李正國(guó)，全 菲

（1.深圳職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東 深圳 518055；2.南華大學(xué) 電氣工程學(xué)院，湖南 衡陽(yáng) 421005）

傅里葉變換（FFT）算法是目前電網(wǎng)中諧波分析常采用的方法，然而傅里葉變換是一種傳統(tǒng)的諧波檢測(cè)分析算法，雖然它能夠精確地確定平穩(wěn)信號(hào)中各次諧波的幅值等電力參數(shù)，但傅立葉變換對(duì)局部信號(hào)做處理相當(dāng)于將信號(hào)作了平均，局部特征丟失了，無(wú)法判斷奇異點(diǎn)的空間分布情況，即無(wú)法定位暫態(tài)信號(hào)發(fā)生的時(shí)間［1］。因此，F(xiàn)FT只適用于確定性的平穩(wěn)信號(hào)諧波的分析，即使改進(jìn)后的加窗傅里葉變換也仍然沒(méi)有從根本上解決這一矛盾。

小波變換具有靈活時(shí)頻特性，可以準(zhǔn)確確定信號(hào)發(fā)生突變的時(shí)刻，濾除干擾信號(hào)，有效地從信號(hào)中提取信息。小波包變換將頻帶進(jìn)行多次劃分，對(duì)多分辨率分析沒(méi)有細(xì)分的高頻部分進(jìn)一步分解，并能夠根據(jù)被分析信號(hào)的特征，自適應(yīng)地選擇相應(yīng)頻帶，使之與信號(hào)頻譜相匹配，從而提高了時(shí)頻分辨率，因此，小波包具有更廣泛的應(yīng)用價(jià)值［2］。文獻(xiàn)［3］利用加窗傅里葉變換有效抑制頻譜泄露的特性提出了加窗傅里葉變換求穩(wěn)態(tài)信號(hào)的頻譜，文獻(xiàn)［4-5］分別提出了基于FFT和小波包變換的電力系統(tǒng)諧波檢測(cè)方法。

筆者將加窗傅里葉變換抑制頻譜泄露和小波包變換準(zhǔn)確確定信號(hào)發(fā)生突變的時(shí)刻及對(duì)頻帶進(jìn)行多次劃分具有較高分辨率的優(yōu)點(diǎn)結(jié)合起來(lái)對(duì)電力系統(tǒng)諧波進(jìn)行分析。該分析方法不僅可減少分析過(guò)程中的頻譜泄露，得到比較準(zhǔn)確的穩(wěn)態(tài)諧波幅值，而且也能進(jìn)行暫態(tài)信號(hào)發(fā)生和終止的時(shí)間及幅值分析。經(jīng)過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)，該方法在電力系統(tǒng)諧波分析中具有可行性，可為電力系統(tǒng)諧波的分析和治理提供依據(jù)。

1 基于加窗FFT和小波包變換的諧波檢測(cè)法

1.1 頻譜泄露

假設(shè)信號(hào)只含基波頻率，則

矩形窗函數(shù)為

信號(hào)的傅里葉變換為

矩形窗函數(shù)的傅里葉變換為

則離散化的輸入信號(hào)傅里葉變換為

Sa（t）函數(shù)又稱(chēng)抽樣函數(shù)，t≠0時(shí)，隨著t的絕對(duì)值增大，函數(shù)值的絕對(duì)值震蕩著不斷減小，向0趨近?？梢钥闯霾皇菃我坏淖V線(xiàn)，而是擴(kuò)散到整個(gè)頻譜軸，即能量不再集中，發(fā)生了頻譜泄露［6］。

1.2 加窗傅里葉變換

電網(wǎng)信號(hào)主要包含整數(shù)次諧波，基于余弦窗的窗函數(shù)特點(diǎn)：只要選擇觀測(cè)時(shí)間是信號(hào)周期的整數(shù)倍，則其頻率在各次整數(shù)倍諧波頻率處幅值為0，諧波之間不發(fā)生相互泄露。

窗函數(shù)的表達(dá)式為

可不是嗎，沒(méi)有味道了也就沒(méi)有了興趣，這似乎正暗示了兩個(gè)人的愛(ài)情，剛好走到了盡頭，剛好可以結(jié)束了。女人選擇了緘默，換一個(gè)詞來(lái)說(shuō)可能是逃跑。

