羅臘春

（宣城市第六中學(xué)，安徽 宣城 242000）

用電壓表、電流表測(cè)電阻和測(cè)電功率是電學(xué)實(shí)驗(yàn)中的兩個(gè)基本實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)中都牽涉到電表的讀數(shù)、有效數(shù)字的計(jì)算、誤差及誤差分析等相關(guān)理論.

1 電壓表與電流表的讀數(shù)規(guī)則

實(shí)驗(yàn)室常見的是指針式J0407型電流表和J0408型電壓表，準(zhǔn)確度等級(jí)一般是2.5級(jí)，表示出正常情況下電表的基本誤差，即在任何示值時(shí)示值與標(biāo)準(zhǔn)值之差與電表滿度值的百分比都不超過±2.5%.電流表有0.6A和3A兩個(gè)量程，電壓表有3V和15V兩個(gè)量程.若使用0～0.6A量程的電流表，其最大誤差為0.6×2.5%A＝0.015A，誤差出現(xiàn)在百分位，只讀到安培的百分位，而此時(shí)最小刻度為0.02A，可估讀半個(gè)刻度到0.01A，不足半小格的估讀為0.01A，超過半小格的估讀到0.02A.以安培為單位讀數(shù)時(shí)，小數(shù)點(diǎn)后面有兩位數(shù)字，百分位上的數(shù)字可能為0、1、2、3、4、…8、9，估計(jì)到千分位則是毫無意義的.若使用0～3A量程的電流表，其最大誤差為3×2.5%A＝0.075A，誤差出現(xiàn)在百分位，此時(shí)電流表的最小刻度是0.1A，因此可估讀到百分位即0.01A.若使用0～3V電壓表，情況與0～3A電流表相同.若使用0～15V量程，其最大誤差為15×2.5%V＝0.375V，誤差出現(xiàn)在十分位，此時(shí)電壓表最小刻度值為0.5V，因此可估讀到0.1V.以伏特為單位讀數(shù)時(shí)，十分位上的數(shù)字可能為0、1、2、3、…9.可以看出量程為0.6A 的電流表和量程為15V的電壓表，讀數(shù)時(shí)容易出錯(cuò).最小分度為“2”或“5”的儀器，測(cè)量誤差出現(xiàn)在同一位上，同一位分別按1/2和1/5估讀.

圖1中，若以0～15V量程讀數(shù)，指針指在這兩條刻度線的中間某個(gè)位置，則可根據(jù)指針靠近兩刻度線的程度，分別讀作10.1V、10.2V、10.3V 或10.4V，即使是指在正中央，也不能讀成10.25V，若這樣，則會(huì)出現(xiàn)兩位不準(zhǔn)確的數(shù)，即小數(shù)點(diǎn)后的2和5，不符合讀數(shù)規(guī)則.

圖2（a）以0～0.6A量程讀數(shù)，指針不足半小格，應(yīng)讀作0.51A；圖2（b）以0～0.6A量程讀數(shù)，指針超過半小格，應(yīng)讀作0.52A.

圖1

圖2

2 有效數(shù)字與有效數(shù)字的運(yùn)算

在物理實(shí)驗(yàn)中，任何一個(gè)物理量的測(cè)量數(shù)據(jù)中總包含兩個(gè)部分，一部分是從儀器的刻度上讀出的，叫可靠數(shù)字；另一部分是在儀器最小刻度以下由人估計(jì)出的數(shù)字，叫做可疑數(shù)字.如10V中10V，0.5A中0.5A是可靠數(shù)字，而0V和0.0A是可疑數(shù)字.可靠數(shù)字和可疑數(shù)字，都有物理意義，我們總稱為有效數(shù)字.有效數(shù)字一方面表示了被測(cè)物理量的數(shù)值，同時(shí)它還表示了測(cè)量?jī)x器的精密程度.

在確定有效數(shù)字時(shí)，應(yīng)該注意下面3點(diǎn)：其一，“0”在數(shù)據(jù)的位置不同，性質(zhì)也不同.如5.036mm中的“0”是可靠數(shù) 字，而40.98mm 中 的 “”是 可 疑 數(shù) 字，另 外0.0125cm中的“0.0”只是表示有效數(shù)字的數(shù)量級(jí)，不是有效數(shù)字；其二，有效數(shù)字的位數(shù)不因單位換算而增減，如40.98mm可以寫成4.0980cm 或0.040980m，有效數(shù)字仍是5位；其三，一般記錄時(shí)，為了避免用“0”表示小數(shù)點(diǎn)的位數(shù)，常把結(jié)果寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，如把0.04980m寫成4.980×10－2m.

有效數(shù)字的運(yùn)算應(yīng)該符合“四舍六入五成雙”規(guī)則，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中的這種修約規(guī)則與通常數(shù)學(xué)計(jì)算的“四舍五入”規(guī)則不同.通常的“四舍五入”是“見四就舍”“見五就入”.而現(xiàn)在介紹的規(guī)則是“小于五就舍”“大于五就入”，而恰好等于五時(shí)應(yīng)用偶數(shù)法則.換句話說，若以保留數(shù)字的末位為單位，它后面的數(shù)大于0.5者，末位進(jìn)一；小于0.5者，末位不變；恰好為0.5者，則使末位湊成偶數(shù)，即末位為奇數(shù)，在（1、3、5、7、9）時(shí)進(jìn)一，在（0、2、4、6、8）時(shí)舍棄.這里采用偶數(shù)法則，一方面是因?yàn)榕紨?shù)除法常能除盡，可以減少計(jì)算上的誤差；另一方面是按此規(guī)則舍入時(shí)，當(dāng)被加數(shù)的個(gè)數(shù)很多的情況下，正負(fù)舍入誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等，而在總和中，舍入誤差將被抵消.

