【摘 要】實踐與綜合應(yīng)用課一般探究性比較強，學(xué)生較難掌握，課題的素材開發(fā)困難，往往被許多教師忽視。本文闡述了《課標》對“實踐與綜合應(yīng)用”的功能定位，并整合相關(guān)素材開發(fā)了課題《距離最短的方案》，分析了開發(fā)的思路以及課題的教學(xué)設(shè)計，并結(jié)合上課體會分析了“實踐與綜合應(yīng)用”在教學(xué)中對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展的幫助。

【關(guān)鍵詞】綜合應(yīng)用 探究 最短距離 方案設(shè)計

一、課標對“實踐與綜合應(yīng)用”的要求

課標要求學(xué)生面對一些具有挑戰(zhàn)性的研究課題時，能夠應(yīng)用所學(xué)知識與方法進行思考、探索，進而解決問題，目的是為學(xué)生提供機會，讓學(xué)生經(jīng)歷過程，增進體驗，獲得方法和經(jīng)驗，增強信心。

二、課題素材的來源

題中所給的方案是不是最佳方案，與學(xué)生熟悉并掌握的兩個定點到直線上一動點的距離之和最短有沒有聯(lián)系？對學(xué)生探究解決問題是否有價值？引起了我的思考。

我參考了浙教版八年級下冊教材P82中費馬點的定義：如果能在△ABC中找到一點P，使∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，那么點P被稱之為“費馬點”。費馬點的性質(zhì)：當(dāng)點P為費馬點時，AP+BP+CP的值最小。我就想費馬點的性質(zhì)能否驗證以上兩個猜想呢？這個問題是否有探究的價值呢？對培養(yǎng)學(xué)生研究解決問題的方法是否有幫助呢？帶著這些想法我開始了課題“距離最短方案的研究”的開發(fā)。

三、初三學(xué)情分析與教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計

（一）初三的學(xué)生已經(jīng)有了基本的知識儲備，初步掌握了探究問題的一般方法，初步具備了用“特殊到一般再到特殊”和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想來解決問題的能力，對于“直線上一動點到兩定點距離之和最短”的問題也已經(jīng)能轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短來解決，具備了一定的推理能力，所以我把教學(xué)目標定位如下。

知識與技能：

①掌握兩點之間線段最短、軸對稱以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，能對距離最短問題進行探究與驗證；

②了解費馬點的定義及性質(zhì)。

過程與方法：

①經(jīng)歷畫圖、實驗、猜測、驗證、解釋應(yīng)用等活動；經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的全過程，體會探究問題的一般方法；

②體會轉(zhuǎn)化思想以及“一般—特殊—一般”等思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要方法。

情感態(tài)度與價值觀：

①借助現(xiàn)實生活中常見的距離最短問題，激發(fā)學(xué)生對該探究的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識；

②在探究問題的過程中，發(fā)展合情推理的能力；在小組討論交流中，發(fā)展規(guī)范、有條理的表達能力。

（二）教學(xué)過程：

1.問題情境導(dǎo)入

活動探究一：直線上一動點到兩定點距離之和最短

問題1 如下圖，要在街道l上修建一個奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能從A、B到它的距離之和最短？

2.活動探究

活動探究二：一動點到三定點距離之和最短

問題2 A、B、C三個城市位于如圖所示的三角形的頂點處，由于水資源缺乏，B、C兩地不得不從A處引水，這就需要在A、B、C之間鋪設(shè)地下輸水管道（AB

特殊情況：在等邊三角形所在平面內(nèi)，到它的三個頂點的距離之和最短的點的位置在哪里？

學(xué)生活動：探究并驗證（學(xué)生操作度量驗證、幾何推理驗證、幾何畫板驗證）

歸納總結(jié)定義：如果能在△ABC中找到一點P，使∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，那么點P被稱之為“費馬點”。當(dāng)點P為費馬點時，AP+BP+CP的值最小。

3.性質(zhì)應(yīng)用

活動探究三：最佳方案的設(shè)計

問題拓展：已知四個村莊A、B、C、D所在的位置正好位于正方形的四個頂點上，現(xiàn)要架設(shè)電線連接A、B、C、D四個村莊，你有哪些鋪設(shè)方案？請你設(shè)計出架設(shè)路線總長最短的方案。

總結(jié)：（1）沒有接點的典型方案；

（2）一個接點的典型方案；

（3）兩個接點的典型方案。

活動探究四：三個接點時，設(shè)計出的方案中路線總長是否還應(yīng)更短呢？

4.學(xué)習(xí)總結(jié)

（1）本節(jié)課你學(xué)到了哪些有用的知識？

（2）在活動探究中，你運用了哪些數(shù)學(xué)研究方法？

5.課后作業(yè)

（1）上網(wǎng)查閱有關(guān)費馬點的資料；

（2）已知四個村莊A、B、C、D所在的位置位于普通四邊形的四個頂點上，現(xiàn)要架設(shè)電線連接A、B、C、D四個村莊，請你設(shè)計出架設(shè)路線總長最短的方案。

四、教學(xué)反思

本設(shè)計通過問題情境，“直線上一動點到兩定點距離之和最短”可以通過對稱變換及其性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為“兩點之間線段最短”來解決，為下面的問題在探究方法上做鋪墊，思路上做引導(dǎo)。教師根據(jù)學(xué)生設(shè)計的方案，比較哪種方案中的距離之和最短，并引導(dǎo)學(xué)生思考有沒有更加優(yōu)化的方案，讓學(xué)生學(xué)會從猜想、度量驗證、幾何推理驗證、幾何畫板驗證四個層次驗證，掌握“一般—特殊—一般”的研究問題的方法，提高解決問題的能力。在探究最短鋪設(shè)方案的過程中，滲透分類思想、轉(zhuǎn)化思想，應(yīng)用費馬點的性質(zhì)進行優(yōu)化設(shè)計，并能通過計算來比較方案中的線段和大小。

本節(jié)課選取的素材難易適中，來源于生活，具有可操作性，問題較開放。但數(shù)學(xué)教學(xué)是一種活動，而不是一種形式；數(shù)學(xué)教學(xué)是一個過程，而不是一個結(jié)果；數(shù)學(xué)教學(xué)是一種引領(lǐng)，而不是一種灌輸。學(xué)生借助所學(xué)習(xí)的知識和生活經(jīng)驗，通過獨立思考或與他人合作，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的全過程，感悟數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容之間、數(shù)學(xué)與生活實際之間的聯(lián)系，加深對所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想方法的理解。

因此“實踐與綜合應(yīng)用”應(yīng)立足于學(xué)生對問題的分析和對解決問題過程的理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識，而不以僅僅有正確的解答或者在課堂上解決問題來作為評判一節(jié)課成功的依據(jù)；不能只關(guān)注學(xué)生掌握知識的多少，更要關(guān)注學(xué)生在參與實踐、思考、交流討論等過程中獲得的體驗和解決問題的方法，因為探索過程的價值遠比結(jié)果重要。

（作者單位：南京市高淳區(qū)固城中學(xué)）