式中 ak決定了不同的窗，為了滿(mǎn)足插值定理，則窗函數(shù)的離散傅里葉變換為

窗函數(shù)的選擇原則：①主板盡量窄；②盡量減少窗譜旁瓣的相對(duì)幅度。該設(shè)計(jì)選用Hamming窗：

由加窗FFT變換求出其諧波含量及諧波主要分布范圍，再由小波包變換求其細(xì)節(jié)。

2 小波包分析檢測(cè)方法

信號(hào)的小波包分析過(guò)程：①對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解，得到基波和各次諧波分量在相應(yīng)尺度空間上的系數(shù)；②根據(jù)基波和各次諧波分量在相應(yīng)尺度空間上的系數(shù)，重構(gòu)出基波信號(hào)和各次諧波信號(hào)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)諧波的檢測(cè)。定義子空間是函數(shù)wn（t）的閉包空間，而是函數(shù)w2n（t）的閉包空間，并令wn滿(mǎn)足雙尺度方程：

式中 k∈Z，g（k）=（-1）h（1-k）；

小波包重構(gòu)算法為

式中 hl-2k，gl-2k分別為小波包重構(gòu)的低通和高通濾波器組總的分解層數(shù)。

目前，電網(wǎng)中存在的諧波以低次諧波（2～25次）為主，該設(shè)計(jì)需要分析31次以?xún)?nèi)的諧波。根據(jù)采樣定理可知，fS≥2×50×31=3 100Hz，該設(shè)計(jì)中取fS=3 200Hz。對(duì)信號(hào)進(jìn)行4層基于db24的小波包分析，在小波包分析的分解過(guò)程中，對(duì)0～fS／2的所有頻段都進(jìn)行高分辨率分析，加大諧波檢測(cè)過(guò)程中的運(yùn)算量，降低檢測(cè)的實(shí)時(shí)性。

該設(shè)計(jì)選擇db24小波包進(jìn)行4層小波包分解。小波包算法將原始信號(hào)分解成一系列子帶信號(hào)，用fS表示小波包分解各節(jié)點(diǎn)的頻帶，對(duì)0～1 600Hz頻率的實(shí)際信號(hào)進(jìn)行4層小波包分解后的16個(gè)頻段的劃分如圖1所示［7］。

由圖1看出，原始信號(hào)的4層小波包變換分解是一個(gè)完整的樹(shù)型結(jié)構(gòu)，對(duì)低頻和高頻部分均進(jìn)行了分解，并且分解后每一個(gè)頻帶Un4都具有相同的帶寬，也就是在每一個(gè)頻帶內(nèi)所包含的諧波次數(shù)相同。小波包的空間分割可以把原始信號(hào)分解到不同的小波子空間，小波包的分解提高了對(duì)信號(hào)高頻成分的分辨率。

圖1 4層小波包分解Figure 1 Resolution of 4-layers wavelet packet

3 諧波檢測(cè)方法的仿真實(shí)驗(yàn)

在該方法中，首先用加窗FFT變換檢測(cè)出信號(hào)的各頻率成分及穩(wěn)態(tài)諧波的幅值。對(duì)于暫態(tài)的諧波信號(hào)，可以用小波包變換檢測(cè)出其發(fā)生的時(shí)間和結(jié)束的時(shí)間，然后再利用加窗傅里葉變換對(duì)暫態(tài)信號(hào)發(fā)生的時(shí)間段進(jìn)行分析得到暫態(tài)信號(hào)的幅值。同時(shí)，小波包變換對(duì)信號(hào)分析，可將檢出信號(hào)中的衰減信號(hào)分離出來(lái)。

設(shè)電網(wǎng)中的信號(hào)在0～1s含有1，3，5，7次穩(wěn)態(tài)諧波及21次諧波的衰減信號(hào)，即

在（1 500～2 000）／3 200時(shí)間段內(nèi)出現(xiàn)11次諧波，其信號(hào)函數(shù)表示為

原始電網(wǎng)電壓信號(hào)x（t）時(shí)域波形如圖2所示。

圖2 電網(wǎng)電壓信號(hào)的時(shí)域波形Figure 2 Waveform of power grid voltage in time domain

3.1 加Hamming窗FFT運(yùn)行結(jié)果顯示

電網(wǎng)電壓信號(hào)加窗傅里葉變換后幅頻特性曲線(xiàn)如圖3所示，可以看出，電網(wǎng)信號(hào)中含有50，150，250，350，550，1 050Hz的信號(hào)。

加Hamming窗FFT變換諧波幅值偏差如表1所示，從測(cè)試結(jié)果可以看出，該實(shí)驗(yàn)所采用的加Hamming窗傅里葉變換可以準(zhǔn)確地求出1，3，5，7次諧波的幅值，而對(duì)含11次諧波的突變信號(hào)和含21次諧波的衰減信號(hào)的幅值測(cè)量結(jié)果誤差非常大。說(shuō)明加窗FFT只適合于穩(wěn)態(tài)信號(hào)的諧波分析，而不適合用于分析暫態(tài)諧波。

