在解決平面幾何問題時，學生經(jīng)常會遇到求線段或線段和的最值問題。遇到這類題目時，學生通常不知從何下手。其實，解決這類問題最常見的思路是“兩點之間線段最短”“點到直線的距離垂線段最短”及“三角形兩邊之和大于第三邊”。

一、利用軸對稱解決線段和最小值

解決線段和最小值的問題經(jīng)常與軸對稱聯(lián)系起來，通過作對稱點把要相加的線段進行等量代換，放置在同一條直線上成為一條線段。人教版八年級數(shù)學教材中有一道例題：“A、B兩鎮(zhèn)在燃氣管道L的同旁，現(xiàn)在要修一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站應修在什么地方，才能使輸氣管線最短？”

在解答這個例題時，筆者做了其中一個點關于L的對稱點，此對稱點與另一點的連線與直線L的交點P，即為到兩鎮(zhèn)之間最短距離的地方。在掌握這個例題后，筆者又出了兩道題目：“①在菱形ABCD中（如圖1所示），AB=4a，E在BC上，EC=2a，∠BAD=120°，點P在BD上，則△PEC周長的最小值是 。②如圖2所示，正方形ABCD的邊長為3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，求PE+PC的最小值。

這兩道題目可以直接轉化成例題來解答，屬于“兩點一線型”。我們再看下一道題目：“如圖3所示，∠AOB=45°，角內有一點P，PO=10，在角兩邊上有兩動點Q、R（均不同于點O），則△PQR的周長最小值是 ?！北绢}只有一個點P，卻有兩條直線OA、OB。本題思路是過點P分別作OA、OB的對稱點，再連接兩對稱點與兩直線的交點，即為Q、R。此時△PQR的周長最小。

這種題目可歸納為“一點兩線型”。如2011年長沙市的一道中考題：“使得函數(shù)值為零的自變量的值稱為函數(shù)y=x-1的零點。例如，對于函數(shù)y=x-1，令y=0，可得x=1，我們就說1是函數(shù)y=x-1的零點。已知函數(shù)y=x2-2mx-2（m+3）（ m為常數(shù)）。①當m=0時，求該函數(shù)的零點；②證明：無論m取何值，該函數(shù)總有兩個零點；③設函數(shù)的兩個零點分別為x1和x2，且 。此時，函數(shù)圖像與x軸的交點分別為A、B（點A在點B左側），點M在直線y=x-10上，當MA+MB最小時，求直線AM的函數(shù)解析式?！?/p>

二、利用三角形的三邊關系解決最小值問題

平面內有三個點，當三點不共線時，構成三角形，那么兩邊之差小于第三邊；當三點共線時，則兩線段之差等于第三邊。掌握這個規(guī)律之后，我們就可以解決一些線段的最大值問題。如2011年甘肅省蘭州市的一道考題：“如圖4所示，在平面直角坐標系xoy中，正方形OABC的邊長為2cm，點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A、B和D（4， ）。①求拋物線的表達式。②如果點P由點A出發(fā)，沿AB邊以2cm/s的速度向點B運動，同時點Q由點B出發(fā)，沿BC邊以1cm/s的速度向點C運動，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設S=PQ2（cm2）。③試求出S與運動時間t之間的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍。④當S取 時，在拋物線上是否存在點R，使得以點P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點的坐標；如果不存在，請說明理由。⑤在拋物線的對稱軸上求點M，使得M到D、A的距離之差最大，求出點M的坐標。

三、利用點到直線的距離垂線段最短解決最小值問題

人教版七年級數(shù)學教材中有一道思考題：“在灌溉時，要把河中的水引到農(nóng)田，如何挖渠最近？”并以此引出垂線段的定義及其性質。

我們來看這道題目：“（1）已知點A的坐標為（2 2 ，0），點B在直線y=-x上運動，當線段AB最短時，點B的坐標為 。（2）一艘漁船正以30海里/小時的速度由西向東追趕魚群，漁船在A處看見小島B在船的北偏東60°。40分鐘后，漁船行至O處，此時看見小島B在船的北偏東30°。在如圖5所示的坐標系中，點O為坐標原點，點A位于x軸上。根據(jù)上面的信息，請在圖中畫出表示北偏東60°、北偏東30°方向的射線，并標出小島B的位置，并求出點A及點B坐標。若已知以小島B為中心，周圍10海里以內為我軍導彈部隊軍事演習的著彈危險區(qū)，問這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群，是否有可能進入危險區(qū)？

（作者單位：江西省南康市龍嶺中學）