【摘 要】目前，普通高中《數(shù)學(xué)》選修4-2《矩陣與變換》的教學(xué)應(yīng)試味道太濃，完全違背了選修專題課程設(shè)置的初衷和“課標(biāo)”的精神。本文就該專題教學(xué)的基本原則和主要內(nèi)容的處理展開(kāi)論述，給出該專題的教學(xué)建議。

【關(guān)鍵詞】《矩陣與變換》專題 教學(xué)原則 內(nèi)容處理

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）關(guān)于選修系列課程的設(shè)置是這樣表述的：“……是為對(duì)數(shù)學(xué)有興趣和希望進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生而設(shè)置的，所涉及的內(nèi)容反映了某些重要的數(shù)學(xué)思想，有助于學(xué)生進(jìn)一步打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提高應(yīng)用意識(shí)，有利于學(xué)生終身的發(fā)展，有利于擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，有利于提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值的認(rèn)識(shí)。其中的專題將隨著課程的發(fā)展逐步予以擴(kuò)充，學(xué)生可根據(jù)自己的興趣、志向進(jìn)行選擇。”

現(xiàn)行的江蘇高考理科數(shù)學(xué)試卷II（附加題）共四道題，其中選做題與必做題各兩道。選做題是從選修4-1《幾何證明選講》、選修4-2《矩陣與變換》、選修4-3《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》、選修4-4《不等式選講》中任選兩道。由于選修4-2《矩陣與變換》的題目操作程序性強(qiáng)、易上手、易得高分，而被絕大部分市級(jí)區(qū)域?qū)W校和師生“青睞”。這本無(wú)可厚非，但現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，教師不展示知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，學(xué)生只是被告知，狂練程式；教師不揭示其中的數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)思想方法；錯(cuò)失與信息技術(shù)整合的絕佳機(jī)會(huì)；由于教學(xué)時(shí)學(xué)生只是“不知所以然”地被灌輸，所以遺忘嚴(yán)重，高三復(fù)習(xí)時(shí)只是到高考之前才被強(qiáng)行“喚醒”解題程式。顯然上述“青睞”應(yīng)試味道太濃，違背了這門課程設(shè)置的初衷及《課標(biāo)》的精神，值得引起我們的重視。

基于以上現(xiàn)象，筆者提出教學(xué)《矩陣與變換》的折中之道——既貫徹執(zhí)行《課標(biāo)》精神又贏得高考的一種教學(xué)基本原則及教學(xué)建議。

一、基本原則

1.以已有的知識(shí)為平臺(tái)，用實(shí)例感悟抽象的原則。

矩陣作為一種重要的數(shù)學(xué)思維工具，是許多數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)，且在各行各業(yè)中都有廣泛的應(yīng)用，但這部分內(nèi)容比較抽象，因此，以已有的知識(shí)為平臺(tái)，結(jié)合具體實(shí)例理解并研究矩陣顯得很重要。這樣不僅讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到矩陣產(chǎn)生于實(shí)際生活又廣泛應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題，更重要的是，使他們體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的抽象，其適度形式化有助于人們對(duì)問(wèn)題的思考與解決。

例如，從歌唱比賽成績(jī)和方程組系數(shù)的矩陣表示（貫穿本專題的始終）引入矩陣的概念，從幾何體三視圖的角度引入投影變化，從彈簧的擠壓與拉伸來(lái)理解伸壓變換，從紙牌推移引入切變變換，應(yīng)用矩陣知識(shí)解決密碼學(xué)、天氣預(yù)報(bào)、動(dòng)畫制作、生物種群?jiǎn)栴}等，體現(xiàn)了本專題與已有知識(shí)以及實(shí)際生活的聯(lián)系。這樣處理符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使他們體會(huì)到學(xué)習(xí)矩陣知識(shí)既自然又有用，而不僅僅是為應(yīng)考。

2.滲透數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)文化的原則。

本專題的教學(xué)不僅要以已有的知識(shí)為平臺(tái)，用實(shí)例感悟抽象，而且要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透。如矩陣與變換蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合的思想，二階矩陣與列向量的乘法與函數(shù)y=f（x）中對(duì)應(yīng)法則f對(duì)自變量x作用的類比，特征向量的取法與空間向量中平面的法向量的取法的類比等類比思想，“三角函數(shù)圖像的變換→矩陣確定的伸壓變換→選修4-4伸縮變換”之間聯(lián)系與發(fā)展的思想等。

另外本專題的教學(xué)還要“大氣”——不能僅僅局限于知識(shí)傳承層面的學(xué)校教學(xué)，更要注重?cái)?shù)學(xué)文化的延續(xù)與傳播。如古時(shí)河圖洛書的矩陣表示，我國(guó)古代線性方程組的解法“推物求價(jià)”問(wèn)題，當(dāng)今計(jì)算機(jī)顯像技術(shù)中像素的矩陣刻畫、影視傳媒的動(dòng)畫制作，矩陣創(chuàng)始人英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊（A.Cayley）的介紹，等等。如果學(xué)生在學(xué)習(xí)矩陣知識(shí)的同時(shí)，能夠接受數(shù)學(xué)文化的熏陶，就能形成良好的數(shù)學(xué)情感體驗(yàn)。

