彭儀普，伍紹浩，張瑩超

(1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙410075;2.中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南長沙410083)

現(xiàn)代科技的不斷進(jìn)步為獲取高質(zhì)量、高精度、高可靠性的測量數(shù)據(jù)提供了重要的保障，但由于儀器設(shè)備可能出現(xiàn)的不穩(wěn)定性和人員操作的不規(guī)范等因素的影響，導(dǎo)致在大量數(shù)據(jù)中仍然有粗差的存在。在使用曲線擬合法［1－6］進(jìn)行沉降數(shù)據(jù)預(yù)測時，由于不同算法自身特點，對所處理的數(shù)據(jù)也有特殊要求:雙曲線［1］中，需要將實測數(shù)據(jù)繪制(t－t0)與(t－t0)/(St－S0)的關(guān)系圖，再擬合直線，求斜率與斜距，再求沉降量;Asaoka法，需要將等時距處理后的數(shù)據(jù)繪制Si－Sj關(guān)系圖，再擬合直線，求斜率與斜距，再求沉降量。這些擬合過程多采用基于最小二乘估計的擬合方法，一旦原始數(shù)據(jù)中包含粗差，對參數(shù)的估計則與實際情況嚴(yán)重不符，進(jìn)而對預(yù)測的沉降值產(chǎn)生嚴(yán)重偏差。為了將含有粗差的測量數(shù)據(jù)進(jìn)行合理地處理，本文將穩(wěn)健估計引入到沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)的預(yù)處理中，有效地解決了粗差對沉降預(yù)測結(jié)果的影響。

1 常用曲線擬合法

1.1 雙曲線法

雙曲線方程為:

式中:St為時間t時的沉降量;S0為初期沉降量(t=0);a和b為將荷載不再變以后的實測數(shù)據(jù)經(jīng)過回歸求得的系數(shù)。

將式(1)變換為

由實測數(shù)據(jù)繪制(t－t0)與(t－t0)/(St－S0)的關(guān)系圖，如圖1。再擬合直線，求得斜率與斜距，進(jìn)而求得沉降量。

圖1 雙曲線法求a和b方法Fig.1 Hyperbola method for a and b

1.2 Asaoka 法及其求解步驟

日本學(xué)者 Asaoka(1978年)［7］提出一種基于一維固結(jié)理論的沉降預(yù)測方法，解出沉降量S可以由以下微分方程表示:

式中:S 為總沉降量;a1，a2，…，an，C 均為常數(shù)。

在沉降預(yù)測時，一般僅取一階方程:

當(dāng)觀測時間等距時，對上式離散化，可以解得:

式中:Si為沉降量;β0和β1為待定參數(shù)。

取恒載期的等時距沉降觀測序列{S1，S2，…，Sn}作Si－Si－1擬合直線，如圖2。從而求出截距β0和斜率β1，進(jìn)而求出最終沉降值:

圖2 Asaoka法圖解示意圖Fig.2 Plot of Asaoka’s method

2 穩(wěn)健估計

最小二乘估計是基于觀測值的特定分布為正態(tài)分布，但當(dāng)觀測值混入粗差時，未知參數(shù)估計值會受到嚴(yán)重影響，穩(wěn)健估計就是針對最小二乘估計這一缺陷提出的［8］。穩(wěn)健估計基本可分為3類:M估計，L估計和R估計。M估計是一種廣義的極大似然估計，易于實施，因此本文擬采用M估計，由 Huber［9］提出。

2.1 穩(wěn)健估計基本原理

設(shè)有參數(shù)向量X是未知的非隨機量，為了估計X，進(jìn)行了n次觀測，得到了觀測向量L的觀測值l，由極大似然估計有:

則由極大似然估計有:

M估計的估計方法有許多種，其中應(yīng)用最廣泛的是選權(quán)迭代法，其模型如下:

誤差方程:

權(quán)函數(shù)矩陣:

估計準(zhǔn)則:

其中:pi(vi)= ρ′(vi)/vi

其計算步驟為:

(1)建立誤差方程

(3)由V(1)確定各觀測權(quán)函數(shù)p(i)(v)，再解算法方程，作類似迭代計算，直至前后2次解的差值符合限差要求為止，最后結(jié)果為:

2.2 幾種常用的權(quán)函數(shù)

M估計的估計方法有許多種，其中應(yīng)用最廣泛的是選權(quán)迭代法，選權(quán)迭代法其權(quán)函數(shù)的選取有許多種方法，比較常用的有:(1)Huber法;(2)一次范數(shù)最小法(L1估計);(3)P范最小法(LP估計);(4)丹麥法;(5)Hampel法;(6)IGG法(周江文法)等［10－13］。由前面的討論可知，穩(wěn)健估計有異于普通最小二乘估計的關(guān)鍵之處在于權(quán)函數(shù)的選取。限于篇幅，本文僅對Huber法做簡要介紹。

Huber給出的ρ函數(shù)和Ф函數(shù)分別為:

式中:c為常系數(shù)，一般取c=2σ，對應(yīng)的權(quán)函數(shù)為:

3 實例分析

某鐵路采用高標(biāo)準(zhǔn)的無砟軌道鋪設(shè)，選取的路基沉降監(jiān)測地段為CFG樁復(fù)合地基加固，路堤填高5～6 m［14］，采用其中一個斷面沉降板觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行沉降分析，監(jiān)測數(shù)據(jù)見表1。為了驗證穩(wěn)健線性擬合的有效性，在原始數(shù)據(jù)第76期加入－3 mm，第284期，加入+5 mm的粗差，對比分析最小二乘擬合與穩(wěn)健線性擬合處理后結(jié)果差異情況。其中，穩(wěn)健線性估計的選權(quán)迭代法采用Huber法。

