【摘 要】一節(jié)數學課必須是科學的、動態(tài)的、有序的、激情高漲的，這樣才能吸引學生的注意力，讓學生全身心地融入到課堂教學氛圍中，使師生之間、生生之間進行心與心的交流、思維與思維碰撞，這樣才能形成一個高效、光彩奪目的數學課堂，才能使學生樂于走進數學課堂。如何才能形成這樣一個充滿激情的數學課堂是本文所探討的主旨。

【關鍵詞】幾何定理 教學設計 數學思維

幾何定理的教學一般經歷“操作—探究—歸納—證明”4個過程，由合情推理到演繹推理的學習，這也符合八年級學生的學習特點，開始從經驗型抽象邏輯思維向理論型抽象邏輯思維的轉化。而有部分教師在定理教學過程中只看重操作的形式，就操作而操作，并沒有理解教材中安排操作實踐活動的目的及操作過程所隱含的數學思維，缺少了整體的融合。下面將一位教師在教學蘇科版《數學》八年級（上）的定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”時的教學片段進行分析。

教師請學生拿出準備好的直角三角形紙片開始折紙（教師將紙片粘貼在黑板上，記為△ABC，其中∠C=90°），先將頂點A與頂點C重合，并壓出折痕，同樣將頂點B與頂點C重合，壓出折痕。再展開紙片，設斜邊與一折痕的交點為D，連接CD，問學生有什么發(fā)現。

學生開始對著紙片左看右看，沒有積極回應教師的提問。（教師提問的目的是希望學生能發(fā)現4個全等的小直角三角形）接著教師在黑板上畫出圖1，開始“解讀式”的教學……

以上教學過程，實際上是教材的“翻錄”，將無聲的文字表述轉為有聲的語言表達，教師沒有思考為什么要折出4個全等的小直角三角形而不是兩個等腰三角形，折紙目的是什么，從折疊過程中讓學生積累哪些有效的思維活動經驗，為推理論證提供什么思維路徑等等，可見該教師在教學設計中沒有全面深入研究，所以只能機械地使用教材。

要回答上面所提出的問題，可以從以下三個方面去探討。

首先，應從教材內容出發(fā)去安排學習路徑，去思考確定本節(jié)課的落腳點。蘇科版數學教材中對于軸對稱圖形的教學是安排在全等三角形一章學習后，這時學生對判斷兩個三角形全等有了全面的理解，而這一章是對一個圖形對稱性的學習，學習路徑概括為：從“一線”（線段）——到“兩線”（角）——再到“三線”（等腰三角形）——最后到“四線”（等腰梯形，選學）。

在研究等腰三角形性質與判定時，通過“沿等腰三角形的頂角平分線折疊”得出兩個直角三角形，即由一個等腰三角形轉化出兩個全等直角三角形進行研究?；仡^看上面定理的探究過程，教材編排就是將直角三角形的問題轉化為等腰三角形去研究，即在一個直角三角形中分割出兩個等腰三角形來研究。這樣剛好在等腰三角形和直角三角形兩個圖形之間進行一次互助研究，如圖2。

其次，從學生學習的起點來思考，為什么不直接要求學生將一個直角三角形紙片折成兩個等腰三角形，而是引導學生去折出4個全等的小直角三角形？由于學生具備的知識是全等三角形和軸對稱圖形，如圖1，折出“直角”想到折痕與直角邊保持平行，折出“全等”想到折痕平分直角邊，綜合兩個“信息”可以獲得折痕分別為兩條直角邊的垂直平分線。如果直接給出問題“請你在一個直角三角形紙片中折出兩個等腰三角形”，問題雖好，但思考的跨度太大，與大部分學生已有的知識和經驗銜接得不夠緊密，有脫離學情的嫌疑。這樣分析就明白教材為什么先折出4個直角三角形再去推出兩個等腰三角形的內容設計。

