王愛麗

(寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)系，陜西 寶雞 721013)

0 引言

預(yù)防接種是人類抵御傳染病侵襲最重要、最有效的措施，也是一個(gè)國家和地區(qū)科學(xué)技術(shù)發(fā)展和公共衛(wèi)生形象的具體體現(xiàn).目前我國已成為世界上最廣泛使用疫苗的國家之一.我國免疫規(guī)劃全面展開，已擴(kuò)大到14種疫苗，可預(yù)防包括狂犬病、黃熱病、小兒麻痹癥、乙肝等傳染病在內(nèi)的15種疾病.因此，設(shè)計(jì)一種有效地接種疫苗的策略以控制傳染病的爆發(fā)、減小傳染病爆發(fā)時(shí)的影響以及降低接種疫苗的成本已成為醫(yī)務(wù)人員和科研工作者關(guān)注的熱點(diǎn)問題之一［1-8］.常用的接種策略有 2種，即連續(xù)的接種［9-10］和脈沖式的接種［11-15］，但是這些策略都沒有考慮醫(yī)療資源的有限性.根據(jù)衛(wèi)生部的報(bào)道，2009年當(dāng)甲型H1N1流感爆發(fā)時(shí)，由于沒有足夠的疫苗，在不同的省份以及不同年齡階段的人群，接種策略均不同.

經(jīng)典的傳染病模型總是假定接種比例與易感者的數(shù)量成正比，這要求一個(gè)國家或地區(qū)所能提供的疫苗數(shù)量非常大，因此，它是不合理的.實(shí)際上，每個(gè)國家或地區(qū)所存儲的疫苗數(shù)量都是有限的.實(shí)踐中，一方面，隨著人群中易感者比率的增加接種比率也會增加，但不會無限地增加，一旦達(dá)到所能提供的疫苗的最大數(shù)量，就會維持在這個(gè)水平不變.另一方面，傳染病爆發(fā)時(shí)，因?yàn)閮r(jià)格偏高、防疫意識差導(dǎo)致相當(dāng)一部分人不愿接種疫苗.例如，2009年當(dāng)甲型H1N1爆發(fā)時(shí)，一家媒體調(diào)查顯示有54%的人都不愿接種疫苗.基于此，本文采用1個(gè)含有閾值參數(shù)的飽和函數(shù)表示接種比例，以刻畫接種策略僅對于自愿接種的人有效，且醫(yī)療資源允許下的接種人數(shù)是有限的.將人群分為3大類:易感者、感染者和接種疫苗的人，則模型為

其中S，I，V分別表示人群中易感者、染病者和接種疫苗者的比例，假設(shè)接種后將終生具有免疫力.為免疫接種函數(shù)，ST表示不愿接種的人占人群總數(shù)的比例，h表示該地區(qū)存儲疫苗所能接種的易感者的最大比例.注意到1個(gè)地區(qū)拒絕接種的人畢竟是少數(shù)，而所存儲疫苗能接種的最大人數(shù)往往比較大，所以假設(shè)h＞ST是合理的.其他參數(shù)均為正數(shù)，其中μ表示自然出生率(自然死亡率)，β表示傳染率，ε表示對染病者的治愈率，并且假設(shè)一旦治愈將終身具有免疫力.實(shí)踐中人群的輸入率總是大于該地區(qū)所存儲疫苗能最多接種的易感者比例，從而總可以假設(shè)μ＞h.

注意到V不影響前2個(gè)方程的動力學(xué)，故以下只須考慮簡化方程

不難證明以下結(jié)論:

1 平衡態(tài)的存在性

模型(1)的無病平衡點(diǎn)滿足方程

為討論方便起見，以下記

(2)式的第2個(gè)方程具有正根的條件等價(jià)于f1(0)＜f2(0)，由于

所以模型(1)恒存在1個(gè)無病平衡點(diǎn)E0(S0，0)，其中，

若模型(1)存在地方病平衡點(diǎn)E*(S*，I*)，則其滿足

由于(μ-h)-μS*+h2［h+(S*-ST)］＞0等價(jià)于［μ(μ +ε)-β(μ -h)］［β(h-ST)+(μ +ε)］＜β2h2，故有以下2種情況:

(i)當(dāng)μ(μ+ε)-β(μ-h)≤0時(shí)，方程(4)的解恒為正，此時(shí)模型(1)存在唯一的地方病平衡點(diǎn).

(ii)當(dāng)μ(μ+ε)-β(μ-h)＞0時(shí)，則

從而(4)式存在唯一正解，即模型(1)存在唯一的地方病平衡點(diǎn).

綜上討論，可得如下結(jié)果:

定理1(i)模型(1)存在唯一的無病平衡點(diǎn)E0(S0，0)，其中 S0如(3)式所定義.

(ii)若以下任意1組條件成立:

則模型(2)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)E*(S*，I*)，這里S*如(4)式所定義，

注意到

故I*隨著閾值ST的增加而增加，即疫情穩(wěn)定后染病者的比例隨著人群中不愿接種疫苗的人的比例增加而增加.因?yàn)椴辉附臃N疫苗的人在人群中的比例會隨著周圍環(huán)境的變化而變化，如媒體的宣傳和教育、季節(jié)的變化、疫情等，所以這里將它作為1個(gè)閾值，以考慮其對于染病者的比例等因素的影響.

直接計(jì)算可得模型(1)的基本再生數(shù)為R0=βS0(μ+ε)，其中S0由(3)式給出.從而，

注意到

下面分2種情況討論:

(i)若ST≥ST1，則由(5)式知R0＞1.

