鄭圣子

(天津科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300222)

移動(dòng)機(jī)器人是機(jī)器人領(lǐng)域的一個(gè)重要分支.在20 世紀(jì)60年代初期，學(xué)者已經(jīng)開(kāi)始了對(duì)移動(dòng)機(jī)器人的研究[1–2].初期的研究主要集中于野外機(jī)器人的系統(tǒng)設(shè)計(jì)和信息處理，及其怎樣構(gòu)建實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)以對(duì)新理論進(jìn)行驗(yàn)證.近年來(lái)，對(duì)移動(dòng)機(jī)器人的研究開(kāi)始進(jìn)入與人類生活息息相關(guān)的領(lǐng)域[3].移動(dòng)機(jī)器人的模塊化設(shè)計(jì)是當(dāng)今移動(dòng)機(jī)器人領(lǐng)域一個(gè)新的研究熱點(diǎn)，它能大大降低研究和開(kāi)發(fā)的費(fèi)用，降低移動(dòng)機(jī)器人成本，提供標(biāo)準(zhǔn)的零部件設(shè)計(jì)[4–5].但大多數(shù)小型機(jī)器人的模塊化設(shè)計(jì)只是適用某類特定的機(jī)器人產(chǎn)品和硬件模塊化，沒(méi)有真正實(shí)現(xiàn)軟件與硬件產(chǎn)品同時(shí)在不同機(jī)器人產(chǎn)品上的通用化.

因?yàn)槿蝌?qū)動(dòng)控制的顯著優(yōu)點(diǎn)，使其成為移動(dòng)機(jī)器人領(lǐng)域的另一個(gè)研究熱點(diǎn).這項(xiàng)技術(shù)可使機(jī)器人能越過(guò)更多障礙，更加靈活和智能化[6–7].全向驅(qū)動(dòng)的缺點(diǎn)是后續(xù)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型相對(duì)復(fù)雜.對(duì)于小型廉價(jià)機(jī)器人，宜采用單片機(jī)控制.單片機(jī)控制系統(tǒng)價(jià)格低，但計(jì)算能力差，能否實(shí)現(xiàn)對(duì)全向驅(qū)動(dòng)的實(shí)時(shí)控制是機(jī)器人模塊化設(shè)計(jì)的瓶頸.

本文設(shè)計(jì)了一種四輪全向驅(qū)動(dòng)機(jī)器人，其采用通用接口和模塊化的設(shè)計(jì)方法.針對(duì)設(shè)計(jì)提出一種模塊化四輪全向驅(qū)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并對(duì)模型進(jìn)行了分析和簡(jiǎn)化.模型通過(guò)不斷地改變曲率半徑實(shí)現(xiàn)對(duì)小車的方向控制，克服了全向驅(qū)動(dòng)建模的復(fù)雜性問(wèn)題.

1 四輪全向驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的模塊化設(shè)計(jì)

機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)和控制的基礎(chǔ).機(jī)器人與計(jì)算機(jī)相區(qū)別的一個(gè)重要特征就是機(jī)器人能夠運(yùn)動(dòng).要運(yùn)動(dòng)就必須有動(dòng)力部件以及由這些動(dòng)力部件驅(qū)動(dòng)的結(jié)構(gòu).驅(qū)動(dòng)子系統(tǒng)、傳感子系統(tǒng)和控制決策子系統(tǒng)是一個(gè)機(jī)器人最基本的3 部分.

如圖1所示，模塊化設(shè)計(jì)的四輪全向驅(qū)動(dòng)機(jī)器人由4個(gè)電機(jī)驅(qū)動(dòng)模塊、4個(gè)舵機(jī)驅(qū)動(dòng)模塊、4個(gè)紅外障礙檢測(cè)傳感器模塊、AVR 單片機(jī)控制器以及電纜等輔助設(shè)備組成.

圖1 四輪全向驅(qū)動(dòng)機(jī)器人實(shí)物圖Fig.1 Physical map of omni-directional 4-wheel-driving robot

2 建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

2.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模過(guò)程分析

運(yùn)動(dòng)學(xué)是對(duì)機(jī)械系統(tǒng)如何運(yùn)行進(jìn)行研究.必須了解機(jī)器人的機(jī)械行為以正確地設(shè)計(jì)特定任務(wù)的移動(dòng)機(jī)器人，即必須建立相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，這是移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)最根本的問(wèn)題.

