楊清艷 韓 江 張魁榜 夏 鏈

合肥工業(yè)大學(xué)，合肥，230009

0 引言

磨齒加工是高性能齒輪制造最主要的手段和工藝方法，其主要特點(diǎn)是可以全面糾正齒輪磨削前的各種誤差，最終獲得高的加工精度。在目前科學(xué)技術(shù)支撐條件下，成形磨齒機(jī)可能是目前制造水平下獲得最高精度的高生產(chǎn)率齒輪加工機(jī)床，必將成為未來高端磨齒機(jī)產(chǎn)品的主流［1］，而其精度指標(biāo)是影響工件加工精度的重要因素。提高機(jī)床精度和減小加工誤差的主要途徑一方面是提高機(jī)床的機(jī)械性能，另一方面是實(shí)時地對機(jī)床空間誤差進(jìn)行補(bǔ)償［2-3］。本文主要針對QCYK7332A數(shù)控成形砂輪磨齒機(jī)，利用多體系統(tǒng)理論以及 4×4Denavit－Hartenberg齊次變換矩陣［4-7］，分析了機(jī)床幾何誤差的來源，建立了誤差模型，提出通過函數(shù)法來對誤差進(jìn)行預(yù)測進(jìn)而實(shí)時地在線補(bǔ)償誤差。

1 基于多體系統(tǒng)理論的成形磨齒機(jī)空間誤差模型及誤差分析

1.1 成形磨齒機(jī)結(jié)構(gòu)及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)描述

QCYK7332A數(shù)控成形磨齒機(jī)是直徑320mm以下的高精度、大批量生產(chǎn)以及特種齒輪磨削的磨齒設(shè)備。磨齒過程中若不考慮砂輪的修整，則由機(jī)床的2根移動軸 X、Z和3根旋轉(zhuǎn)軸A、B、C完成加工。圖1為數(shù)控成形磨齒機(jī)床及其結(jié)構(gòu)示意圖。

圖1 數(shù)控成形磨齒機(jī)床及其結(jié)構(gòu)示意圖

床身基座1作為B1體，將磨床系統(tǒng)分為兩個分支:①分支一為床身基座1、砂輪架進(jìn)刀X軸2、砂輪架走刀軸Z軸3、刀架旋轉(zhuǎn)軸A軸4、B旋轉(zhuǎn)軸5;②分支二為床身基座1、工件軸(C旋轉(zhuǎn)軸)6。

對于分支一，以床身基座B1體為起點(diǎn)，沿遠(yuǎn)離B1的方向，以自然數(shù)增長順序依次標(biāo)定每個部件的序號:床身基座B1，砂輪架進(jìn)刀X軸B2，砂輪架走刀軸Z軸B3，刀架旋轉(zhuǎn)軸A軸B4，B旋轉(zhuǎn)軸B5，工件軸(C 旋轉(zhuǎn)軸)B6。

根據(jù)以上數(shù)控成形磨齒機(jī)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)描述，得到表1和圖2所示的成形磨齒機(jī)的低序列體陣列及其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)示意圖。

表1 成形磨齒機(jī)低序列體陣列

圖2 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)示意圖

1.2 數(shù)控成形磨齒機(jī)系統(tǒng)相鄰體間變換矩陣的建立

對于數(shù)控成形磨齒機(jī)QCYK7332A，其加工過程由2根移動軸X、Z，3根旋轉(zhuǎn)軸A、B、C完成。根據(jù)機(jī)床多體系統(tǒng)理論，它在加工中總共包括32項(xiàng)空間誤差:線性位移誤差Dx(X)、Dz(Z);垂直直線度誤差 Dy(X)、Dx(Z);水平直線度誤差Dz(X)、Dy(Z);滾轉(zhuǎn)誤差 Ax(X)、Az(Z);俯仰角度誤差A(yù)y(X)、Ax(Z);偏擺角度誤差A(yù)z(X)、Ay(Z);垂直度誤差 SYX、SZY;安裝誤差 Dz(C)、Dx(A)、Dy(B);垂直直線度誤差 Dx(C)、Dy(A)、Dz(B);水平直線度誤差Dy(C)、Dz(A)、Dx(B);俯仰角誤差 Ax(C)、Ay(A)、Az(B);偏擺角誤差 Ay(C)、Az(A)、Ax(B);轉(zhuǎn)角誤差 Ac(C)、Aa(A)、Ab(B)。

