曹 磊，張劍云，王小平，張 鑫

（解放軍電子工程學院，安徽 合肥 230037）

0 引言

認知雷達（Cognitive Radar，CR）［1］是針對復雜電磁環(huán)境下目標探測提出來的一種新體制雷達，它與傳統(tǒng)雷達的不同主要體現(xiàn)在以下三個方面：1）雷達通過不斷地與環(huán)境的交互來實現(xiàn)對環(huán)境的學習并獲取環(huán)境的相關(guān)知識以及目標的特性；2）發(fā)射機根據(jù)反饋信息和先驗知識智能調(diào)整照射方式，以實現(xiàn)對環(huán)境可靠、有效和穩(wěn)健地探測；3）雷達所處環(huán)境、發(fā)射機以及接收機三者組成一個動態(tài)、閉環(huán)反饋的雷達系統(tǒng)。因此，用一句話總結(jié)認知雷達的本質(zhì)：通過與環(huán)境不斷的交互而理解環(huán)境并適應環(huán)境的閉環(huán)雷達系統(tǒng)。

目前，關(guān)于認知雷達的研究主要集中在最優(yōu)發(fā)射波形設計方面。大部分是針對目標為確定信道，且假設雷達已經(jīng)獲得了準確的目標沖激響應，進而根據(jù)特定的某種準則設計出最優(yōu)檢測［2－3］、識別［4－5］、跟蹤［6］等波形。但許多目標的散射特性可能是隨機分布的，且雷達剛開機時，往往并不具備目標的相關(guān)信息。由此可見，提出一種針對隨機信道目標的最優(yōu)估計波形設計方法是十分有意義的。

1 認知雷達波形設計和MMSE準則

1.1 認知雷達波形設計基礎狀況

圖1所示為CR單次循環(huán)的離散信號模型。

圖1 信號模型Fig.1 The signal model

目標和雜波被建模為沖激響應為t∈CNt×1和c∈CNc×1的有限沖激響應（FIR）濾波器［2－3］。其中Nt＝Nc。雷達接收回波可以表示為：

因此，式（1）可以表示為矩陣乘積形式：

關(guān)于認知雷達波形設計，識別和檢測方面的研究較多，大部分是假設信號模型中的目標沖激響應t是已知的，然后設計相應的最優(yōu)波形。文獻［4］假設系統(tǒng)已經(jīng)獲得關(guān)于目標沖激響應t的先驗知識后，提出了一種基于遺傳算法和最大滑動相關(guān)分類器的波形優(yōu)化方法。該方法定義目標回波和同類模板之間的匹配系數(shù)與該目標回波和異類模板之間匹配系數(shù)的差為匹配距離，以最大化各類目標之間的匹配距離的最小值為優(yōu)化準則，然后通過遺傳算法進行求解，得到最優(yōu)識別波形。文獻［5］針對多個目標的識別問題，基于互信息準則，通過最大化接收到的信號與目標沖激響應線性加權(quán)和的互信息獲得了針對多個目標識別的最優(yōu)波形。而文獻［2］中，則針對系統(tǒng)在未知的確定信道目標情況下，提出了首先通過對目標沖激響應進行t估計，然后根據(jù)估計得到的目標先驗知識設計了最優(yōu)檢測波形。

1.2 最小均方誤差（MMSE）準則

在尋找最佳估計量的時候，我們需要某些衡量標準，最常見的就是均方誤差（MSE），它度量了估計值偏離真實值的平方偏差的統(tǒng)計平均值。

當估計子為高斯分布矢量x時，則估計子x和量測信息y聯(lián)合分布的均值和協(xié)方差矩陣分別為：

當R和Ryy非奇異時，那么在給定量測信息y，對估計誤差的任意容許損失函數(shù)，參數(shù)x最小后驗期望損失估計［7］公式為：

進一步得到估計子的 MSE［8－12］為：

為了得到估計子的最優(yōu)估計值，常常采用使MSE最小作為標準，即最小均方誤差準則。

2 基于MMSE的波形優(yōu)化方法

2.1 原理

本文考慮的是隨機信道目標的最優(yōu)估計波形設計問題，即設計一種波形，使得在該發(fā)射波形下雷達能夠更快更準確地完成對目標的估計。隨機信道目標，即雷達每次照射時，目標沖激響應為隨機過程的一個樣本函數(shù)，即t～CN（0 ，Rt）。

假設雜波也服從高斯分布，c～CN（0 ，Rc），因此，估計子t和量測信息x是服從聯(lián)合高斯分布的，即，且y～CN （μy，Ry）。因此，根據(jù)式（4）和（5）可求得聯(lián)合分布的均值和協(xié)方差矩陣分別為：

接著通過（6）的最小后驗期望損失估計公式求取目標沖激響應的估計值：

然后通過估計值進一步根據(jù)式（7）得到目標沖激響應估計值的MSE為：

由于MSE是發(fā)射波形S的函數(shù)，因此可以將基于MMSE的認知雷達估計波形設計問題描述為如下優(yōu)化問題：

通過目標函數(shù)的優(yōu)化便可求得認知雷達的最優(yōu)估計波形。

2.2 步驟

結(jié)合上述分析將具體步驟描述如下：

第一步：構(gòu)造聯(lián)合矩陣，求取相應的均值和協(xié)方差矩陣。通過式（8）和（9）分別求取目標沖激響應和接收數(shù)據(jù)聯(lián)合分布的均值μy和協(xié)方差矩陣Ry。