最后，從折疊活動中的思維表現來看，教材上“把紙片按圖1所示的方法折疊，再把紙片展開并連接CD，你有什么發(fā)現”的內容設計，將重點落在發(fā)現結論CD=AD=BD上。如果這樣的話，照著教材所告知的方式折疊就可以了，這樣就沒有多少思維量，也會引出疑問——此種折疊是必須的嗎？是否通過其他方式也能獲得同樣的結論？所以不妨改成以下設計：“你能將一張直角三角形紙片折疊出4個小直角三角形嗎？”這樣可以激發(fā)學生思考怎么折出、為什么這樣折疊是正確的，然后再從折疊紙片的展開情境中提取出兩個等腰三角形。不同的問題對學生學習思維上的影響是不同的，因此教師在面對看似簡單的一次折疊活動時，也需要主動思考，多從學生的已有知識和經驗出發(fā)，多從教材內容的邏輯順序出發(fā)設計教學。

基于以上的分析，筆者給出該教學片段的新設計。

①得等腰三角形

問：你能利用直角三角形紙片折出4個小直角三角形嗎？（要求4個小直角三角形的各頂點都落在原三角形的邊上）

學生活動：給學生動腦動手操作的時間，并讓學生通過實物投影展示折疊過程。

問：展開折疊紙片，還能發(fā)現其他特殊三角形嗎？

學生活動：讓學生用紅筆描出等腰三角形，并再次投影展示。

問：有幾個等腰三角形？為什么？

學生活動：2個等腰三角形，且兩個等腰三角形中的一腰公用，得CD=AD=BD。

②得中線

問：換個角度看腰CD，它屬于Rt△ABC中的什么線？此時該線段與斜邊有何數量關系？

學生活動：因為AD=BD，所以點D是斜邊AB上的中點，所以CD是Rt△ABC斜邊上的中線。又因為CD=AD=BD，所以CD=■AB。

③得結論

問：能用一句話概括所發(fā)現的結論嗎？

學生活動：學生先整理，教師再補充完整并板書此結論：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。”

（設計意圖：通過以上一步步的設問，引領學生有序地發(fā)現問題，通過觀察思考，不但解決問題而且獲得新結論。在活動過程中鍛煉學生的探究思維，積累更多的數學活動經驗，培養(yǎng)學生的合情推理能力。）

【教學思考】

1.重視教材編寫者的數學思維過程。

教材編寫過程是專家們反復研究思考精心設計的學習材料，大量的數學思維融入其中。教材中包涵學科知識的邏輯體系、學生的思維能力和心理發(fā)展的順序等，在教學設計中教師必須多研究教材知識的內在聯系和編者的數學思維，積極思考編者隱含在文字材料背后的思維路徑。例如本節(jié)教學內容中，要理解學習過程的正反兩個方面，用直角三角形知識來研究等腰三角形內容，反過來用等腰三角形知識去解決直角三角形中的問題。在教學設計中能緊扣這條學習主線，那么對折疊出4個小直角三角形作為學習的起點就有了全面把控，對折痕背后的“垂直平分線”作為折疊和添線的支撐點有更多的理解，將學習置身于教材編寫者的整個思維綜合體系中。

2.擴大操作實踐活動所取得的思維經驗。

操作實踐活動不能認為只是為了“動”，僅僅為了活躍課堂學習氣氛、激發(fā)學生興趣而已，更應該關注操作實踐的“動機”，明確操作前的目的，理解操作中的思維，確定操作后的直接（間接）成果，特別在教學過程中有時只盯住看得見的成果，卻對背后所含的思維成果不問不想，就會少了一點對教材知識的生成性過程的研究。例如教師不能只關注由一張直角三角形紙片折疊出4個全等的小直角三角形，找到兩個等腰三角形，而不考慮將一個直角三角形分割出兩個等腰三角形這一“行為”。

同時，當完成該定理的學習以后，可以進一步引申折疊問題：剪一張直角三角形紙片，（1）能折出3個等腰三角形嗎？（2）能折出4個等腰三角形嗎？

通過以上問題的研究，可以進一步促進學生對直角三角形和等腰三角形之間的關聯的理解，提升學生探究的水平，將數學實踐活動落到思維上，落到能力處。

總之，教學設計要合“情”，就是要符合學情、教情以及教材編寫的總體情況；教學設計要合“理”，就是要選擇合理的學習路徑、知識生長路徑、思維路徑。教師要充分吃透教材、運用教學智慧才能讓教學設計變得合“情”又合“理”。

（作者單位：江蘇省常熟市教育局教研室）