燕建梁

（山西大學(xué) 商務(wù)學(xué)院，山西 太原030031）

除了二項(xiàng)分布、泊松分布這兩個(gè)重要的離散型分布以外，超幾何分布也很常用，一般教材有的只給出相關(guān)的具體例題，沒提到分布名稱，有的提到超幾何分布的名稱，但由于其復(fù)雜性，只給出概率分布表達(dá)式，本文對(duì)其做了進(jìn)一步的研究，推廣到多維超幾何分布，并得出結(jié)果:二維超幾何分布的邊緣分布、條件分布、和分布都服從一維超幾何分布.

在實(shí)際中，我們經(jīng)常研究這樣的問(wèn)題:有一批產(chǎn)品N個(gè)，其中有廢品M個(gè)，從中任意取n個(gè)，問(wèn)其中恰有m個(gè)廢品的概率，為了研究其廢品數(shù)的概率的一般規(guī)律，我們引入超幾何分布的概念.

1 定義

設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為k＝d，d＋1，…，r其中d＝max（0，n＋M－N），r＝min（n，M）

則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n，N，M的超幾何分布，記為X～h（n，N，M）.

顯然有:P（X＝k）≥0，利用組合等式，可得，（1）滿足概率分布的兩個(gè)條件.由于概率分布的表達(dá)式與“超幾何函數(shù)”的級(jí)數(shù)展開的系數(shù)有關(guān)[1]，故稱之為超幾何分布.超幾何分布可作為描述將研究對(duì)象分成兩類，作不放回抽樣，其中恰有某一類對(duì)象個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)模型.

2 數(shù)學(xué)期望與方差

定理1 當(dāng)X～h（n，N，M）時(shí)，

證明 1）EX＝

3 最可能出現(xiàn)次數(shù)

使（1）式取得最大值的k，稱為最可能成功次數(shù)，記為:m.

由此得:

定理2 當(dāng)是整數(shù)時(shí)，P（X＝m），P（X＝m－1）同時(shí)達(dá)到最大值；而不是整數(shù)，取其整數(shù)部分為m，P（X＝m）為最大值.

4 超幾何分布的二項(xiàng)近似

當(dāng)抽取的個(gè)數(shù)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于總數(shù)N時(shí)，每次抽取后，其不合格品的其概率變化改變很小，即不放回與放回差別不大，不難證明，n固定，N無(wú)限增大時(shí)，有下面結(jié)論:

定理3

另一方面，二項(xiàng)分布的期望EX＝np與超幾何分布的期望形式上完全一致，二項(xiàng)分布的方差DX＝npq與超幾何分布的方差也只相差一個(gè)因子，這從另一個(gè)角度說(shuō)明了:超幾何分布的極限是二項(xiàng)分布，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，只要N≥10n，就可用二項(xiàng)分布近似計(jì)算超幾何分布的有關(guān)問(wèn)題.

5 多維超幾何分布

作為超幾何分布的推廣，將研究對(duì)象由兩種情況變?yōu)槿N或三種以上，就得到多維超幾何分布.可以這樣描述:袋里有N只球，其中有Ni只i號(hào)球，i＝1，2，…，r，，從中任取n只球，其中有你ni只i號(hào)球，i＝1，2，…，r，n，則

其中0≤ni≤Ni（i＝1，2，…，r），0≤n≤N.

特別地，兩個(gè)隨機(jī)變量X1與X2的聯(lián)合分布律為

其中0≤i≤N1，0≤j≤N2，0≤n≤N稱X1與X2服從二維超幾何分布.它可以描述:有N個(gè)產(chǎn)品，其中一等品、二等品分別有N1，N2個(gè)，從中無(wú)放回的任取n個(gè)，X1與X2表示一等品、二等品的件數(shù).

其邊緣分布為:

服從參數(shù)為n，N，N1的超幾何分布

服從參數(shù)為n，N，N2的超幾何分布.其條件分布

服從參數(shù)為n－j，N－N2，N1的超幾何分布.

服從參數(shù)為n－i，N－N1，N2的超幾何分布.其和分布

服從參數(shù)為n，N，N1＋N2的超幾何分布.

[1]陳希孺.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1992:52

[2]茆詩(shī)松.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京:高等教育出版社，2004:98