喻光繼

(廣西財經(jīng)學院信息與統(tǒng)計學院, 中國 南寧 530003)

粗糙集理論是著名科學家Pawlak在20世紀80年代初提出的一種處理模糊和不精確性問題的數(shù)學工具, 其對象的分類基于不可分辨關系(即等價關系). 經(jīng)過二十多年的發(fā)展, 粗糙集理論巳成功地應用于數(shù)據(jù)挖掘、人工智能、決策管理、風險評估及故障診斷等多個領域[1-5].

粗糙集理論的核心概念是上、下近似運算, 它們是由一個論域上的等價關系導出的運算. 從拓撲學的角度看, 它們也可看作由一個論域上的等價關系所誘導出來的拓撲而產(chǎn)生的閉包算子和內(nèi)部算子.

由于粗糙集和拓撲學都是基于集合論的, 它們之間存在密切、自然的聯(lián)系. 討論它們之間的關系, 有利于構建粗糙集理論的數(shù)學基礎, 使拓撲學成為粗糙集理論的研究工具, 為拓撲學的實際應用開辟一條新途徑. 本文研究了IVF二元關系與鄰域算子, 獲得IVF近似空間的拓撲結構,這不僅有助于理解粗糙集理論中的一些基本概念及其性質, 而且對拓撲學本身都具有理論和實際意義.

1 預備知識

本文涉及的粗糙集和拓撲學方面的概念和符號均參見文獻[2, 6-9].

1.1 粗糙集

設U是稱為論域的非空有限集,θ是U上的等價關系, 稱序偶對(U,θ) 為近似空間.記U/θ為X上的由θ生成的等價類全體構成的集, 則U/θ中的元素稱為基本集. 若將U的子集表示概念或知識, 則近似空間(U,θ) 稱為知識結構. 基本集表示基本概念或知識模塊. 可表示為若干個基本集的并的集合均稱為可定義集, 否則稱為不可定義集. 可定義集也稱為精確集, 它表示已有知識, 它可在知識結構中被精確地定義或描述. 不可定義集也稱為粗糙集, 它在知識結構中不能被精確地定義或描述, 但可用上近似集和下近似集來“近似”地描述.

1.2 區(qū)間值模糊集

定義1[10]設a,b∈[I],定義

(1)a=b?a-=b-,a+=b+.

(2)a≤b?a-≤b-,a+≤b+;a

(3)aC=[1-a+,1-a-].

定義2設a,b∈[I],定義

定義3[10]設ai∈[I](i∈J),定義

定義4[10]設U是論域，若A：U→[I]為映射，則稱A為U上的區(qū)間模糊集(簡稱IVF集).

記F(i)(U)={A:A為U上的IVF集}，F(xiàn)(i)(U×U)={A:A為U×U上的IVF集}.類似于模糊集，IVF集也有相應運算及運算律,這里省略.

定義5[10]?A∈F(i)(U),x∈U,記A(x)=[A-(x),A+(x)],則分別稱A-：U→I和A+:U→I為A的下模糊集和上模糊集.

定義6?X∈2U,記

性質1設U是論域，且X，Y∈2U,則

證(1)?x∈U,

由定義2得

而

(2)“?”設X?Y,?x∈U,

由x?Y得x?X.于是U-Y?U-X.所以X?Y.

(3)?x∈U,

則

而

(4)類似(3)可證.

2 IVF二元關系

2.1 IVF二元關系與IVF鄰域算子

定義7若R∈F(i)(U×U),則稱R為論域U上的IVF二元關系，稱(U，R)為IVF近似空間。

定義8[11]設(U,R)是IVF近似空間，對任意x∈U,稱

y→R(x,y)

為x的IVF鄰域.

定義9[12]設(U，R)是IVF近似空間，則

2.2 IVF二元關系與粗糙近似算子

性質2設(U，R)是IVF近似空間，則?X,Y∈2U,

證(1)顯然.

(5)由(4)可得.

命題1設(U，R)是IVF近似空間，則以下條件等價.

(1)R是自反的；

(2)?X∈2U,有R(X)?X;

則

因此R(X)?R(R(X)).

證由命題1和命題2可得.

3 IVF近似空間的拓撲結構

定理1設(U，R)是IVF近似空間，且R為自反的，則τ={X∈2U:R(X)=X}是U上的拓撲.

證(i)由R為自反的，則由命題1，R()?.于是∈τ.由性質2(1)，U∈τ.

(ii)?X,Y∈τ,由性質2(3)，X∩Y∈τ.

(iii)?X,Y∈τ,由性質2(5),R(X∪Y)?R(X)∪R(Y)=X∪Y;由于R為自反的，則由命題1，R(X∪Y)?X∪Y.所以R(X∪Y)=X∪Y.于是X∪Y∈τ.

所以τ是U上的一個拓撲.

注3設(U，R)是IVF近似空間，且τ是U上的拓撲.記

intτ(X)=∪{Y∈τ:Y?X},clτ(X)=∩{Y∈τC:Y?X}.

其中τC={X∈2U:U-X∈τ}.

顯然

intτ(U-X)=U-clτ(x);clτ(U-X)=U-intτ(X).

(1)

定理2設(U，R)是IVF近似空間，R是自反的，且τ為定理1中的拓撲，則?X∈2U,

證由性質2(4)，

intτ(X)=∪{Y∈τ:Y?X}=∪{R(Y):R(Y)=Y?X}?R(X).

(2)

定理3設(U，R)是IVF近似空間，R是自反和傳遞的，且τ為定理1中的拓撲，σ={R(X):X∈2U},則

(1)τ=σ.

證(1)“?”設X∈τ,則X=R(X)∈δ.于是τ?δ.

“?”設X∈δ,則存在Y∈2U使得X=R(Y).由推論1，R(R(Y))=R(Y).所以X=R(Y)∈δ.于是τ?δ.

因此τ=δ.

(2)(a)“?”由定理2，intτ(X)?R(X).

“?”類似(1)“?”可得R(X)∈τ.因R是自反的，由命題1得R(X)?X.于是

intτ(X)=∪{Y∈τ:Y?X}?∪{R(X)}=R(X).

所以intτ(X)=R(X).

(b) 由(a)和性質2(2)可得.

參考文獻：

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