陸安山，陸益民

(1.廣西大學電氣工程學院，廣西南寧530004;2.欽州學院物理與電子工程學院，廣西欽州535000)

0 引言

由于Lorenz混沌吸引子［1］具有廣泛的應用價值，引起科研工作者廣泛的研究與關注［2－5］，許多研究者在經典的Lorenz混沌系統(tǒng)基礎上研究了其變形，如Chen Guangrong等［6］通過線性反饋控制的方法發(fā)現(xiàn)了一種與Lorenz混沌吸引子拓撲結構不同的Chen混沌系統(tǒng);繼類3維Lorenz混沌系統(tǒng)后，科研工作者相繼提出4維超混沌系統(tǒng)［7－10］，豐富了混沌系統(tǒng)的變形.本文從 Liu 混沌系統(tǒng)［11－13］出發(fā)，構建一種變形Liu混沌新系統(tǒng);研究該系統(tǒng)平衡點性質、Lyapunov指數(shù)及其維數(shù)、時域波形圖和吸引子相圖等特征，并通過設計一種能實現(xiàn)該混沌系統(tǒng)的電路［14］，驗證該系統(tǒng)的混沌特性.本文提出的變形Liu混沌系統(tǒng)在原系統(tǒng)的基礎上增加了一個線性反饋控制項，從而增加了系統(tǒng)的復雜性.

1 一種變形Liu混沌系統(tǒng)分析

通過在文獻［11］Liu混沌系統(tǒng)的第2式上增加一項線性反饋控制dy，構造一種新的3維變形Liu混沌系統(tǒng)，其數(shù)學模型為

系統(tǒng)(1)的Jacobian矩陣為

為求系統(tǒng)平衡點，令(1)式各式右邊等于0，即a(y－x)=0，bx－kxz+dy=0，－cz+hx2=0，得該系統(tǒng)的平衡點分別為S0(0，0，0)，

當 a=10，b=40，c=2.5，d=4，k=1，h=4時，系統(tǒng)Jacobian矩陣平衡點S0的特征值為λ01=－26.4939，λ02=14.4939，λ03=－4均為實數(shù)，且有1個大于0，2個小于0，由線性穩(wěn)定性理論可知，該平衡點為不穩(wěn)定的鞍點;S1和S2處的特征值分別為 λ11=24.2139，λ12=－32.3769，λ13=－7.8370，λ21=－12.9940+11.7781i，λ22=－12.9940－11.7781i，λ23=9.9880，同理可知，2個平衡點也為不穩(wěn)定的鞍點.

Lyapunov指數(shù)(LE)是指在相空間中，2條相互靠近軌線，隨著時間變化，按指數(shù)聚合或分離的變化率［15］.分形維數(shù)大于 1的系統(tǒng) LE的集合稱為Lyapunov指數(shù)譜，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜反映系統(tǒng)對初值的敏感性.該文用Matlab的LET工具箱繪制Lyapunov指數(shù)譜如圖1所示，用Jacobian方法計算得3個Lyapunov指數(shù)分別為λL1=2.18034，λL2=0.00157776，λL3=－10.6819.

圖1 Lyapunov指數(shù)譜圖

對于(1)式Δv=?x·?x+?y·?y+?z·?z，Δv=－a+d－c=－8.5，表明該變形Liu混沌系統(tǒng)是一個耗散系統(tǒng)，當t→∞時，該系統(tǒng)軌跡的每個體積元以指數(shù)率為－8.5收縮到0，也就最終該系統(tǒng)都會運動到一個特定的吸引子上［15］，即該系統(tǒng)存在一個吸引子.

2 變形Liu混沌系統(tǒng)數(shù)值模擬

當 a=10，b=40，c=2.5，d=4，k=1，h=4時，取初始值為(0.01，0.20，0)時，該系統(tǒng)吸引子的相圖、時域波形圖如圖2～圖5所示.

圖2 3維相軌跡

圖3 xz平面相軌跡

圖4 x軸時域波形

圖5 y－z平面相軌跡

從系統(tǒng)Jacobian矩陣特征值、各個相圖、時域波形圖、Lyapunov指數(shù)譜和系統(tǒng)吸引子存在大于0的Lyapunov指數(shù)，其維數(shù)為分數(shù)，系統(tǒng)為耗散系統(tǒng)，可知該變形Liu系統(tǒng)(1)是混沌系統(tǒng)，吸引子為典型混沌吸引子.

3 變形Liu混沌系統(tǒng)的仿真電路軟件實驗研究

利用運算放大器(741)、乘法器(AD633)、電阻、電容等器件來實現(xiàn)變形Liu混沌系統(tǒng)，其電路原理如圖6所示.

依據(jù)電路分析理論，得到電路原理各方程為

(3)式與(1)式比較，有a=R3(R1R4C1)=(R3R6)(R2R4R5C1)，b=R9(R7R10C2)，k=(R6R9)(R5R8R10C2)，d=R9(RR10C2)，c=(R12R15)(R13R14R16C3)，h=(R26R12)(R25R11R13C3).

圖6 電路原理圖

取 C1=C2=C3=1 μF，R1=R5=R12=R14=R15=10 kΩ，R3=16 kΩ，R2=R6=R7=20 kΩ，R4=R10=R13=100 kΩ，R8=8 kΩ，R11=1 kΩ，R9=40 kΩ，R16=25 kΩ 時，得到變形Liu混沌系統(tǒng)的相圖如圖7所示，與圖2一致.

圖7 電路實驗相圖

4 結論

該文給出一個新的混沌系統(tǒng)，通過以上理論分析和數(shù)值實驗、電路軟件仿真，從相圖、時域圖、Lyapunov指數(shù)譜、Lyapunov指數(shù)及分維數(shù)等驗證了該系統(tǒng)的混沌特性.

在Liu混沌系統(tǒng)的第2式中，增加一個線性反饋控制項，即可構造出一個有多個平衡點、吸引子與Liu混沌系統(tǒng)相似、有更為復雜動力學行為的變形Liu混沌系統(tǒng)，更利于信息的掩埋，有益保密通信;設計了硬件電路，對系統(tǒng)的實際應用提供了較好的幫助，對混沌電路系統(tǒng)設計提供一種方法.

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