韓 勇，王 潔，程永強(qiáng)，2，任衛(wèi)華，呂 爽

(1.空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西 西安 710051;2.西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，陜西 西安 710072;3.中國(guó)飛機(jī)強(qiáng)度研究所，陜西 西安 710065)

平衡機(jī)是防空武器發(fā)射裝置的重要組成部分，在變角度發(fā)射裝置中，其作用至關(guān)重要，它的性能?chē)?yán)重制約著武器系統(tǒng)的打擊精度和效率。由于防空武器威力的不斷提高，彈體長(zhǎng)度和質(zhì)量都會(huì)發(fā)生很大的變化，因此對(duì)平衡機(jī)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)從而改善其性能顯得十分迫切[1]。

平衡機(jī)優(yōu)化問(wèn)題屬于極大極小值(minimax)問(wèn)題，這種問(wèn)題具有非常廣泛的應(yīng)用。許多決策問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為minimax問(wèn)題，而且大量的車(chē)輛工程、工程優(yōu)化、資源分配等問(wèn)題同樣都是轉(zhuǎn)化成minimax問(wèn)題來(lái)求解的[2-4]。在minimax問(wèn)題中，目標(biāo)函數(shù)包含極大項(xiàng)，因此它是連續(xù)但不可微的，這就以梯度為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)方法求解帶來(lái)了困難。當(dāng)前國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)界針對(duì)該問(wèn)題提出了許多算法，如：次梯度法，SQP，SELQP等數(shù)值解法[5-6]。然而近年來(lái)國(guó)內(nèi)進(jìn)行平衡機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)通常采用的是單純形法，復(fù)合形法，雖然取得了一定的效果，但是算法求解復(fù)雜，而且精度較低。文獻(xiàn)[7]在求解minimax問(wèn)題時(shí)，通過(guò)引入極大熵法將模型轉(zhuǎn)化為光滑的連續(xù)極值問(wèn)題并取得了較好的效果。遺傳算法在求解優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，不受連續(xù)可微的約束，而且具有并行處理能力，易于搜尋最優(yōu)解。文獻(xiàn)[8]指出遺傳算法在解決運(yùn)算規(guī)模較大的極值問(wèn)題時(shí)具有良好效果，但是其算法同時(shí)具有早熟收斂的特性，需要對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)[8]?；谶@種思想，筆者將極大熵與遺傳算法結(jié)合，從而解決平衡機(jī)優(yōu)化問(wèn)題。

1 平衡機(jī)優(yōu)化模型

用于防空武器發(fā)射裝置中的平衡機(jī)通常有彈簧拉式、推式以及扭板式，筆者主要以彈簧推式平衡機(jī)為研究對(duì)象，其他類型平衡機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)與此類似。彈簧推式平衡機(jī)的結(jié)構(gòu)原理[9]如圖1所示。

圖1中，O為耳軸中心；A0是平衡機(jī)力對(duì)搖架的作用點(diǎn)(OA0=r1)；B是平衡機(jī)力對(duì)上架的作用點(diǎn)(OB=r2)；Gj、Mq分別為起落部分的質(zhì)心與質(zhì)量；γj是OGj與水平線的夾角；γ0是結(jié)構(gòu)角；f是彈簧的壓縮量；hj代表平衡機(jī)彈簧力對(duì)搖架的力臂；φj為射角；Kj是指一個(gè)平衡機(jī)的彈簧力。圖中符號(hào)的下標(biāo)0和j表示射角φ=0與任意射角φj時(shí)的狀態(tài)。以下式中的下標(biāo)m與l表示最大射角φmax與最小射角φmin時(shí)的狀態(tài)。

1.1 不平衡力矩分析

由圖中可以看出，隨著射角φj的增大，彈簧的壓縮行程隨之變化，因此，可以通過(guò)幾何關(guān)系確定平衡機(jī)力臂hj。

(1)

因此當(dāng)φj=φmax時(shí)，有:

當(dāng)φj=φmin時(shí)，有:

