的絕對(duì)值才真正有助于學(xué)生理解絕對(duì)值概念.“正數(shù)的絕對(duì)值是其本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是其相反數(shù)，零的絕對(duì)值是零”，讓學(xué)生掌握了求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的方法.

2.缺少概念建立的體系，無(wú)法理解概念

概念體系的建立，與新舊知識(shí)的關(guān)系較大，但個(gè)別教師缺少這個(gè)環(huán)節(jié).比如個(gè)別教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，往往會(huì)考慮某一點(diǎn)知識(shí)，可能出現(xiàn)“就事論事”或“見(jiàn)木不見(jiàn)林”的現(xiàn)象，沒(méi)有把知識(shí)體系當(dāng)成核心，圍繞這一核心去組織教學(xué).比如教學(xué)“0”的認(rèn)識(shí)，在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)，它表示“沒(méi)有”，有0個(gè)蘋(píng)果、0支鉛筆等，但在初中數(shù)學(xué)中的給“0”賦予了新的內(nèi)容，0不再表示沒(méi)有，也可能表示溫度為0℃；也可能表示海拔為0米.

3.忽視概念教學(xué)時(shí)的“核心”，沒(méi)有分清教學(xué)的主次

比如，在統(tǒng)計(jì)與概率相關(guān)概念的教學(xué)中，多停留在計(jì)算的層面，如“平均數(shù)”和“概率”等概念的教學(xué)，缺少對(duì)其相關(guān)數(shù)據(jù)的分析，實(shí)際上計(jì)算并非重點(diǎn)，對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)的分析才是本單元概念教學(xué)的重點(diǎn).

二、抓住“核心”，數(shù)學(xué)概念教學(xué)的突破口

1.把握“概念的核心”，讓學(xué)生理解概念本質(zhì)

恩格斯強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)就是關(guān)于客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”，所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要抓住關(guān)于空間形式與數(shù)量關(guān)系的關(guān)鍵點(diǎn)，即數(shù)學(xué)概念的核心，這是學(xué)好數(shù)學(xué)概念的前提.一般而言，把握數(shù)學(xué)概念的核心屬性，強(qiáng)調(diào)在問(wèn)題情境中，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，設(shè)置一系列與概念有關(guān)的問(wèn)題串，在探究中揭示概念的核心，去除影響概念核心的其他因素，從而理解概念的定義，理解其本質(zhì).

比如在教學(xué)“函數(shù)”這一概念時(shí)，其核心是“對(duì)應(yīng)”，并非“變化”.這一概念中，雖然十分注重“在某一過(guò)程中，存在兩個(gè)變量x與y”，然而概念的重點(diǎn)卻是“對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)”.如果抓不住“函數(shù)”的核心，沒(méi)有理解，學(xué)生頭腦中的概念就是“y=關(guān)于x的式子”.為此，教師可以提供一些實(shí)際問(wèn)題如腦電圖、統(tǒng)計(jì)表等，引導(dǎo)學(xué)生填表、列關(guān)系式等，認(rèn)識(shí)問(wèn)題中的變量、常量，歸納出這些問(wèn)題中“兩個(gè)變量”所具有的共同特征，即兩個(gè)變量互相作用，當(dāng)其中一個(gè)變量取一個(gè)確定的值，另一個(gè)變量有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng).通過(guò)諸多對(duì)應(yīng)關(guān)系的強(qiáng)化，學(xué)生對(duì)概念的核心才能正確地把握.

再比如，教學(xué)“隨機(jī)事件”這一概念，其核心是“結(jié)果不確定”，并非“不知道結(jié)果”.教師可以多舉實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其核心進(jìn)行理解，如“火星上有沒(méi)有人”這句話不是“隨機(jī)事件”，原因是“結(jié)果不確定”——火星上“或者有人，或者沒(méi)有”，只是我“不知道結(jié)果”，沒(méi)有任何的隨機(jī)性，這是未知事件.如“判斷硬幣正面向上還是反面向上”這個(gè)問(wèn)題，如果“在沒(méi)有擲以前”，這是隨機(jī)事件，因?yàn)椤敖Y(jié)果不確定”；如果“擲完了后蓋住讓其他人猜”，就不是隨機(jī)事件，要扣住核心“結(jié)果不確定”，不能因?yàn)榉呛诵牡囊蛩亍拔也恢澜Y(jié)果”而判斷失誤，其實(shí)“結(jié)果已確定”，只是“我不知道結(jié)果”而已.

2.突出“核心的概念”，讓學(xué)生構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)

突出“核心的概念”，即在教學(xué)中，要正確把握和區(qū)分重要的概念和次要的概念，如果一節(jié)課中涉及的概念不只一個(gè)，教師不要平均用力，明確哪個(gè)概念是同化性概念，哪個(gè)是形成性概念，哪個(gè)概念對(duì)本節(jié)課有引領(lǐng)作用等，否則顧此失彼，對(duì)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建有較大的影響.

同樣，在一章節(jié)中可能涉及多個(gè)概念，教師也必須確定概念在本章的地位，哪些概念有著“領(lǐng)袖”作用，分清主次，從而為確立教學(xué)重點(diǎn)打好基礎(chǔ).在教學(xué)中突出這些核心的概念，提高學(xué)生分析與解決問(wèn)題的能力.