3.與信息技術(shù)整合的原則。

本專題有很多內(nèi)容適合使用信息技術(shù)，如果條件允許，教學(xué)要盡可能與信息技術(shù)進(jìn)行整合，充分利用幾何畫板、EXCEL等軟件開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)。如利用幾何畫板探究旋轉(zhuǎn)變換，利用EXCEL研究切變變換、矩陣的乘法，求解行列式，求解逆矩陣，模擬種群數(shù)量的變化趨勢(shì)等。

4.不難、不偏、不怪的原則。

本專題開(kāi)設(shè)的目的是要求學(xué)生了解矩陣與變換的基本知識(shí)和思想方法，為他們今后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)，因此，不能將大學(xué)的矩陣知識(shí)作簡(jiǎn)單下放，更不能挖一些難題、偏題、怪題去考學(xué)生，而要準(zhǔn)確把握教學(xué)要求。

二、對(duì)主要內(nèi)容的教學(xué)建議

1.從平面圖形變換的角度研究矩陣。

《矩陣與變換》作為一個(gè)專題進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)，首先要對(duì)其正確定位。如上文所說(shuō)，它不是大學(xué)教材中矩陣內(nèi)容的簡(jiǎn)單下放，不是通過(guò)行列式、線性方程組的求解來(lái)引入矩陣的相關(guān)知識(shí)，而是通過(guò)平面圖形的幾何變換來(lái)講解二階矩陣，所以，應(yīng)當(dāng)把矩陣作為研究平面圖形變換的基本工具，作為廣泛意義上的一種“代數(shù)”來(lái)學(xué)習(xí)與研究。求平面變換矩陣就是求列向量被變換成的新向量用原向量坐標(biāo)線性表示的結(jié)果。即若xyTMx′y′=ax+bycx+by=a bc dxy，則M=a bc d。

【例1】如圖，求垂直投影到直線y=x上的投影變換矩陣。

【解析】設(shè)A（x，y）被投影變換成B（a，a），由kAB=-1，■=-1得a=■+■，即xyTMaa=■+■■+■=■ ■■ ■xy，故所求的投影變換矩陣M=■ ■■ ■。

2.用聯(lián)系發(fā)展的觀點(diǎn)研究本專題。

“一元二次方程組→行列式→矩陣的特征值與特征向量→轉(zhuǎn)移矩陣（馬爾可夫鏈）”是本專題的知識(shí)與認(rèn)知發(fā)展主線，抓住這條主線，用聯(lián)系和發(fā)展的觀點(diǎn)，可以做到主要內(nèi)容的“一線牽”。

轉(zhuǎn)移概率矩陣（又叫“躍遷矩陣”）是前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬爾可夫提出的，他在20世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)：一個(gè)系統(tǒng)的某些因素在轉(zhuǎn)移中，第n次結(jié)果只受第n-1次結(jié)果的影響，即只與當(dāng)前所處狀態(tài)有關(guān)，而與過(guò)去狀態(tài)無(wú)關(guān)。所以馬爾可夫鏈就是以當(dāng)前狀態(tài)來(lái)預(yù)測(cè)下一時(shí)段狀態(tài)的概率模型。這是本專題的難點(diǎn)內(nèi)容，舉例如下。

【例2】某種電路開(kāi)關(guān)閉合后，會(huì)出現(xiàn)紅燈或綠燈閃動(dòng)，已知開(kāi)關(guān)第一次閉合后，出現(xiàn)紅燈和出現(xiàn)綠燈的概率都是■。從開(kāi)關(guān)第二次閉合起，若前次出現(xiàn)紅燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是■，出現(xiàn)綠燈的概率是■；若前次出現(xiàn)綠燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是■，出現(xiàn)綠燈的概率是■。試問(wèn)：開(kāi)關(guān)閉合10次時(shí)，出現(xiàn)綠燈的概率是多少？（解答過(guò)程略）

3.“一線串珠”本專題。

一道好題可以“一線串珠”，起到綱舉目張的作用。下面是值得參考的一道原創(chuàng)題：

【例3】二階矩陣A確定的平面變換是先將平面圖形上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，再將所得到的圖形繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。

（1）求矩陣A及其逆矩陣B。

（2）若a=81在矩陣B確定的變換作用下變?yōu)椤?，M=3 32 4且M50■=mn，求m+n被5整除后的余數(shù)。（解答過(guò)程略）

這道題涉及平面變換——矩陣的乘法——逆矩陣——矩陣的特征值與特征向量——高次變換（以及二項(xiàng)式定理）等知識(shí)，如果說(shuō)以上知識(shí)點(diǎn)是零散的珍珠，那么這道題就是一條金線，做到了“一線串珠”，也可謂“一題打盡”《矩陣與變換》！

總之，作為一線教師，怎樣貫徹落實(shí)好《課標(biāo)》精神，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有興趣肯鉆研，同時(shí)又在高考中取得好成績(jī)，是一個(gè)永遠(yuǎn)值得研究的課題。

（作者單位：江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)）