則當(dāng)射角由φmax到φmin時(shí)，彈簧的壓縮行程為:

λ=±(fm-fl)

(4)

令Mpj是射角為φj時(shí)，平衡機(jī)彈簧抗力Kj對(duì)耳軸的力矩，則有:

(5)

式中:c是彈簧的剛度系數(shù);n是平衡機(jī)個(gè)數(shù)，對(duì)于一般的彈簧式平衡機(jī)，n一般取值為2。平衡機(jī)的預(yù)壓力為Km，則對(duì)于彈簧推式平衡機(jī)有：

Kj=Km+c(fm-fj)

(6)

Mqj是起落部分重力矩，有:

(7)

根據(jù)平衡機(jī)的用途，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)以不平衡力矩最小作為評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)。由式(1)～(8)可知，不平衡力矩為:

ΔMj=Mpj-Mqj=n[Km+c(fm-fj)]hj-

Mqgfqcosγj

(8)

1.2 優(yōu)化參數(shù)的選擇

在平衡機(jī)的設(shè)計(jì)過(guò)程中，影響平衡機(jī)性能的因素有很多種，因此其優(yōu)化設(shè)計(jì)的因素也不止一種。結(jié)合平衡機(jī)的工作原理以及實(shí)際的工作過(guò)程，根據(jù)圖1與式(1)～(8)可以得出以下幾個(gè)結(jié)論：

1)平衡機(jī)的彈簧力矩與彈簧抗力Kj以及力臂hj成正相關(guān)關(guān)系，而且在已知平衡機(jī)個(gè)數(shù)的情況下，其彈簧力矩僅與這兩個(gè)因素相關(guān)。

2)彈簧的抗力是與其彈簧總形變量，即彈簧的總壓縮量正相關(guān)的，且與彈簧的剛度系數(shù)也是正相關(guān)的。彈簧的抗力僅受彈簧剛度系數(shù)c和彈簧的總壓縮量fi的影響。

3)起落部分的重力矩是關(guān)于射角φ的余弦函數(shù)，且φ的角度范圍一定且已知，在起落架質(zhì)量確定的情況下，起落部分的重力矩僅與φ和結(jié)構(gòu)角γ0相關(guān)。

在實(shí)際的安裝過(guò)程中，結(jié)構(gòu)角γ0通常較小，而且由于射角變化較大，結(jié)構(gòu)角對(duì)于起落架重量力矩的影響較小，可以忽略。在設(shè)計(jì)的過(guò)程中，起落架質(zhì)量Mq、臂長(zhǎng)fq、平衡機(jī)個(gè)數(shù)n、結(jié)構(gòu)角γ0、最大射角φmax和最小射角φmin是已知的。綜合結(jié)論1)～3)可知，不平衡力矩ΔMj是參數(shù)r1、r2、β0、c、Km以及φj的函數(shù)。由于射角φ不對(duì)平衡機(jī)的性能產(chǎn)生影響，可以將它作為狀態(tài)變量，因此平衡機(jī)的優(yōu)化參數(shù)為平衡機(jī)對(duì)搖架的力臂r1、平衡機(jī)力對(duì)上架的力臂r2、初始夾角β0、彈簧剛度系數(shù)c和平衡機(jī)預(yù)壓力Km。

因此，平衡機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，參與優(yōu)化的參數(shù)，即設(shè)計(jì)變量X，可取為：

X=(r1,r2,β0,c,Km)T=(x1,x2,x3,x4,x5)T

1.3 目標(biāo)函數(shù)的建立

根據(jù)平衡機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)的原則[10]，取其設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)F(X)為:

并且求出使F(X)為最小的設(shè)計(jì)變量，作為平衡機(jī)的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案，即:

F(X*)=minF(X)

則平衡機(jī)的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案為:

式中：r1、r2和β0是確定平衡機(jī)位置的參數(shù)；c和Km是確定平衡機(jī)彈簧的參數(shù)。

2 算法設(shè)計(jì)