如在學(xué)習(xí)《二元一次方程組》時(shí)，一位教師設(shè)置問(wèn)題的方法很值得我們學(xué)習(xí).

問(wèn)題1：假如你手里有一根長(zhǎng)為20 cm的鐵絲，將它首尾相接成一個(gè)正方形，這樣的正方形唯一確定嗎？（已知區(qū)）

問(wèn)題2：若將它圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，這樣的長(zhǎng)方形唯一嗎？（最近發(fā)展區(qū)）

問(wèn)題3：若將長(zhǎng)方形的長(zhǎng)設(shè)為x，寬為y，是否滿足x+y= 10呢？這里的x、y的值唯一確定嗎？（用列表法解決問(wèn)題）

問(wèn)題4：上面正方形的長(zhǎng)、寬是否滿足x+y=10呢？為什么卻能唯一確定呢？（在填表取值過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=y=5時(shí)，長(zhǎng)方形轉(zhuǎn)化為正方形）

問(wèn)題5：若在長(zhǎng)方形的圍成過(guò)程中另外增加一個(gè)條件，那么這樣的長(zhǎng)方形是否也能唯一確定呢？你能試添一個(gè)嗎？（解析方程組的概念，探索方程組的解的概念的形成過(guò)程）

問(wèn)題6：如把20 cm長(zhǎng)的鐵絲換成20根長(zhǎng)為1 cm的木棒，將這20根木棒圍成長(zhǎng)方形，這樣的長(zhǎng)方形是否有無(wú)數(shù)個(gè)呢？

問(wèn)題7：如果給問(wèn)題6增加一個(gè)條件，比如2x-3y=5，這樣的長(zhǎng)方形是否唯一確定呢？

教師通過(guò)設(shè)置一個(gè)個(gè)問(wèn)題，一會(huì)兒把學(xué)生的思維逼到絕壁懸崖，讓它在絕處逢生；一會(huì)兒又把學(xué)生的思維一步步導(dǎo)向那廣闊的天空，讓它在高空中自由翱翔.這樣的課堂設(shè)問(wèn)藝術(shù)，運(yùn)用各種方式、技巧，學(xué)生自然會(huì)有“一番覺(jué)悟，一番長(zhǎng)進(jìn)”，既增長(zhǎng)了知識(shí)，又開(kāi)啟了智力，甚至有閃光的發(fā)現(xiàn)，獨(dú)到的體驗(yàn)，該節(jié)課的核心知識(shí)也在不知不覺(jué)中得到了突破.

3.凸顯“核心思想方法”，讓學(xué)生提升解決問(wèn)題能力

數(shù)學(xué)思想方法很重要.荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾研究認(rèn)為：“數(shù)學(xué)中最重要的成份是思想方法.”《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也明確指出：“數(shù)學(xué)為其他科學(xué)提供了語(yǔ)言、思想和方法，是一切重大技術(shù)的基礎(chǔ)”.“通過(guò)數(shù)學(xué)教育，使學(xué)生獲得基本的數(shù)學(xué)思想方法……”這些都表明數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的重要性.學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)理解和掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)概念、知識(shí)大有幫助，因?yàn)槎邔儆谏舷挛魂P(guān)系，前者發(fā)生上位，后者屬于下位，當(dāng)學(xué)生掌握和理解了數(shù)學(xué)思想方法后，再去學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性.

初中數(shù)學(xué)思想方法較多，其核心的思想方法如：從特殊到一般思想（如數(shù)與式中的運(yùn)算律等）；數(shù)學(xué)建模思想（如把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用方程或不等式等解決）；數(shù)形結(jié)合思想（如借助數(shù)軸解決有理數(shù)概念與運(yùn)算律等）；化歸、函數(shù)思想（如解方程、方程組）等.教學(xué)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、理解這些從實(shí)踐中總結(jié)的數(shù)學(xué)思想方法.

所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)尤其是概念教學(xué)，凸顯核心的思想方法相當(dāng)重要.說(shuō)一節(jié)數(shù)學(xué)課“新”，即思維過(guò)程新，說(shuō)一節(jié)數(shù)學(xué)課“高”，即思想性高.具有思想方法的課，學(xué)生對(duì)知識(shí)理解得更深更透，即使今后具體的數(shù)學(xué)知識(shí)淡化了，但其思考方法將永記心間.所以，教師應(yīng)精心設(shè)計(jì)每節(jié)課，通過(guò)各種有效方式，為學(xué)生打開(kāi)凝結(jié)在數(shù)學(xué)知識(shí)上的思想方法的閘門(mén).

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)不斷強(qiáng)化數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從概念出發(fā)，積極思考，并從中探討數(shù)學(xué)思想方法.在教學(xué)中避免出現(xiàn)忽視核心概念教學(xué)、避免出現(xiàn)遠(yuǎn)離概念的核心教學(xué)，避免出現(xiàn)無(wú)視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，這些對(duì)于學(xué)生的成長(zhǎng)是極為不利的.為此，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注重學(xué)習(xí)的過(guò)程性，將蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)概念中的思想方法挖掘出來(lái)，并漸漸體會(huì)與感悟，達(dá)到學(xué)以致用.