摘 要： 函數(shù)是中職數(shù)學(xué)的基石，掌握函數(shù)概念、性質(zhì)及常見(jiàn)類型，對(duì)理解后續(xù)內(nèi)容有舉足輕重的影響。本文專注于函數(shù)教學(xué)內(nèi)容、形式、技巧的探討，力求把函數(shù)與學(xué)生所學(xué)專業(yè)及生活實(shí)踐聯(lián)系起來(lái)，深入淺出、融會(huì)貫通，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)積極性。

關(guān)鍵詞： 中職數(shù)學(xué)教學(xué) 函數(shù) 教學(xué)技巧

函數(shù)是中職數(shù)學(xué)的基石，掌握函數(shù)概念、性質(zhì)及常見(jiàn)類型，對(duì)理解后續(xù)內(nèi)容有舉足輕重的影響。然而，中職學(xué)生普遍對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)存在畏難情緒，覺(jué)得數(shù)學(xué)抽象難懂、枯燥乏味，難以與其他課程融合，更難以學(xué)以致用。筆者認(rèn)為，在函數(shù)教學(xué)中，應(yīng)把函數(shù)與學(xué)生所學(xué)專業(yè)及生活實(shí)踐聯(lián)系起來(lái)，深入淺出、融會(huì)貫通，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)積極性。下面我就函數(shù)教學(xué)內(nèi)容、形式、技巧作探討。

一、函數(shù)概念與表達(dá)形式

首先要讓學(xué)生明白函數(shù)的引入是人類認(rèn)識(shí)事物的自然發(fā)展與要求，可以從生活與哲學(xué)兩方面引入。生活中可以用“日常生活中的一切事物都在不停地變化著，從街道上汽車的行駛到天空中的斗轉(zhuǎn)星移，從人的出生到老年到世界人口不斷膨脹，從銀行存款利息的逐漸增加到各種股票指數(shù)的漲漲落落，從加熱時(shí)壺中的水溫由20度到100度到全球氣候變暖”。我們關(guān)注身邊的這些變化著的事物，在數(shù)學(xué)上就是變量，而變化著的事物之間的依存關(guān)系，在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)。馬克思主義哲學(xué)認(rèn)為：事物是變化的，于是有了變量；事物不是孤立存在的，是相互聯(lián)系的，于是有了函數(shù)。也可以進(jìn)一步說(shuō)明這種相互聯(lián)系有兩種，一種是確定的，稱為函數(shù)關(guān)系；另外一種是不確定的統(tǒng)計(jì)關(guān)系，是偶然性與必然性的對(duì)立統(tǒng)一。兩者都可以舉一些生活中的例子加以說(shuō)明，這樣就引入了概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)，并且能夠與函數(shù)概念相互區(qū)別。

函數(shù)的基本思想是：通過(guò)某一事物的變化推知另一事物的變化，它的基本手段是：將變化事物的關(guān)系抽象化（如用公式法表示）、形象化（如用圖形法表示）、簡(jiǎn)單化（如用表格法表示）。為了理解三種表達(dá)方法的聯(lián)系與區(qū)別及優(yōu)缺點(diǎn)，可以用新產(chǎn)品定價(jià)和銷量的調(diào)查舉例：如果想了解新產(chǎn)品定價(jià)和銷量的關(guān)系，以便定價(jià)后決定生產(chǎn)多少產(chǎn)品，避免產(chǎn)品滯銷，則可以先用表格進(jìn)行調(diào)查，即問(wèn)受訪者，各種價(jià)格條件下，所愿意購(gòu)買的數(shù)量，可以做成表格，即表格法；為了直觀形象，可以根據(jù)表格畫出散點(diǎn)圖，即圖形法；對(duì)圖形法中的散點(diǎn)圖去描繪一條穿過(guò)散點(diǎn)的直線，并用公式表示，則是公式法。還可以舉生活中的例子：某學(xué)生的家距離學(xué)校2.5公里，早晨7：30從家里騎自行車出發(fā)去上學(xué)，8：00上課。試問(wèn)圖1中四個(gè)圖形和下述四件事相吻合，其中S表示離開(kāi)家的距離，t表示時(shí)間。

（1）離開(kāi)家后不久，自行車壞了，修好后再繼續(xù)騎車，準(zhǔn)時(shí)到達(dá)學(xué)校。顯然和圖1之（1）對(duì)應(yīng)。