在對(duì)平衡機(jī)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，毛保全[9]、談樂(lè)斌[10]等人在專著與論文中采用的方法通常是單純形法和復(fù)合形法。實(shí)踐證明單純形法在解決線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)可以取得很好的效果，但是在解決非線性問(wèn)題時(shí)并不能得到理想的結(jié)果[11]。復(fù)合形法是一種解決非線性問(wèn)題時(shí)的有效算法，然而文獻(xiàn)[12]指出：復(fù)合形法搜索路徑長(zhǎng)，迭代計(jì)算步驟多，效率較低。

在1.3節(jié)中得到的平衡機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)可以看出，平衡機(jī)優(yōu)化問(wèn)題屬于極大極小值問(wèn)題，也即minimax問(wèn)題。minimax問(wèn)題是數(shù)學(xué)規(guī)劃中一類典型的非光滑優(yōu)化問(wèn)題，要求在極大的條件下求目標(biāo)函數(shù)的極小值。由于目標(biāo)函數(shù)包含極大項(xiàng)，所以它是連續(xù)但不可微的。因此在解決該類問(wèn)題時(shí)，并不能直接用帶導(dǎo)數(shù)的無(wú)約束優(yōu)化算法來(lái)求解這種問(wèn)題。這種問(wèn)題可以描述為式(9)的形式:

(9)

其中，x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn。

極大極小問(wèn)題的研究有著重要的理論意義和實(shí)際價(jià)值。但由于目標(biāo)函數(shù)不可微，給以梯度為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)方法的求解帶來(lái)了困難[13-15]。近年來(lái)，智能優(yōu)化算法的興起為求解此類問(wèn)題提供了新的思路。基于這種思想，結(jié)合文獻(xiàn)[16]，筆者利用極大熵法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為光滑函數(shù)，并采用改進(jìn)遺傳算法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解。為解決傳統(tǒng)遺傳算法的缺陷，對(duì)算法進(jìn)行了改進(jìn)，以使得結(jié)果更為可靠。

3 模型的轉(zhuǎn)化

3.1 問(wèn)題的極大熵法轉(zhuǎn)化

(10)

3.2 改進(jìn)遺傳算法

1)設(shè)定種群規(guī)模n=100，變異概率pm=0.1以及交叉概率pc=0.6，終止進(jìn)化代數(shù)T=300。

2)染色體編碼。采用浮點(diǎn)數(shù)編碼，并用輪盤(pán)賭法產(chǎn)生初始群體。

4)交叉變異。由于基本位變異發(fā)揮作用緩慢，效果不明顯，參考文獻(xiàn)[17]，筆者對(duì)遺傳算法進(jìn)行改進(jìn)，采用三點(diǎn)交叉法來(lái)解決問(wèn)題。

5)重復(fù)步驟3)、4)直到滿足遺傳算法的收斂條件。

6)結(jié)果的深層次優(yōu)化。文獻(xiàn)[18]指出：隨機(jī)方向法的搜索運(yùn)算是一種能保證迭代產(chǎn)生的點(diǎn)列為函數(shù)單調(diào)下降的良好局部極值數(shù)值優(yōu)化算法。因此，經(jīng)隨機(jī)方向法的搜索運(yùn)算產(chǎn)生的新的個(gè)體繼承了其父代的優(yōu)良品質(zhì)，得到比標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法更優(yōu)的結(jié)果。因此將步驟5)得到的最優(yōu)個(gè)體作為隨機(jī)方向法的初始點(diǎn)，做進(jìn)一步優(yōu)化，直到計(jì)算精度滿足算法設(shè)定的終止條件。

改進(jìn)的遺傳算法流程圖如圖2所示。

4 優(yōu)化結(jié)果分析

某防空武器系統(tǒng)的彈簧推式平衡機(jī)的設(shè)計(jì)參數(shù)中已知的數(shù)據(jù)為：γ0=0.92°,φmax=63.5°,φmin=-3°,Qq=990 kg,lq=553 mm,n=2。設(shè)計(jì)變量的取值范圍如下：