建立模型是一個(gè)由底向上的過(guò)程[8].各單個(gè)輪子對(duì)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)作貢獻(xiàn)，同時(shí)又對(duì)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)施加約束.根據(jù)小車底盤的幾何特性，4個(gè)輪子是連在一起的，所以它們的約束聯(lián)合起來(lái)，形成對(duì)機(jī)器人底盤的整個(gè)運(yùn)動(dòng)約束.在整個(gè)分析過(guò)程中，把機(jī)器人建模成輪子上的剛體，運(yùn)行在水平面上.

為確定機(jī)器人的位置，建立全局坐標(biāo)系和機(jī)器人局部坐標(biāo)系之間的關(guān)系，見(jiàn)圖2.坐標(biāo)軸XI和YI將平面上任意一個(gè)慣性基定義為從某原點(diǎn)O(XI，YI)開(kāi)始的全局坐標(biāo)系.選擇機(jī)器人的底盤中心點(diǎn)P 作為參考點(diǎn).基于(XR，YR)定義了機(jī)器人底盤相對(duì)于P 的兩個(gè)軸，從而定義了機(jī)器人的局部坐標(biāo)系.在全局坐標(biāo)系中，P 的位置由坐標(biāo)x 和y 確定，全局和局部坐標(biāo)之間的角度由θ 給定.可以將機(jī)器人的姿態(tài)描述為具有3個(gè)元素的向量：

下標(biāo)I 表明該姿態(tài)基于全局坐標(biāo)系.為了根據(jù)分量的移動(dòng)描述機(jī)器人的移動(dòng)，就需要把在全局坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)映射成在機(jī)器人局部坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng).映射的是機(jī)器人當(dāng)前位置的函數(shù)，該映射可用正交旋轉(zhuǎn)矩陣表示：

可以用該矩陣將全局坐標(biāo)系(XI，YI)中的運(yùn)動(dòng)映射到局部坐標(biāo)系(XR，YR)中.這個(gè)運(yùn)算由標(biāo)記：

圖2 建模分析示意圖Fig.2 Schematic diagram of modeling analysis

2.2 輪子運(yùn)動(dòng)學(xué)約束

建立機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的第一步是表達(dá)加在單獨(dú)輪子上的約束.為了簡(jiǎn)化問(wèn)題便于分析，假定輪子平面總是保持垂直，且在所有的情況下，輪子與地面之間只有一個(gè)單獨(dú)的接觸點(diǎn).

在這些條件下，每一個(gè)輪子有兩個(gè)約束：第一個(gè)約束堅(jiān)持滾動(dòng)接觸的概念，即當(dāng)運(yùn)動(dòng)在適當(dāng)方向發(fā)生時(shí)，輪子必須滾動(dòng)；第二個(gè)約束堅(jiān)持無(wú)橫向滑動(dòng)的概念，即在正交于輪子的平面，輪子必須無(wú)滑動(dòng).

小車輪子類型屬于小腳輪，輪子的接觸點(diǎn)在位置B，它被固定長(zhǎng)度d 的剛性桿AB 連接到點(diǎn)A，從而固定了垂直軸的位置，B 圍繞該軸進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng).車輪有兩個(gè)隨時(shí)間改變的參數(shù)，φ(t)表示車輪隨時(shí)間的轉(zhuǎn)動(dòng)，β(t)表示AB 隨時(shí)間的轉(zhuǎn)動(dòng)角度和方向，其分析示意圖見(jiàn)圖3.

圖3 小車輪分析示意圖Fig.3 Schematic diagram of wheel analysis

對(duì)小腳輪而言，在與輪子平面一致的運(yùn)動(dòng)期間，軸偏移不起作用，其滾動(dòng)約束方程為

然而，小腳輪的幾何特性對(duì)滑動(dòng)約束有重大影響.關(guān)鍵問(wèn)題是，在點(diǎn)A 發(fā)生對(duì)輪子的橫向力，因?yàn)檫@是輪子與底盤的接觸點(diǎn).由于相對(duì)于點(diǎn)A 的地面偏移接觸點(diǎn)，橫向運(yùn)動(dòng)約束不為零，此約束是一個(gè)滾動(dòng)約束.因此，必定產(chǎn)生垂直于軸的適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)：

式(1)、式(2)是一個(gè)輪子的運(yùn)動(dòng)方程，將4個(gè)輪子的方程聯(lián)立即為小車的運(yùn)動(dòng)模型.

