摘 要：數(shù)學(xué)中的思維活動就是概念、判斷和推理，而判斷和推理的基礎(chǔ)就是概念；概念是思維的細(xì)胞，只有對概念理解透徹，才能掌握運算的技能和技巧，才會有合理快捷的邏輯論證。就如何搞好新課程下的數(shù)學(xué)概念課教學(xué)，下面提出，要揭示數(shù)學(xué)概念的演繹性，即通過公理或已知概念對新概念的約定；要揭示數(shù)學(xué)概念的發(fā)展性，要明白概念隨著推理發(fā)展，在不同問題的推理中對概念作出不同的表述，才能在應(yīng)用中把握概念的本質(zhì)，豐富概念的內(nèi)涵，理解概念的用法；要揭示數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)密性，要嚴(yán)格地講清這個概念的所有本質(zhì)屬性，通過實際例子，尤其是典型性例子，強(qiáng)化學(xué)生對新概念嚴(yán)密性的認(rèn)識；要善于靈活運用概念去解決問題，以提高思維能力，在教學(xué)中應(yīng)通過實例加強(qiáng)該方面能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練。

關(guān)鍵詞：思維活動；概念；判斷；推理；演繹性；發(fā)展性；嚴(yán)密性；思維能力

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步加深理解。數(shù)學(xué)中的思維活動就是概念、判斷和推理，而判斷和推理的基礎(chǔ)就是概念。概念是思維的細(xì)胞，只有對概念理解透徹，才能掌握運算的技能和技巧，才會有合理快捷的邏輯論證。在教學(xué)中，常發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生數(shù)學(xué)概念模糊不清：（1）認(rèn)為學(xué)數(shù)學(xué)只要會解題就行，不必花時間、精力去注意那些枯燥的概念；（2）認(rèn)為只要能熟練背誦概念就行，并沒有深刻地去理解。結(jié)果運用起來似是而非，解答問題則錯誤百出。因此，上好數(shù)學(xué)概念課是使學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的首要一環(huán)。如何搞好新課程下的數(shù)學(xué)概念課教學(xué)？筆者結(jié)合教學(xué)實踐，談幾點看法。

一、揭示數(shù)學(xué)概念的演繹性

數(shù)學(xué)概念的演繹性主要指：概念的意義不是通過客體抽象、歸納，而是通過概念對概念的演繹來確定的，即通過公理或已知概念對新概念的約定。概念所指的對象還是概念。例如，立體幾何中的第一個基本概念——平面。它是通過一組公理來揭示其意義的，并未給出定義。對于平面的概念，教材中簡明寫道：“常見的桌面、黑板面、平靜的水面以及紙板等，都給我們以平面的形象。幾何里所說的平面就是從這樣一些物體抽象出來的。但是，幾何里的平面是無限延展的?！?/p>

事實上這一段話并不揭示幾何中平面概念的任何意義，幾何中的平面與上述種種“形象”毫不相干，我們由此并不能得出幾何中關(guān)于“平面”概念的任何意義。通過生活中形形色色“很平的形象”也抽象不出能夠用之于幾何中嚴(yán)密邏輯推理的平面概念。那么，平面概念的真諦何在呢？它的準(zhǔn)確意義存在于三個公理和三個推論之中，或者說，平面是具有性質(zhì)公理和推理的一種“對象”，“平面”這兩個字只是具有這種性質(zhì)的“對象”的一個代名詞。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生從三個公理中去領(lǐng)會平面的意義，即平面的確定（有且僅有一個）這一平面概念的核心。

例1.在四面體ABCD中，若有兩條高相交，則另外兩條高也必相交。

分析：意識到“兩條高相交”意味著過這兩條高有平面，這是解決該題的關(guān)鍵。

證明：設(shè)ABCD的兩條高AP、BQ交于H，則過AP、BQ必有平面，記作ABH，它與棱CD交于E。則CD⊥平面ABH（即ABE）。所以CD⊥AB。

在△ABC內(nèi)作CF⊥AB于F，連結(jié)FD，則AB⊥平面FCD。

因為AB？奐平面ABC，AB？奐平面ABD，

所以ABC⊥FCD，平面ABD⊥平面FCD。

則過C和D的四面體ABCD的兩條高線必在平面FCD內(nèi)，從而它們相交。

證明過程表明：在題設(shè)中的“兩條高相交”暗示我們過這兩條高“有平面”（即平面ABE），而要求證另外兩條高也相交，暗示我們?nèi)プC明另外兩條高共面，從而啟發(fā)我們得到平面FCD。

這里用“平面”的概念去演繹“兩條相交直線”。

二、揭示數(shù)學(xué)概念的發(fā)展性

任何事物都是發(fā)展的，數(shù)學(xué)概念亦如此。概念隨著推理發(fā)展，在不同問題的推理中對概念作出不同的表述，這是概念發(fā)展的基本渠道。承認(rèn)并接受這一點十分重要。只有這樣才能擺脫概念的僵化狀態(tài)，才能在應(yīng)用中把握概念的本質(zhì)，豐富概念的內(nèi)涵，理解概念的用法。