150≤x1≤300,500≤x2≤700,3≤x3≤116.5,20≤x4≤40,200≤x5≤400

根據(jù)問(wèn)題求解需要，將射角離散化，令:

將參數(shù)帶入式(10)，采用本文第2節(jié)中的算法求解平衡機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，運(yùn)算50次，取50次計(jì)算的平均值，進(jìn)行尺寸圓整后的優(yōu)化結(jié)果如表1所示，遺傳算法求解過(guò)程如圖3所示。

表1中括號(hào)內(nèi)為文獻(xiàn)給出結(jié)果，也即優(yōu)化計(jì)算結(jié)果。然而實(shí)際計(jì)算結(jié)果卻和優(yōu)化計(jì)算結(jié)果不同。造成這種現(xiàn)象的原因可能是文獻(xiàn)[9]、[10]在優(yōu)化求解時(shí)并未將優(yōu)化結(jié)果帶入原方程求解，將適應(yīng)度函數(shù)值作為其最優(yōu)解，從而產(chǎn)生了誤差。

表1 平衡機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)方案對(duì)比表

由表1可知，文獻(xiàn)[9]、[10]分別利用單純形法與復(fù)合形法對(duì)該武器的推式平衡機(jī)進(jìn)行了優(yōu)化，優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果表明，最大不平衡力矩分別較原方案減少了41%、66%，優(yōu)化結(jié)果較理想。采用本文的基于極大熵法和改進(jìn)遺傳算法的混合算法對(duì)該平衡機(jī)進(jìn)行優(yōu)化后發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化結(jié)果較文獻(xiàn)[9]改進(jìn)了45.6%，較文獻(xiàn)[10]改進(jìn)了6.8%。由圖3的算法求解過(guò)程可以看出，利用本文改進(jìn)遺傳算法進(jìn)行求解，收斂速度較慢，但利于尋找全局最優(yōu)解，求解結(jié)果較標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法優(yōu)。因此，本文采用的改進(jìn)遺傳算法在平衡機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)方面具有很好的效果。

5 結(jié)束語(yǔ)

在求解極大極小值問(wèn)題時(shí)，極大熵法提供了一種行之有效的方法。通過(guò)極大熵法將非光滑的函數(shù)轉(zhuǎn)化為光滑的極值問(wèn)題，使得問(wèn)題得到了簡(jiǎn)化。改進(jìn)的遺傳算法改善了傳統(tǒng)遺傳算法的早熟收斂問(wèn)題，并通過(guò)隨機(jī)方向法對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行搜索，使得問(wèn)題的解盡可能逼近最優(yōu)解，算法可靠性較高。通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，新算法優(yōu)于當(dāng)前平衡機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的常用算法。

[1] 談樂(lè)斌,張莉芳,張?jiān)铝?氣壓式平衡機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 火炮發(fā)射與控制學(xué)報(bào), 1998(3):25-28.

TAN Le-bin, ZHANG Li-fang, ZHANG Yue-lin. Optimization design of air pressure balancing machine[J]. Journal of Gun Launch & Control, 1998(3):25-28. (in Chinese)

[2] D Applegate, W Cook, S Dash, et al. Solution of a min-max vehicle routing problem[J]. Informs Journal on Computer, 2002(14):132-143.

[3] E M Arkin, R Hassin, A Levin. Approximations for minimum and min-max vehicle routing problems[J]. Journal of Algorithms, 2006(59):1-18.

[4] Fusheng Wang, Yanping Wang. Nonmonotone algorithm for minimax optimization problems[J]. Applied Mathematics and Computation, 2011(217):6296-6308.

[5] A Cramer, S Sudhoff,E Zivi. Evolutionary algorithms for minimax problems in robust design[J]. Evolutionary Computation, IEEE Trans. 2009, 2(13):444-453.

[6] 薛毅.求解Minimax優(yōu)化問(wèn)題的SQP方法[J]. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué), 2002, 22(3):355-364.