（2）離開(kāi)家后不久，發(fā)現(xiàn)忘記帶語(yǔ)文課本，立即回家取課本再去上學(xué)，結(jié)果遲到了。顯然和圖1之（2）對(duì)應(yīng)。

（3）離家后想早點(diǎn)到學(xué)校便快速行駛，半路上遇到同學(xué)后邊聊天邊走，準(zhǔn)時(shí)到達(dá)學(xué)校。顯然和圖1之（3）對(duì)應(yīng)。

（4）離家后不久出了車禍，到附件醫(yī)院治療后打的回家。顯然和圖1之（4）對(duì)應(yīng)。

從這個(gè)例子中可以看到圖形來(lái)源于表格，而圖形又可以表示成公式，即三者是等價(jià)的，只是表達(dá)形式不同而已。其中公式法最容易處理和運(yùn)算，所以一般用公式法表達(dá)函數(shù)。公式法表達(dá)的函數(shù)有兩要素，為對(duì)應(yīng)法則f和定義域D，即此兩要素可以決定函數(shù)。為了解釋定義域，可以用上面兩個(gè)例子，價(jià)格顯然不會(huì)低于0，而時(shí)間和距離也一般是正數(shù)。所以兩者的關(guān)系是有范圍的，或者說(shuō)自變量的不同取值范圍和因變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系是可能變化的。這樣就引入了分段函數(shù)。分段函數(shù)在生活中隨處可見(jiàn)：寄包裹以本省外省、重量屬于什么范圍分類收費(fèi)，居民用電的階梯電價(jià)，個(gè)人所得稅累進(jìn)稅率，手機(jī)閑時(shí)和忙時(shí)分時(shí)段收費(fèi)?？梢?jiàn)這種函數(shù)關(guān)系是有范圍的，分段的，而不是放之四海而皆準(zhǔn)的。函數(shù)可用于解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，往往來(lái)源于現(xiàn)實(shí)需求，而且解決方法也經(jīng)常符合一般人的直覺(jué)，正如孔子說(shuō)的“道不遠(yuǎn)人”。只是數(shù)學(xué)形成一個(gè)邏輯體系，對(duì)我們的直覺(jué)證實(shí)或證偽而已，于是更為嚴(yán)謹(jǐn)、簡(jiǎn)練、精確。當(dāng)然，數(shù)學(xué)形式上更為抽象、深?yuàn)W、晦澀。這樣啟發(fā)學(xué)生體驗(yàn)到自己本身就有這樣的思維，而不是外在強(qiáng)行灌輸?shù)闹R(shí)，則能融入內(nèi)心，發(fā)乎自覺(jué)，自然而然。這樣掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)才能理解深刻、記憶牢靠、學(xué)以致用。

二、函數(shù)的基本性質(zhì)

函數(shù)的兩要素可以決定函數(shù)，正如人可以用肉體和精神兩要素進(jìn)行識(shí)別和區(qū)分一樣，根據(jù)兩要素識(shí)別人只是第一步，進(jìn)一步可以了解其性格特征。函數(shù)具有四大性質(zhì)：有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性。有界性可以使我們?cè)诳紤]函數(shù)值變化時(shí)有一個(gè)參考范圍，即最大不過(guò)多少，最小不過(guò)多少；或者最好不過(guò)怎么樣，最差不過(guò)怎么樣?？梢孕蜗蟊扔鳛槲饔斡浿袑O悟空就像函數(shù)那樣變化多端，但是無(wú)論如何翻筋斗云，都出不了如來(lái)佛的手掌，這就是界限，表示有界性。單調(diào)性可以表示變量間是否同方向變化，單調(diào)增表示同方向變化比如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的供給函數(shù)，圖形類似于走上坡路；單調(diào)減表示反方向變化，比如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的需求函數(shù)，圖形類似走下坡路。

奇偶性來(lái)源于自然界中很多事物呈現(xiàn)出各種各樣的對(duì)稱性，從人身體上的許多器官到建筑物的各種形狀，函數(shù)中的奇偶性是一個(gè)最基本的反映。關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)是偶函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的是奇函數(shù)?；瘜W(xué)上諸多化合物分子如甲烷、苯的分子結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的。微生物中比如病毒的形狀多為對(duì)稱的，除流感病毒呈螺旋形外，其他如皰疹、牛痘、人體肉贅的病毒及腺病毒等皆為正20面體狀。在物理上，許多晶體的外形及內(nèi)部構(gòu)造也都是對(duì)稱的。用對(duì)稱思維可以發(fā)現(xiàn)自然界中的許多奧秘?？茖W(xué)家赫謝爾于1800年在紅光區(qū)域外側(cè)發(fā)現(xiàn)了紅外線后，人們根據(jù)對(duì)稱思維猜測(cè)在紫光區(qū)域外側(cè)也可能有一種看不見(jiàn)的射線。1801年，科學(xué)家里特果然在實(shí)驗(yàn)室中發(fā)現(xiàn)了這種射線，即紫外線。