如定義：“以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角”。在基本問題中，二面角的概念就是以定義的敘述方式來理解的，這在解題中常用。但在許多解題中用以下方法更為簡便：

例2.若一個平面垂直于二面角的棱，那么，這個平面與二面角兩個面的交線所夾的角就是二面角的平面角。

分析：設(shè)平面γ與二面角α-l-β棱交成∠ABC，

因為β⊥γ，所以l⊥AB，l⊥BC，

從而，∠ABC為α-l-β的二面角。

又如定義：一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。

例如命題：（1）如果一個數(shù)列的通項an=an+b（a，b為常數(shù)，n∈N），那么這個數(shù)列叫等差數(shù)列。

（2）如果一個數(shù)列的前n項和Sn=an2+bn（a，b為常數(shù)，n∈N），那么這個數(shù)列叫等差數(shù)列。

可以證明以上兩個命題與等差數(shù)列的定義是等價的，所以，用它們來進(jìn)行判斷也是等效的。

因此，在教學(xué)中，教師要揭示概念的發(fā)展性，從中發(fā)掘一些定義的概念的等價命題，這樣無疑能幫助學(xué)生迅速、準(zhǔn)確地進(jìn)行判斷和解題。

三、揭示數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)密性

概念的嚴(yán)密性是概念的演繹性的必然結(jié)果，也是概念用于邏輯推理的要求。學(xué)生每接觸一個新概念，往往會疏忽了某一些本質(zhì)，忽略了概念的嚴(yán)密性，從而導(dǎo)致不能很好地掌握這個新概念，教師在教學(xué)中，除嚴(yán)格地講清這個概念的所有本質(zhì)屬性外，宜通過實際例子，尤其是典型性例子，強(qiáng)化學(xué)生對新概念嚴(yán)密性的認(rèn)識。

如，在講授奇、偶函數(shù)的概念時，用f （-x）與f （x）的關(guān)系判斷函數(shù)的奇偶性，學(xué)生容易記住，但往往忽略了這個概念的前提條件：奇、偶函數(shù)的定義域必定是關(guān)于原點對稱的區(qū)域。透徹地說，就是沒有真正弄清概念中的任一實數(shù)x與-x均必須保證在其定義域中，這一嚴(yán)密的定義。所以，教師可適時地舉一些例子，如函數(shù)y=sinx，x∈（0，π）；y=-3x2，x∈（-5，5）等。

再如，講授“兩個平面互相垂直，過其中一個平面內(nèi)作一直線垂直于這兩個平面的交線，則此直線必垂直于另一個平面”定理時，構(gòu)造了一個命題：兩個平面互相垂直，過其中一個平面內(nèi)一點作一直線垂直于這兩個平面的交線，則此直線必垂直于另一個平面，讓學(xué)生判斷其真假，不少粗心的學(xué)生立即回答是真命題，細(xì)心的學(xué)生就會推敲概念中“平面內(nèi)作一直線”，變?yōu)椤捌矫鎯?nèi)一點作一直線”的區(qū)別，得出假命題的結(jié)論。如α⊥β，A∈β，α∩β=l，AC？奐β，AC⊥l于C點，過A點可作無數(shù)條直線垂直于交線l，但這些直線并非都垂直于α，而過A的直線中有且僅有直線AC垂直于平面。

因此，教師可通過緊扣概念嚴(yán)密性的例子來加深學(xué)生對概念的理解和掌握。

四、善于靈活運用概念去解決問題

任何一門學(xué)科都是由一系列的概念體系組成的，所以，概念既是最基礎(chǔ)的知識，又是最重要的知識。靈活運用概念去解決問題，提高思維能力，則是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)的目的。為此，在教學(xué)中應(yīng)通過實例加強(qiáng)該方面能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練。

解題過程中應(yīng)用了橢圓概念的定義，簡化了解題過程，取得了事半功倍的效果。

數(shù)學(xué)概念的演繹性和嚴(yán)密性揭示了數(shù)學(xué)概念特點及在概念的發(fā)展中必須嚴(yán)守概念的本質(zhì)，而概念的發(fā)展又告訴我們：數(shù)學(xué)概念絕不能死背定義，必須結(jié)合解題進(jìn)一步領(lǐng)會概念的各種表述形式，掌握反映概念本質(zhì)的種種側(cè)面，真正使學(xué)生悟出隱藏在形式后面的概念的無限真諦。以上提到的幾個方面，應(yīng)當(dāng)在新授課、復(fù)習(xí)課、習(xí)題課等不同課型中根據(jù)需要而得到重視。

道可道，非常道；名可名，非常名。如果我們教師在施教的過程中，能抓住學(xué)生掌握知識的薄弱環(huán)節(jié)，采取相應(yīng)對策，就能對提高課堂教學(xué)質(zhì)量起到重要的作用。

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（作者單位 福建省德化第一中學(xué)）