其中，D表示直線位移誤差、A表示旋轉(zhuǎn)誤差，S表示垂直誤差，下標(biāo)表示位移方向、括號內(nèi)字母表示誤差軸。

1.2.1理想狀態(tài)下各運(yùn)動副的坐標(biāo)齊次變換矩陣

(1)移動副坐標(biāo)齊次變換矩陣。當(dāng)機(jī)床的砂輪架進(jìn)刀X軸B2、砂輪架走刀軸Z軸B3移動無誤差時，其相鄰體之間的齊次變換矩陣為

(2)轉(zhuǎn)動副坐標(biāo)齊次變換矩陣。同理，當(dāng)A、B、C軸無旋轉(zhuǎn)誤差時，其相鄰體之間的變換矩陣為

式中，φ為A軸繞其x軸的轉(zhuǎn)角;α為C軸繞其z軸的轉(zhuǎn)角;β為B軸繞其y軸的轉(zhuǎn)角。

1.2.2考慮誤差的成形磨床各運(yùn)動副坐標(biāo)齊次變換矩陣

在機(jī)床的加工過程中，如果各種誤差為零，則砂輪邊緣上點(diǎn)的空間坐標(biāo)系t與工件的空間坐標(biāo)系p是重合的;但實(shí)際中，由于各種誤差存在，砂輪邊緣上點(diǎn)的空間坐標(biāo)與工件的空間坐標(biāo)將發(fā)生分離，此時砂輪邊緣上點(diǎn)與工件之間的坐標(biāo)變換矩陣就是所求的誤差模型矩陣。

1.2.2.1 移動副坐標(biāo)齊次變換矩陣

當(dāng)砂輪架進(jìn)刀X軸體B2存在沿x軸軸向的線性位移誤差Dx(X)，在XY平面，存在沿y、z軸的直線度誤差Dy(X)、Dz(X)，繞 y、z軸的偏擺角誤差A(yù)y(X)、Az(X)，繞x軸滾轉(zhuǎn)誤差A(yù)x(X)時，可得相鄰體之間的坐標(biāo)變換矩陣為

式中，P為平移變換矩陣;M為旋轉(zhuǎn)變換矩陣。

其中，x為描述機(jī)床導(dǎo)軌沿 X軸的設(shè)定運(yùn)動量，x=［x10 0］T;δx為機(jī)床導(dǎo)軌沿參考方向移 動 時 在 x、y、z 方 向 的 位 移 誤 差，δx=［Dx(X)Dy(X)Dz(X)］T;θx為移動軸與參考軸 平 面 YX、ZX 的 垂 直 度 誤 差，θx=［0 SYXSZX］T。因此可將式(6)擴(kuò)展為

同理可得砂輪架走刀軸Z軸體B3沿z軸運(yùn)動時，相對于體B2的坐標(biāo)變換矩陣:

1.2.2.2 轉(zhuǎn)動副坐標(biāo)齊次變換矩陣

當(dāng)砂輪B軸體B5存在繞y軸的角位移誤差A(yù)y(B)，沿 x軸、y軸、z軸的直線度誤差 Dx(B)、Dy(B)、Dz(B)，沿 x軸、z軸的偏擺角誤差 Ax(B)、Ay(B)、Az(B)時，可得砂輪B軸體B5相對于相鄰體B4包含誤差的變換矩陣為