周期性是自然界中許多現(xiàn)象的共性，從一年四季春夏秋冬周而復(fù)始到鐘表指針轉(zhuǎn)動(dòng)，從人們的呼吸和心臟跳動(dòng)及心電圖到電流在導(dǎo)線中的傳播無(wú)一不在做周期性運(yùn)動(dòng)。周期性可以使我們由局部推知全局，由現(xiàn)在推知未來(lái)。正如《推背圖》中所言“一陰一陽(yáng)，無(wú)終無(wú)始，終者自終，始者自始”，“茫茫天數(shù)此中求，世道興衰不自由，萬(wàn)萬(wàn)千千說(shuō)不盡，不如推背去歸休”。19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家約翰·傅里葉發(fā)現(xiàn)所有的樂(lè)聲（器樂(lè)和聲樂(lè)）都是周期正弦函數(shù)的和。在樂(lè)器的現(xiàn)代設(shè)計(jì)和聲控計(jì)算機(jī)的設(shè)計(jì)方面，周期函數(shù)是必不可少的。

三、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)

在日常生活中，我們考慮問(wèn)題有時(shí)候會(huì)從正反或者順逆兩方面考慮，比如新產(chǎn)品定價(jià)中要求價(jià)格做自變量，而需求量做因變量，即定價(jià)多少時(shí)候需求量是多少。如果有一批存貨，要求銷售出去，應(yīng)該定什么價(jià)格的問(wèn)題，就是逆過(guò)程。又比如溫度計(jì)中的水銀柱高度隨著溫度的不同而改變，即水銀柱高度h是溫度t的函數(shù)。而習(xí)慣上我們總是以相反的方式使用這個(gè)函數(shù)，即根據(jù)水銀柱的高度h確定溫度t，這時(shí)溫度t又成為高度h的函數(shù)。因此哪個(gè)變量是自變量，哪個(gè)變量是因變量要根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)和目的決定。這就必然要求提出反函數(shù)，而且反函數(shù)與原函數(shù)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，具有對(duì)稱性。

生活中有許多連鎖反應(yīng)，比如海洋中“大魚(yú)吃小魚(yú)，小魚(yú)吃蝦米”的現(xiàn)象，即表明大魚(yú)的數(shù)量是小魚(yú)數(shù)量的函數(shù)，而小魚(yú)的數(shù)量又是蝦米數(shù)量的函數(shù)；金屬棒子在加熱時(shí)，金屬棒的長(zhǎng)度是溫度的函數(shù)，而溫度又是時(shí)間的函數(shù)，等等。這種連鎖反應(yīng)現(xiàn)象的函數(shù)表達(dá)式，可以稱為函數(shù)的函數(shù)，即函數(shù)套函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)值作為外層函數(shù)的自變量，即為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)還可以比喻為生產(chǎn)流水線，每個(gè)函數(shù)都可以看作為一道工序，可以把自變量看作輸入，因變量看作輸出，每道工序完成一種操作或者說(shuō)功能，然后得到操作結(jié)果進(jìn)入外層函數(shù)的下一道工序，一直進(jìn)行下去，就得到成品了。初等函數(shù)首先要介紹六大類基本初等函數(shù)，然后由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合運(yùn)算得到的函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)，因?yàn)槌醯群瘮?shù)有很多優(yōu)良數(shù)學(xué)性質(zhì)，比如后面要學(xué)的極限、連續(xù)性，所以微積分研究的主要對(duì)象就是初等函數(shù)。特別地，盡管分段函數(shù)的各段表達(dá)式一般是初等函數(shù)，分段函數(shù)是最常見(jiàn)的非初等函數(shù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]張銀生，安建業(yè).微積分[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2004.

[2]張祖錦.如何整體把握中職數(shù)學(xué)中的函數(shù)教學(xué)[J].課程教育研究，2012（20）.

[3]吳振奎，吳旻.數(shù)學(xué)中的美[M].上海：上海教育出版社，2004.