表1 沉降板觀測數(shù)據(jù)Table 1 Measured settlements

3.1 基于穩(wěn)健線性擬合的雙曲線預(yù)測

在使用雙曲線法對沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測時，需要將實測數(shù)據(jù)繪制(t－t0)與(t－t0)/(St－S0)的關(guān)系圖，再擬合直線，求得斜率與斜距，進(jìn)而求得沉降量。從數(shù)據(jù)擬合過程、預(yù)測結(jié)果、擬合過程的參數(shù)3個方面進(jìn)行分析。最小二乘線性擬合與穩(wěn)健線性擬合過程對比如圖3。

圖3 雙曲線法系數(shù)a和b擬合過程對比Fig.3 Comparison of coefficients a and b by hyperbolic method

從圖3可以看出:在無粗差的情況下，最小二乘線性擬合與穩(wěn)健線性擬合的擬合直線基本重合，說明二者預(yù)測效果基本一致;在含粗差的情況下，穩(wěn)健線性擬合的直線基本不受粗差的影響，直線任然能很好地擬合絕大部分?jǐn)?shù)據(jù)點。

表2為原始數(shù)據(jù)無粗差、含粗差情況下，通過最小二乘擬合與穩(wěn)健線性擬合后的每期預(yù)測結(jié)果。通過表2可看出:在無粗差的情況下，最小二乘線性擬合與穩(wěn)健線性擬合的結(jié)果相對于實測值，僅在第90 d和第104 d相差接近1 mm，其他各期均小于0.5 mm。且二者的差值均在0.01 mm內(nèi)，可見二者在無粗差的情況下預(yù)測結(jié)果基本一致。

表2 無粗差、含粗差時各期預(yù)測值與實測值差值對比Table 2 Comparisons between predicted values and measured values for each period with gross errorwithout gross error

加入粗差后，最小二乘線性擬合后預(yù)測結(jié)果與穩(wěn)健線性擬合預(yù)測后結(jié)果均存在波動，且越靠近粗差時，波動越明顯。而穩(wěn)健線性擬合后預(yù)測結(jié)果波動性較小，相對平緩。這一趨勢在預(yù)測值與實測值殘差對比圖中也得以體現(xiàn)，如圖4。

圖4 含粗差時各期預(yù)測值與實測值殘差圖Fig.4 Difference values between predictive values and measured values with gross error

表3為最小二乘線性擬合、穩(wěn)健線性擬合計算的最終沉降值。由數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，前者計算結(jié)果受粗差影響較大，前后相差達(dá)2.79 mm;后者受粗差的影響極小，前后相差僅0.95 mm。可見穩(wěn)健線性擬合法預(yù)測沉降值能很好的抵御粗差。

3.2 基于穩(wěn)健線性擬合的Asaoka法預(yù)測

由于Asaoka法不能用來分析沉降過程，因此在此僅討論對最終沉降值的影響。限于篇幅，本文采用線性插值做等時距處理。對不同時間間隔的求解過程如圖5所示。

由圖5和表4可知:

(1)當(dāng)數(shù)據(jù)點中無粗差時，采用最小二乘線性擬合求解的各最終沉降值存在差異，最大差值約為0.75 mm(Δ=45 d與Δ=5 d時);而采用穩(wěn)健線性擬合求解的各最終沉降值相差不大，最大僅為0.29 mm，但存在小于最終實測值的情況。

表3 雙曲線法擬合系數(shù)與最終沉降值Table 3 Hyperbolic method fitting coefficients and the final settlement values

(2)當(dāng)數(shù)據(jù)點中存在粗差時，采用最小二乘線性擬合求解的各最終沉降值差異較大，最大差值達(dá)4.92 mm;而穩(wěn)健線性擬合求解的各最終沉降值無較大差異。

(3)對比表4中數(shù)據(jù)，當(dāng)數(shù)據(jù)點中存在粗差時，最小二乘線性擬合求解的最終沉降值與無粗差時求得的最終沉降值相差較大;而采用穩(wěn)健線性擬合求解的最終沉降值與無粗差時求得的結(jié)果相差不大，這表明穩(wěn)健線性擬合具有很好的抵抗粗差的能力。

(4)當(dāng)Δ＞45 d時，采用最小二乘線性擬合與穩(wěn)健線性擬合的結(jié)果基本一致，這主要是因為隨著時間間隔的增大，得到的數(shù)據(jù)點減少，穩(wěn)健線性擬合的優(yōu)越性無法體現(xiàn)。

圖5 Asaoka法求解對比Fig.5 Comparison of settlement predicted by Asaoka’s method

表4 最小二乘線性擬合、穩(wěn)健線性擬合相關(guān)數(shù)據(jù)分析Table 4 Analysis of relevant data by least square linear fitting and by robust linear fitting

4 結(jié)論

(1)在使用曲線法進(jìn)行預(yù)測時，當(dāng)沉降數(shù)據(jù)混入粗差后，采用最小二乘擬合法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時，可能導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果失真;而穩(wěn)健線性擬合法能很好的抵抗粗差，進(jìn)行數(shù)據(jù)處理則受粗差的影響極小，能得到與實際情況相吻合的結(jié)果。

(2)在采用Asaoka法中，使用穩(wěn)健線性擬合法對等時距數(shù)據(jù)進(jìn)行處理時，選取的時間間隔不宜太大。取樣間隔過大易導(dǎo)致需擬合的數(shù)據(jù)點過少，穩(wěn)健線性擬合法的抵抗粗差優(yōu)越性無法體現(xiàn)。

(3)由于不同預(yù)測方法原理不同，預(yù)測的最終沉降量可能小于實測數(shù)據(jù)。因此，需使用多種方法計算，選擇較好的預(yù)測結(jié)果。

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