第二步：計算估計子的估計值。通過式（10）求得對估計誤差的任意容許損失函數(shù)，目標沖激響應t的最小后驗期望損失估計值t＾。

第三步：計算估計值的MSE。通過估計值t＾進一步根據(jù)式（11）得到目標沖激響應估計值的MSE。

第四步：基于最小均方誤差（MMSE）準則優(yōu)化波形。根據(jù)矩陣理論相關(guān)知識［13］進一步將式（12）的優(yōu)化問題化簡求解便可求得認知雷達的最優(yōu)估計波形。

3 實驗仿真

對優(yōu)化問題分析求解可知，白噪聲背景中，偽隨機信號為最優(yōu)估計波形，色噪聲背景中，根據(jù)矩陣跡不等式和拉格朗日乘子法可求解得到的最優(yōu)波形及還原Toeplitz結(jié)構(gòu)的逼近信號。

下面對本文算法進行仿真分析，仿真條件：目標沖激響應和雜波沖激響應長度Nt＝Nc＝30，離散信號長度Ns＝40，所以接收數(shù)據(jù)和噪聲長度Nx＝Nn＝Nt＋Nc－1＝69，假設信號的載頻、帶寬、脈沖重頻等發(fā)射波形的其他參數(shù)都滿足雷達要求。功率P與噪聲和雜波PSD取同一量級單位（kW），目標和雜波PSD采用隨機產(chǎn)生。

實驗一：白噪聲背景，Rn＝＝0.5。圖2為隨機產(chǎn)生的目標和雜波PSD采樣值；圖3顯示了MSE與功率P的關(guān)系；圖4為發(fā)射功率等于5 kW時，MSE隨發(fā)射信號長度Ns變化曲線圖。

圖2 目標、雜波PSDFig.2 The PSD of target and clutter

圖3 MSE與發(fā)射信號功率的關(guān)系Fig.3 The MSE versus the power P

圖4 MSE與發(fā)射信號長度的關(guān)系Fig.4 The MSE versus the length of waveform

由仿真結(jié)果可以看出：1）隨著發(fā)射功率的增加，各個發(fā)射波形對應的MSE都逐漸減小，且偽隨機信號對應的始終低于常規(guī)的LFM信號對應的，這說明偽隨機信號的估計性能明顯優(yōu)于LFM信號。2）隨著發(fā)射信號長度的增加，LFM 信號對應的MSE不斷增大，這是由發(fā)射功率一定的限制條件引起的。3）當發(fā)射信號長度小于40時，偽隨機信號對應的MSE存在波動，而大于40以后，基本處于平穩(wěn)狀態(tài)。這是由于偽隨機信號本身的限制引起的，使得矩陣SHS與PINt的相似度隨著發(fā)射波形長度的變化而變化?？梢姡敯l(fā)射信號長度大于40以后，可以認為此時與發(fā)射波形長度無關(guān)，且其MSE始終處于LFM下方，這說明偽隨機信號在估計性能上遠遠由于LFM信號。與理論分析一致。

實驗二：色噪聲背景。圖5顯示了隨機產(chǎn)生的目標、雜波、噪聲PSD 采樣值σt，i、σc，i、σn，i以及發(fā)射信號功率為1kW時求解的信號奇異值σs，i。圖6（a）為雜波PSD、噪聲PSD之和與目標PSD的比值，圖6（b）為信號奇異值的條形圖。

圖5 目標、雜波、噪聲PSDFig.5 The PSD of target，clutter and noise

由圖5和圖6可知，本文算法求解的信號奇異值始終與目標PSD呈現(xiàn)相同趨勢，與雜波和噪聲PSD之和與目標PSD的比值呈現(xiàn)相反趨勢，滿足了注水原理［8］。這說明優(yōu)化的發(fā)射波形是選擇在目標特征較明顯的頻率分配較多功率，而在雜波、噪聲特征較明顯的頻率分配較少功率，這樣，便使得雷達的接收回波能攜帶更多的目標特征信息。以上結(jié)論是經(jīng)過多次實驗驗證得到的。

圖7顯示了LFM信號、上述優(yōu)化信號Sopt以及逼近信號分別對應的MSE與發(fā)射信號功率的關(guān)系。

圖6 注水原理圖解Fig.6 The principle of injection

圖7 MSE與發(fā)射信號功率的關(guān)系Fig.7 The MSE versus the power P

由圖7仿真結(jié)果可知：1）各個發(fā)射信號對應的MSE都隨發(fā)射信號功率的增加而逐漸減小，且本文優(yōu)化信號對應的始終明顯遠小于LSM信號；2）逼近信號雖然在性能上略差于最優(yōu)信號，但相對于常規(guī)的LFM信號仍有較大的優(yōu)勢，這說明了逼近方法的可行性。同時逼近信號恢復了信號卷積矩陣的固有Toeplitz結(jié)構(gòu)，因此比最優(yōu)信號更有實用價值；4）隨著發(fā)射功率的增加，逼近信號的MSE越來越靠近最優(yōu)信號，說明逼近程度直接受發(fā)射功率影響。發(fā)射功率越大，逼近效果越好。

4 結(jié)論

本文基于最小均方誤差準則提出了一種針對隨機信道目標的認知雷達估計波形設計方法。該方法首先聯(lián)合觀測數(shù)據(jù)和估計子構(gòu)造一個新的聯(lián)合矩陣，接著通過貝葉斯方法在該向量的基礎上求取估計子的估計值，然后計算估計值的 MSE，最后基于MMSE準則對發(fā)射波形進行優(yōu)化。仿真結(jié)果表明，通過該方法優(yōu)化的波形，在估計性能上相對于傳統(tǒng)的LFM信號具有明顯的優(yōu)勢，且證明了白噪聲背景中，偽隨機信號是最優(yōu)估計波形；色噪聲背景中，根據(jù)拉格朗日乘子法和矩陣跡不等式求解得到的最優(yōu)波形，滿足注水原理。

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