式中，R為旋轉(zhuǎn)變換矩陣;Q為平移變換矩陣。

可得砂輪B軸體B5相對于相鄰體B4包含誤差的變換矩陣為

同理，也可得工件C軸體B6相對于相鄰體B1，以及刀架旋轉(zhuǎn)軸A軸體B4相對于相鄰體B3包含誤差的變換矩陣分別為

1.3 磨床誤差模型的建立

(1)在理想(無誤差)情況下，砂輪邊緣上點(diǎn)坐標(biāo)系t和工件坐標(biāo)系p在空間重合，因此砂輪邊緣上點(diǎn)坐標(biāo)系t相對于機(jī)床底座體B1基坐標(biāo)系的齊次坐標(biāo)變換等于坐標(biāo)系p相對于機(jī)床底座體B1基坐標(biāo)系的齊次坐標(biāo)變換，即

根據(jù)多體系統(tǒng)理論并結(jié)合圖1所示磨床的結(jié)構(gòu)，可以分別得到

可以得出工件主軸坐標(biāo)系c相對于工件坐標(biāo)系p的齊次變換矩陣:

(2)在有誤差的情況下，t與p在空間上產(chǎn)生了分離，t相對p的齊次變換矩陣即為誤差矩陣，也就是所求的誤差模型:

將式(15)代入式(16)，運(yùn)用軟件進(jìn)行計(jì)算，可得到所要求的誤差模型。基于小誤差假設(shè)的綜合誤差矩陣為

將式(16)展開并舍去二次及二次以上的分量，再結(jié)合式(18)得到該磨床的2個位置及3個轉(zhuǎn)角的綜合誤差模型如下:

其中

1.4 砂輪邊緣上點(diǎn)與齒輪幾何誤差規(guī)律分析

根據(jù)以上模型，式(19)～式(24)表示了各運(yùn)動軸運(yùn)動過程中的誤差與砂輪邊緣上點(diǎn)的誤差之間的函數(shù)關(guān)系。由于各軸之間存在運(yùn)動關(guān)系，最終將各幾何誤差轉(zhuǎn)化到了砂輪上，引起砂輪在運(yùn)動中偏移理想的位置，從而導(dǎo)致加工出來的齒輪產(chǎn)生齒形誤差。以刀具軸B軸旋轉(zhuǎn)副的誤差為例，說明各運(yùn)動軸加工過程中的誤差，進(jìn)而將誤差轉(zhuǎn)移到了砂輪邊緣上，引起砂輪偏離原來的位置。圖3為只考慮B軸所引起的誤差并設(shè)其他運(yùn)動軸所引起的誤差為零時，得到的砂輪尖上誤差與B軸偏角誤差關(guān)系圖。圖3a所示為只考慮B軸繞其坐標(biāo)系y軸旋轉(zhuǎn)的誤差以及B軸繞x軸的角度誤差時，砂輪尖繞zT(下標(biāo)T表示砂輪)軸的角度誤差;圖3b所示為只考慮B軸繞x軸的角度誤差以及B軸繞z軸的角度誤差時，砂輪繞xT軸的角度誤差;圖3c所示為只考慮B軸旋轉(zhuǎn)副的誤差時，砂輪尖繞yT軸的角度誤差。對比表明，B軸轉(zhuǎn)動誤差對砂輪尖繞zT軸轉(zhuǎn)動誤差的影響較大，而對繞xT軸轉(zhuǎn)動誤差的影響較小。也說明了B軸繞其x、y、z軸的角度誤差以及旋轉(zhuǎn)時所引起的角度誤差轉(zhuǎn)化到了砂輪尖，引起了砂輪尖繞其xT、yT、zT軸的角度誤差。由加工原理可知，若在這種情況下加工齒輪，則會造成工件的齒形誤差、齒向誤差、壓力角誤差等。