圖3 電網(wǎng)電壓信號(hào)加窗傅里葉變換后幅頻特性曲線(xiàn)Figure 3 Amplitude-frequency characteristic curve of power grid voltage after hamming window FFT

表1 加Hamming窗FFT變換諧波幅值偏差Table 1 Deviation of harmonic amplitude after hamming window FFT

3.2 基于db24的小波包分析

小波變換對(duì)衰減信號(hào)和突變信號(hào)有較好的檢測(cè)與分析［8］，小波包［9］變換亦然，在進(jìn)行小波包分解重構(gòu)后可以得到比較準(zhǔn)確的衰減信號(hào)和突變信號(hào)，采用4層小波包變換，仿真結(jié)果如圖4～10所示。圖4所示重構(gòu)后的信號(hào)S130～S1315所對(duì)應(yīng)的頻段與圖1第4層的頻段相對(duì)應(yīng)，可知S130對(duì)應(yīng)的是0～100Hz的重構(gòu)信號(hào)，該設(shè)計(jì)中對(duì)應(yīng)為50Hz的基波頻率。同理可知，S131，S132，S133，S137分別對(duì)應(yīng)的是3，5，7，11次諧波重構(gòu)信號(hào)，含21次諧波的衰減重構(gòu)信號(hào)為S1315。由S135可以清晰地看到f=1 500和2 000Hz處出現(xiàn)了極大值點(diǎn)，說(shuō)明含有11次諧波的暫態(tài)信號(hào)發(fā)生和終止時(shí)間分別為1 500／3 200≈0.469s和2 000／3 200=0.625s。從圖5～9可以看出，小波包分解可以準(zhǔn)確地重構(gòu)基波信號(hào)，3，5，7，11次諧波重構(gòu)有少許誤差。從S1313中可以看出21次諧波衰減信號(hào)仍有少量泄露，但不影響分析。2 1次諧波衰減信號(hào)頻率集中在1 050Hz處，可以直接重構(gòu)第1層小波包分解的高頻部分8 00～1 600Hz，得到更精確的衰減信號(hào)波形，圖10即為對(duì)第1層小波包分解高頻部分重構(gòu)的波形。

圖4 db24小波包分解重構(gòu)后的信號(hào)波形Figure 4 Waveform of signals after db24wavelet packet resolution and reconstruction

圖5 重構(gòu)的基波信號(hào)與標(biāo)準(zhǔn)基波信號(hào)對(duì)比Figure 5 Comparison of reconstructed fundamental wave and standard fundamental wave

圖6 重構(gòu)后的3次諧波信號(hào)與標(biāo)準(zhǔn)諧波信號(hào)對(duì)比Figure 6 Comparison of reconstructed 3-harmonic wave and standard 3-harmonic wave

圖7 重構(gòu)的5次諧波信號(hào)與標(biāo)準(zhǔn)諧波信號(hào)對(duì)比Figure 7 Comparison of reconstructed 5-harmonic wave and standard 5-harmonic wave

圖8 重構(gòu)后的7次諧波信號(hào)與標(biāo)準(zhǔn)諧波信號(hào)對(duì)比Figure 8 Comparison of reconstructed 7-harmonic wave and standard 7-harmonic wave

圖9 重構(gòu)后的11次諧波信號(hào)與標(biāo)準(zhǔn)諧波信號(hào)對(duì)比Figure 9 Comparison of reconstructed 11-harmonic wave and standard 11-harmonic wave

圖10 重構(gòu)后的衰減信號(hào)Figure 10 Attenuation signal after reconstruction

由小波包分解重構(gòu)信號(hào)已經(jīng)得到含11次諧波的暫態(tài)信號(hào)發(fā)生和終止的時(shí)間，則可以對(duì)（1 500～2 000）／3 200s時(shí)間段的信號(hào)進(jìn)行加Hamming窗傅里葉變換，得到此段時(shí)間內(nèi)11次諧波時(shí)的穩(wěn)態(tài)諧波信號(hào)。通過(guò)仿真得到在（1 500～2 000）／3 200s內(nèi)11次諧波的幅值為2.828 8，與設(shè)定的2.828之間的誤差僅為0.028%。

4 結(jié)語(yǔ)

小波包分析具有許多優(yōu)良的特性從而得到廣泛應(yīng)用。筆者給出分析電網(wǎng)諧波簡(jiǎn)單且有效的方法，通過(guò)MATLAB的仿真結(jié)果可以看出該方法不僅簡(jiǎn)單有效地提取了電網(wǎng)中存在的基波和各次穩(wěn)態(tài)諧波，同時(shí)提取出了暫態(tài)信號(hào)，準(zhǔn)確地定位暫態(tài)諧波發(fā)生的起始及終止位置，并且能夠得到準(zhǔn)確的諧波信號(hào)幅值。

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