XUE Yi. The SQP method for soving minimax problem[J]. Journal of Systems Science and Mathematical Sciences, 2002, 22(3):355-364.(in Chinese)

[7] Yu Xiao, Bo Yu. A truncated aggregate smoothing newton method for minimax problems[J]. Applied Mathematics and Computation, 2010 (216):1868-1879.

[8] 玄光男, 程潤(rùn)偉, 于歆杰,等. 遺傳算法與工程優(yōu)化[M]. 北京：清華大學(xué)出版社, 2004:101-120.

XUAN Guang-nan, CHENG Run-wei, YU Xin-jie. Genetic algorithms and engineering optimization[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2004:101-120. (in Chinese)

[9] 毛保全, 邵毅. 火炮自動(dòng)武器優(yōu)化設(shè)計(jì)[M]. 北京：國(guó)防工業(yè)出版社, 2007:153-187.

MAO Bao-quan, SHAO Yi. Optimization of gun automatic weapon[M]. Beijing: National Defense Industry Press, 2007:153-187. (in Chinese)

[10] 談樂(lè)斌. 彈簧推式平衡機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 制造業(yè)自動(dòng)化. 1999(8):14-17.

TAN Le-bin. Optimization design of spring push type balancer[J]. Manufacturing Automation,1999(8):14-17. (in Chinese)

[11] 王建群, 盧志華, 哈布哈琪. 求解約束非線性優(yōu)化問(wèn)題的群體復(fù)合形進(jìn)化算法[J].河海大學(xué)學(xué)報(bào), 2001, 3(5):46-50.

WANG Jian-qun, LU Zhi-hua, HA Bu-haqi. A group complex evolution algorithm for nonlinear constrained optimization problem[J]. Journal of Hehai University,2001, 3(5):46-50. (in Chinese)

[12] 雍龍泉, 孫培民, 張建科. 一類非線性極大極小問(wèn)題的極大熵社會(huì)認(rèn)知算法[J]. 計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用, 2010, 46(26):36-37, 42.

YONG Long-quan, SUN Pei-min, ZHANG Jian-ke. Maximum entropy social cognitive optimization algorithm for a class of nonlinear minimax problems[J]. Computer Engineering and Application, 2010, 46(26):36-37,42. (in Chinese)

[13] Obasanjo E，Tzallas-Regas G，Rustem B. An interior-point algorithm for nonlinear minimax problems[J]. Journal of Optimization Theory and Applications, 2010, 144(2):291-318.

[14] Huyer W，Neumaier A. A new exact penalty function[J]. SIAM Journal on Optimization, 2003, 13(4): 1141-1158.

[15] Zhu Z. An improved SQP algorithm for solving minimax problems[J]. Applied Mathematics Letters, 2009, 22(4):464-469.

[16] 田益祥, 陳華富. 非線性極大極小問(wèn)題的一個(gè)有效算法[J]. 電子科技大學(xué)學(xué)報(bào). 2001, 30(3):316-319.

TIAN Yi-xiang, CHEN Hua-fu. An effective algorithm for nonlinear constraint max-min problems[J]. Journal of University of Electronic Science and Technology of China, 2001, 30(3):316-319. (in Chinese)

[17] 李應(yīng), 王琦, 王源博,等. 改進(jìn)遺傳算法及其在Matlab中的應(yīng)用[J]. 機(jī)械工程師, 2011(11):42-43.

LI Ying, WANG Qi, WANG Yuan-bo, et al. Improved genetic algorithms and its application in Matlab[J]. Mechanical Engineer, 2011(11):42-43. (in chinese)

[18] 陳建濤, 蔣亞峰. 改進(jìn)的粒子群算法在桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào). 2012, 26(4):449-453.

CHEN Jian-tao, JIANG Ya-feng. Application of improved particle swarm algorithm in truss structure optimization design[J]. Communication on Applied Mathematics and Computation. 2012, 26(4):449-453. (in Chinese)