圖3 砂輪尖誤差與X軸誤差關(guān)系圖

2 幾何誤差補(bǔ)償

圖3及式(19)～式(24)更加清晰地說明了各軸誤差會導(dǎo)致砂輪尖誤差，進(jìn)而在加工過程中轉(zhuǎn)移到工件上，出現(xiàn)齒形誤差、齒向誤差、接觸線誤差、壓力角誤差等，而磨齒加工是齒輪加工的精加工，為了達(dá)到預(yù)期加工工件的精度，減小工件的誤差，應(yīng)采取恰當(dāng)?shù)恼`差補(bǔ)償方法進(jìn)行補(bǔ)償。目前誤差補(bǔ)償有兩種方法——硬件補(bǔ)償法和軟件補(bǔ)償法，考慮到數(shù)控硬件誤差補(bǔ)償需要在機(jī)床上外加控制器及硬件電路，成本較高且設(shè)計(jì)開發(fā)周期較長、通用性較差［8］，因此本文選用軟件補(bǔ)償。

2.1 基于函數(shù)法的軟件誤差補(bǔ)償

軟件誤差補(bǔ)償［9］主要研究數(shù)控機(jī)床誤差的影響因素以及計(jì)算機(jī)軟件誤差補(bǔ)償技術(shù)，從而提高數(shù)控機(jī)床的加工精度和效率。軟件誤差補(bǔ)償?shù)奶攸c(diǎn)是不需改變加工設(shè)備或采用硬件電路等輔助設(shè)備即可提高數(shù)控機(jī)床的加工精度。本文基于多體系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)理論建立機(jī)床幾何誤差模型，采用函數(shù)法來進(jìn)行誤差補(bǔ)償，即用誤差補(bǔ)償程序完成補(bǔ)償任務(wù)。我們開發(fā)了具有誤差在線分析和補(bǔ)償功能的可內(nèi)嵌于數(shù)控系統(tǒng)內(nèi)部的補(bǔ)償模塊，該模塊利用“反饋截取”方式獲取信號，在模塊內(nèi)部獨(dú)立完成信號的處理和綜合，實(shí)現(xiàn)在線的動態(tài)誤差預(yù)測和補(bǔ)償量計(jì)算，為齒輪機(jī)床數(shù)控系統(tǒng)提供修正后的控制量輸出。該函數(shù)法誤差預(yù)測與補(bǔ)償模塊已用于自主研發(fā)的ARM+DSP+FPGA國產(chǎn)齒輪數(shù)控系統(tǒng)上，其原理如圖4所示。其主要的軟件程序包括:①各誤差軸的誤差表達(dá)式的數(shù)控程序;②砂輪尖誤差表達(dá)式程序;③誤差補(bǔ)償程序。

圖4 誤差補(bǔ)償流程圖

在上層的ARM模塊中編寫以上所需要的各種誤差程序;在加工過程中，通過底層的DSP控制各軸的運(yùn)動，并把各軸位置運(yùn)動量反饋給ARM;由各誤差軸的誤差表達(dá)式的數(shù)控程序采集各軸的信息，并運(yùn)算出各軸的偏差量以及預(yù)測出下一步的誤差量;將各軸的偏差量傳遞給砂輪尖誤差表達(dá)式程序，進(jìn)而計(jì)算出砂輪尖偏離理想位置的量;最后由誤差補(bǔ)償程序輸出砂輪的最終補(bǔ)償后的位置坐標(biāo)值。

2.2 實(shí)例

2.2.1 Renishaw激光干涉測量誤差

針對QCYK7332A數(shù)控成形磨齒機(jī)存在的誤差值，本文僅以測量X軸的角度誤差為例說明幾何誤差測量數(shù)據(jù)處理以及誤差預(yù)測與補(bǔ)償?shù)倪^程。實(shí)驗(yàn)中所采用的測量儀器是Renishaw ML10激光干涉儀。運(yùn)用Renishaw軟件和控制儀器對每個方向進(jìn)行3次測量，一旦安裝位置確定好后，每一次測量都使用同樣的測量過程。使用軟件記錄每次增量為10mm的總長度為100mm的11個定點(diǎn)測量值。儀器的參數(shù)設(shè)定之后，可以使用手動控制輪讓機(jī)器對照軟件相同的增量而運(yùn)行，其測量時裝置的安裝如圖5所示。