(ii)若ST＜ ST1，則當(dāng)

或者

時(shí)，均有R0＜1.由于

所以當(dāng)β(h-μ)+μ(μ +ε)＞ 0時(shí)，ST0＜ ST1;當(dāng)β(h-μ)+μ(μ+ε)＜ 0時(shí)，ST0＞ ST1.由此有以下結(jié)論:

定理2 R0＜1的充要條件為

由于

所以R0是ST的遞增函數(shù).

綜合以上討論，可得如下結(jié)果:

推論1(i)R0＞1當(dāng)且僅當(dāng)(C1)或(C2)成立;(ii)模型(1)存在地方病平衡點(diǎn)的充要條件為R0＞1;(iii)R0和I*均隨著ST的增加而增加，如圖1所示.

2 全局穩(wěn)定性

本節(jié)主要討論模型(1)的無病平衡點(diǎn)以及地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性.為此，首先排除極限環(huán)的存在性.

引理2 模型(1)在吸引域Ω內(nèi)不存在極限環(huán).

證 為方便討論，引入記號

取Dulac函數(shù)B=1/(SI)，則有

由Bendixson-Dulac原理知，模型不存在全部位于Ω內(nèi)的極限環(huán).引理2得證.

定理3 當(dāng)R0＜1時(shí)，模型(1)的無病平衡點(diǎn)E0全局漸近穩(wěn)定，此時(shí)疾病將最終被消除.

證 模型(1)的雅克比矩陣為

直接計(jì)算得J(S0，0)的2個(gè)特征根分別為

當(dāng)R0＜1時(shí)，λ2＜0，從而E0局部漸近穩(wěn)定.根據(jù)引理2，模型(1)在吸引域內(nèi)不存在極限環(huán)，所以E0是全局漸近穩(wěn)定的，如圖2(a)所示.此時(shí)，疾病將最終被滅絕，而人群中易感者的比例趨于1個(gè)穩(wěn)定的水平S0，如圖2(b)所示.定理3得證.

圖2 當(dāng)參數(shù)值為μ =0.6，β =2，h=0.5，ST=0.3，ε=1.2，R0＜1時(shí)模型(1)的穩(wěn)定性

由推論1知當(dāng)R0＞1時(shí)，模型(2)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)E*，下面討論E*的穩(wěn)定性.由(6)式知，

由于 tr(J(S*，I*))=-μ-βI*-h2［h+(S*-ST)］2＜ 0，det(J(S*，I*))= β2S*I*＞ 0，所以(7)式有2個(gè)具有負(fù)實(shí)部的特征根，從而地方病平衡點(diǎn)E*局部漸近穩(wěn)定.又根據(jù)引理2知，E*是全局漸近穩(wěn)定的，如圖3(a)所示.此時(shí)，人群中易感者和感染者的比例(S和I)達(dá)到一個(gè)靜態(tài)平衡，即S和I分別趨于穩(wěn)定的水平S*和I*，如圖3(b)所示.從而有結(jié)論:

定理4 當(dāng)R0＞1時(shí)，模型(1)的地方病平衡點(diǎn)E*全局漸近穩(wěn)定.此時(shí)，疾病將最終演變?yōu)榈胤讲?

圖3 當(dāng)參數(shù)值為μ =0.6，β =4，h=0.5，ST=0.3，ε=0.8，R0＞1時(shí)模型(2)的穩(wěn)定性

3 結(jié)論

考慮到實(shí)踐中有相當(dāng)一部分人因?yàn)閮r(jià)格偏高、免疫意識低下等原因不愿接種疫苗，本文引入1個(gè)閾值參數(shù)，建立了1個(gè)具有飽和接種率的傳染病模型，以刻畫醫(yī)療資源有限情況下的接種策略.得到了各類平衡點(diǎn)存在的條件閾值R0.當(dāng)R0＜1時(shí)，即1個(gè)病人在平均患病期內(nèi)所傳染的人數(shù)小于1，疾病最終會消失;而當(dāng)R0＞1時(shí)，即1個(gè)病人在平均患病期內(nèi)所傳染的人數(shù)大于1，疾病不會被消除，而將始終存在，最終成為一種地方病.由R0，I*的表達(dá)式及推論1知，當(dāng)人群中不愿接種的人所占的比例增加時(shí)，基本再生數(shù)R0增加，I*也增加.這說明一方面要使疾病最終被消除，就必須進(jìn)行相應(yīng)的宣傳和教育，提高民眾的危機(jī)意識，使更多的人自發(fā)接種疫苗，從而減少不愿接種疫苗的人的數(shù)量.另一方面，當(dāng)疾病不能被消除時(shí)，通過降低人群中抵觸接種疫苗的人的比例，可以使得染病者的比例穩(wěn)定在一個(gè)預(yù)先設(shè)定的水平，從而為公共衛(wèi)生部門制定傳染病的控制策略提供理論支撐.因?yàn)閷?shí)際控制中，往往不需要將病毒徹底清除，只需將人群中已感染者的比例降至醫(yī)療規(guī)范允許的水平之下.

由定理3和定理4知，疾病是否被消除取決于基本再生數(shù)R0是否小于1.而由R0的表達(dá)式及定理2知，R0是否小于1取決于不愿接種疫苗的人的比例是否小于臨界值ST0，而ST0的大小依賴于1個(gè)國家或地區(qū)的疫苗的最大存儲量(用h刻畫).又由于

所以ST0隨著h的增大而增大.這意味著如果人群中抵觸接種的人的比例保持不變，當(dāng)疫苗的最大存儲量足夠大時(shí)，疾病最終也會被消除.

綜上所述，人群中不愿接種疫苗的人的比例和一個(gè)國家或地區(qū)的疫苗的最大存儲量對疾病消除以及當(dāng)疾病不能被消除時(shí)染病者所占比例有很大的影響，所以考慮這2個(gè)因素對于疾病控制的影響非常必要且具有重要意義.

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