楊遠(yuǎn)貴，陳 三

(淮北師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 淮北 235000)

0 引言

哈密頓原理在分析力學(xué)中占有重要地位，特別是在工程技術(shù)方面得到廣泛應(yīng)用．由于哈密頓變分原理是在基本定律基礎(chǔ)上采用變分法推得，其主要特征是將真實(shí)運(yùn)動(dòng)與在同樣條件下的可能運(yùn)動(dòng)區(qū)分出來的準(zhǔn)則，該原理作為有限元法和其他近似計(jì)算方法的理論基礎(chǔ)，因此它已成為理論物理中重要的研究工具之一．哈密頓正則變換是以廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量為變量而建立的系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程．由于正則方程結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、對(duì)稱，為動(dòng)力學(xué)的變換理論創(chuàng)造了有利條件，為正則方程漸進(jìn)解法奠定了理論基礎(chǔ)[1-2]．如哈密頓動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的辛算法應(yīng)用于多體的穩(wěn)定性研究中[3]，最近有人提出基于哈密頓動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)新變分原理的保辛算法[4]．下面以拉格朗日陀螺為例來說明哈密頓原理在經(jīng)典力學(xué)中的應(yīng)用．

拉格朗日陀螺是各種現(xiàn)代化陀螺的原始雛形，建立和研究它的動(dòng)力學(xué)模型具有重要意義．陀螺的主要特征是它的穩(wěn)定性和進(jìn)動(dòng)性，已被廣泛應(yīng)用于航空航天、航海與自動(dòng)化和現(xiàn)代化的國(guó)民經(jīng)濟(jì)建設(shè)中．我國(guó)在軌運(yùn)行的天宮一號(hào)航天器就是采用的控制力矩陀螺系統(tǒng)進(jìn)行導(dǎo)航[5]．拉格朗日陀螺是軸對(duì)稱的重剛體(又稱為對(duì)稱陀螺，即I1=I2≠I3)，其重心位于動(dòng)力對(duì)稱軸上但不與固定點(diǎn)重合，它的運(yùn)動(dòng)微分方程的建立可以采用歐勒動(dòng)力學(xué)方程和保守力系的拉格朗日方程[6-7]．下面采用哈密頓變分原理和正則變換推導(dǎo)拉格朗日陀螺的運(yùn)動(dòng)微分方程．

1 拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù)

圖1是采用三個(gè)歐拉角θ，φ，ψ作為廣義坐標(biāo)來描述拉格朗日陀螺．在坐標(biāo)系O-ζηζ中，自轉(zhuǎn)軸OZ與Oζ之間的夾角為θ．重心G到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為l．

1.1 陀螺的拉格朗日函數(shù)

若選取O-ζη為零勢(shì)能面，則拉格朗日陀螺的勢(shì)能為：V=mglcosθ．

根據(jù)歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程:

(1)

考慮到對(duì)稱陀螺的軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I1=I2，可以得到拉格朗日陀螺的動(dòng)能為：

因此，對(duì)稱陀螺的拉格朗日函數(shù)為：

圖1 拉格朗日陀螺

(2)

1.2 陀螺的哈密頓函數(shù)

由(2)式可以得到廣義動(dòng)量為：

(3)

根據(jù)哈密頓函數(shù)的定義，有：

(4)

2 推導(dǎo)拉格朗日陀螺的運(yùn)動(dòng)微分方程

拉格朗日陀螺的運(yùn)動(dòng)方程采用歐勒動(dòng)力學(xué)方法較為復(fù)雜，而保守力系的拉格朗日方程較為簡(jiǎn)便，但它們都是二階常微分方程．下面采用哈密頓變分法和正則變換方法來推導(dǎo)其運(yùn)動(dòng)微分方程．

2.1 哈密頓變分法

(5)

對(duì)上式積分可以得到：

考慮等時(shí)積分，即有：δθ|t1=δθ|t2=0；δφ|t1+δφ|t2=0；δψ|t1=δψ|t2=0．又因?yàn)榉e分號(hào)內(nèi)的δθ，δφ及δψ是任意的且一般不為零，且是相互獨(dú)立的．因此有：

(6-1)

(6-2)

(6-3)

最后對(duì)(6-1)～(6-3)式的三個(gè)式子進(jìn)行積分并化簡(jiǎn)，得到拉格朗日陀螺的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

(7-1)

(7-2)

(7-3)

其中E、J和c為積分常數(shù)．

2.2 哈密頓正則變換法

首先根據(jù)哈密頓正則方程，計(jì)算拉格朗日陀螺的三個(gè)廣義速度．

(8-1)

(8-2)

(8-3)

其次，計(jì)算三個(gè)廣義動(dòng)量．

正則變換的最后一個(gè)廣義動(dòng)量：

這就是(6-1)式，同樣的辦法積分即可以得到(7-1)式．

3 討論

通過前面的推導(dǎo)可以看出，采用哈密頓變分法推導(dǎo)拉格朗日陀螺的運(yùn)動(dòng)微分方程的計(jì)算過程較為麻煩，而利用正則變換計(jì)算簡(jiǎn)潔，考慮循環(huán)坐標(biāo)直接可以得到一階運(yùn)動(dòng)微分方程．這樣使得復(fù)雜的問題得到大大簡(jiǎn)化．

[1]黃昭度，紀(jì)輝玉.分析力學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，1985.

[2]Hand L.N.,Finch J.D.Analytical mechanics[M].Cambridge:CUP,1998.

[3]Chambers J.E.A hybrid symplectic integrator that permits close encounters between massive bodies[J].Mon.Not.R.Astron.Soc.,1999，304(4)：793～799.

[4]高 強(qiáng),彭海軍,張洪武,等．基于哈密頓動(dòng)力系統(tǒng)新變分原理的保辛算法之一：變分原理和算法構(gòu)造[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2013，30(4)：461～467.

[5]張錦江,范松濤,張志方,等．天宮一號(hào)基于控制力矩陀螺的智能多模自適應(yīng)姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與驗(yàn)證[J].中國(guó)科學(xué)：科學(xué)技術(shù)，2014，44(2)：131～141.

[6]周衍柏.理論力學(xué)教程[M].北京：高等教育出版社，1986.

[7]丘名實(shí).應(yīng)用拉格朗日方程建立重力作用下軸對(duì)稱剛體的運(yùn)動(dòng)微分方程[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2000,18(1)：105～108.

[8]胡中為，蕭耐園．天文學(xué)教程(上冊(cè))[M].北京：高等教育出版社，2003.

[9]夏一飛，黃天衣.球面天文學(xué)[M].南京：南京大學(xué)出版社，1995.

[10]董連政，王金平．高師理論力學(xué)教學(xué)的創(chuàng)新與實(shí)踐[J]．吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2006,27(1)：82～83.

[11]朱光平，劉忠良，劉親壯.量子力學(xué)態(tài)疊加原理及教學(xué)的幾點(diǎn)看法[J]．吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010,31(3)：108～110.

[12]廖耀發(fā)，佘守憲.陀螺與陀螺儀進(jìn)動(dòng)及章動(dòng)的一種初等分析[J].湖北工學(xué)院學(xué)報(bào)，2004,19(5)：43～46.