圖5 測量時Renishaw激光干涉儀安裝位置

2.2.2角度誤差(俯仰角誤差、偏擺誤差)

角度誤差包括俯仰角誤差和偏擺角誤差，系統(tǒng)會測量出到目標(biāo)軸的橫向和縱向位置之間的偏轉(zhuǎn)角作為誤差的大小。由于不能直接測量角度誤差，故通過間接測量目標(biāo)軸的橫向和縱向位置，求其余弦值為俯仰角和偏擺角余弦。圖6a所示為所測量的俯仰角余弦誤差值，縱坐標(biāo)表示當(dāng)前位置相對于目標(biāo)位置垂直差的余弦值，也就是要求的俯仰角及偏擺角余弦，可看出，三組數(shù)據(jù)有相同的變化趨勢;圖6b為偏擺余弦誤差圖，可看出，三次測量結(jié)果的誤差值走勢一致，也說明了測量的正確性。另外，當(dāng)砂輪遠(yuǎn)離原點(diǎn)時，誤差變大，成為累計(jì)誤差。通過坐標(biāo)值擬合最終得出其誤差曲線的表達(dá)式如表2所示。

圖6 誤差曲線圖(3次測量結(jié)果)

表2 誤差多項(xiàng)式擬合

最終得出的角度誤差余弦曲線表達(dá)式為

類似地，按照以上方法測量出其他軸的直線度誤差、線性誤差等并進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，得出類似于式(25)與式(26)的誤差曲線函數(shù)表達(dá)式，將其存入到系統(tǒng)中，以便于砂輪邊緣點(diǎn)誤差表達(dá)式程序調(diào)用;同時根據(jù)式(19)～式(24)編寫砂輪尖誤差關(guān)于各軸誤差的補(bǔ)償程序，計(jì)算出砂輪尖含移動副和轉(zhuǎn)動副誤差的小誤差矩陣并進(jìn)行相應(yīng)的誤差補(bǔ)償，即:當(dāng)機(jī)床各軸運(yùn)動時，數(shù)控系統(tǒng)根據(jù)各軸的誤差函數(shù)程序自動計(jì)算出各軸的誤差值;砂輪尖誤差表達(dá)式程序調(diào)用這一數(shù)值，計(jì)算出砂輪尖偏離理想點(diǎn)的誤差值;誤差補(bǔ)償程序根據(jù)這一誤差值反向進(jìn)行補(bǔ)償;最終修改砂輪移動量，使其更加確切地接近理想點(diǎn)，從而減小齒面誤差。若誤差點(diǎn)坐標(biāo)比理論點(diǎn)大則下一點(diǎn)進(jìn)給時理論點(diǎn)減去誤差值，若誤差點(diǎn)比理論點(diǎn)小則與此相反。

3 結(jié)論

通過對數(shù)控成形砂輪磨齒機(jī)床加工過程的分析，建立了機(jī)床空間幾何誤差模型，用軟件仿真出B軸運(yùn)動誤差所引起砂輪尖角度誤差的變化趨勢，提出了對機(jī)床幾何誤差進(jìn)行預(yù)測和實(shí)時補(bǔ)償?shù)暮瘮?shù)補(bǔ)償方法。以Renishaw激光干涉儀測量機(jī)床的角度為例，說明了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理以及如何進(jìn)行誤差預(yù)測與補(bǔ)償。當(dāng)機(jī)床尺寸改變但機(jī)床結(jié)構(gòu)不改變時，只需要改變各軸誤差擬合曲線的程序就可以進(jìn)行幾何誤差預(yù)測與補(bǔ)償，因而該方法通用性強(qiáng)，從而為提高齒輪成形磨削加工精度提供了理論依據(jù)。

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