例如：將下列數(shù)舍入到小數(shù)第一位

12.344→12.3（因?yàn)?.044＜0.050，所以舍去）

12.351→12.4（因?yàn)?.051＞0.050，所以進(jìn)一位）

12.450→12.4（因?yàn)?.050＝0.050，按偶數(shù)法則偶舍奇進(jìn)）

12.350→12.4（因?yàn)?.050＝0.050，按偶數(shù)法則偶舍奇進(jìn)）

由上例可以看出，每個(gè)數(shù)據(jù)經(jīng)過舍入后，除末位外均可靠，只有末位數(shù)欠準(zhǔn)確（可疑）且其舍入誤差不大于0.5（以舍入后數(shù)字的末位為單位），此0.5即為舍入誤差的極限誤差，又稱為最大誤差或誤差限.

有效數(shù)字的運(yùn)算都遵從這樣一個(gè)原則：可靠數(shù)字間的運(yùn)算結(jié)果仍然為可靠數(shù)字，可靠數(shù)字與可疑數(shù)字或可疑數(shù)字與可疑數(shù)字間的運(yùn)算結(jié)果仍為可疑數(shù)字，但是進(jìn)位數(shù)為可靠數(shù)字，最后結(jié)果只保留一位可疑數(shù)字，多余的可疑數(shù)字可以根據(jù)“四舍六入五成雙”的規(guī)則去掉，現(xiàn)舉例說明如下.

有效數(shù)字的加減，例如

從上例中可以看到諸數(shù)相加減時(shí)，結(jié)果中小數(shù)點(diǎn)保留的位數(shù)與諸數(shù)中小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的一個(gè)相同.如被加數(shù)中小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的是17.2，小數(shù)點(diǎn)后面只有一位，結(jié)果27.中小數(shù)點(diǎn)后面也只有一位.

有效數(shù)字的乘法和除法，例如

對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)lgx的尾數(shù)與x的位數(shù)相同.

例如lg100＝2.000；

因此幾個(gè)數(shù)相乘（或相除）時(shí)，乘積（或商）的所保留的位數(shù)與因子中位數(shù)最少的一個(gè)相同，這一結(jié)論在大多數(shù)情況下是正確的.但是對(duì)于首位數(shù)是大于或等于8的，在進(jìn)行乘除運(yùn)算時(shí)，有效數(shù)字的位數(shù)可以多算一位.例如8.2 7是3位數(shù)，可看著4位.0.981 2是4位，可看做5位.關(guān)于這一點(diǎn)只適用乘除.

有了上面介紹的運(yùn)算規(guī)則，我們就可以得到電阻或電功率的正確值了.

例如，第1組數(shù)據(jù)U＝10.V，I＝0.5A（電壓表選用0～15V量程，電流表選用0～0.6A量程），則

第二組數(shù)據(jù)U＝8V，I＝1.2A（電壓表選用0～15V量程，電流表選用0～3A量程），則R＝＝6.8293Ω＝6.8 3Ω（8.4V中首位是8，應(yīng)看做3位有效數(shù)字），

3 誤差的來源與分析

在測(cè)電阻和電功率實(shí)驗(yàn)同時(shí)存在兩種誤差，一是系統(tǒng)誤差，二是偶然誤差.

本實(shí)驗(yàn)中系統(tǒng)誤差主要來源兩個(gè)方面：其一，實(shí)驗(yàn)室中常見的電流表和電壓表是永磁動(dòng)圈式結(jié)構(gòu)（用符號(hào) 表示）.動(dòng)圈所處的輻射狀磁場(chǎng)不均勻，動(dòng)圈指針系統(tǒng)的重心偏離轉(zhuǎn)動(dòng)軸，游絲的扭轉(zhuǎn)力矩不嚴(yán)格與扭轉(zhuǎn)角度成正比，表盤分度不均勻，刻度弧線的圓心和指針的轉(zhuǎn)動(dòng)軸不重合，以上綜合表現(xiàn)為線性不良.軸和軸承的摩擦造成市值變動(dòng)性誤差，如每次斷電后不能都回零，當(dāng)電流緩慢增加或減小到同一值時(shí)，指針的市值卻有些不同.磁鋼退磁，溫度升高時(shí)鋼絲繞成的動(dòng)圈電阻增加大于錳銅絲制成的分流電阻的增加，改變了分流比，這些都將使示值偏小.其二，電流表與電壓表在接入電路中時(shí)，如果以被測(cè)電阻為研究對(duì)象，當(dāng)電流表接于電壓表內(nèi)側(cè)時(shí)稱為電流表的內(nèi)接法，因電流表電阻有分壓作用，使得電壓測(cè)量值大于真實(shí)值；當(dāng)電流表接于電壓表外側(cè)時(shí)稱為電流表的外接法，因電壓表電阻有分流作用，使得電流表測(cè)量值大于真實(shí)值.這種因電表本身固有以及測(cè)量方法的不完善形成的誤差都是系統(tǒng)誤差.

偶然誤差主要也有兩個(gè)方面：游絲彈性疲勞，外界磁場(chǎng)干擾也造成誤差，如學(xué)生電表未加磁屏蔽，相互靠近時(shí)示值都將發(fā)生變化.這些變化著的周圍事物使實(shí)驗(yàn)過程中所發(fā)生的現(xiàn)象起變化，并引起實(shí)驗(yàn)電表精密程度變化.其次，由于受到人們感官的限制，每次讀數(shù)的不準(zhǔn)確而產(chǎn)生的不可避免的誤差都是偶然誤差.

1 GB—T8170—2008（5）中華人民共和國(guó)標(biāo)準(zhǔn) 數(shù)字修約規(guī)則與極限數(shù)值的表示與判斷.