2.3 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的簡(jiǎn)化

2.3.1 模型的簡(jiǎn)化理論

上述運(yùn)動(dòng)模型是四輪小車機(jī)器人的通用模型，對(duì)于小車要走的路徑、前進(jìn)的方向，可以有多種選擇，模型有多種解，實(shí)現(xiàn)方法多樣.為便于計(jì)算和編程，實(shí)現(xiàn)不同的路徑軌跡，必須對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化.

任何一條曲線都可看作是由無(wú)數(shù)曲率半徑已知的小圓弧組成的，這是對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化的基礎(chǔ).由于每個(gè)小車輪子都配有舵機(jī)，每個(gè)輪子都能靈活運(yùn)動(dòng)，故可以按曲率半徑來(lái)控制小車的運(yùn)動(dòng)軌跡.轉(zhuǎn)彎時(shí)小車4個(gè)車輪的法線相交于路徑曲線的曲率中心.

2.3.2 模型簡(jiǎn)化的實(shí)現(xiàn)

以圖4中小車向右轉(zhuǎn)為例進(jìn)行詳細(xì)分析，并計(jì)算小車舵機(jī)的轉(zhuǎn)角，其分析過(guò)程如圖5 所示.圖5 中，A點(diǎn)為小車底盤中心(局部坐標(biāo)的原點(diǎn))，B 點(diǎn)為路徑曲線曲率中心，C 點(diǎn)為舵機(jī)轉(zhuǎn)軸，D 點(diǎn)為小車車輪中心，AB 為路徑曲線的曲率半徑，記為R，AC 為小車局部坐標(biāo)原點(diǎn)與舵機(jī)轉(zhuǎn)軸中心的距離，BD 方向?yàn)檐囕喎ň€方向.其中AB＝92,mm，CD＝75,mm，車輪半徑r＝30,mm，∠BAC＝49°，輪子與CD 舵機(jī)連桿方向的夾角∠CDF＝53°.

圖4 小車運(yùn)行示意圖Fig.4 Schematic diagram of robot motion

圖5 舵機(jī)轉(zhuǎn)角計(jì)算分析圖Fig.5 Computing analysis of motor rotation angle

在△ABC 中，∠BCA 為已知.由上述條件，利用余弦定理和正弦定理可求得BC 長(zhǎng)度和∠ABC：

在△BCD 中，已經(jīng)求得BC 的長(zhǎng)度，BD 垂直于車輪EF，∠CDF 已知.由上述條件，利用余弦定理和正弦定理可求得BD 的長(zhǎng)度和∠BCD：

舵機(jī)連桿初始位置的方向?yàn)锳C，由幾何關(guān)系可以計(jì)算∠DCG，即為曲線此點(diǎn)位置處小車舵機(jī)的轉(zhuǎn)角：

對(duì)于遠(yuǎn)離曲率中心的小車外側(cè)輪子，其計(jì)算方法與上述計(jì)算過(guò)程類似.

由于小車幾何結(jié)構(gòu)和路徑實(shí)現(xiàn)方法的特點(diǎn)，雖然左右兩側(cè)舵機(jī)轉(zhuǎn)角大小不同，但小車同側(cè)的舵機(jī)具有相同的轉(zhuǎn)角，只是前后舵機(jī)轉(zhuǎn)角的符號(hào)相反，故利用上述分析結(jié)果即可得到同側(cè)舵機(jī)的轉(zhuǎn)角.

由數(shù)學(xué)知識(shí)，任意曲線的曲率半徑為

給定了機(jī)器人小車的路徑曲線，就可根據(jù)上式求得曲線任意點(diǎn)處的曲率半徑.根據(jù)求得的曲率半徑就可實(shí)現(xiàn)設(shè)定的機(jī)器人小車路徑.

2.3.3 模型簡(jiǎn)化中要解決的問(wèn)題

(1)轉(zhuǎn)彎問(wèn)題：平面坐標(biāo)系中的曲線有凹、凸兩種，曲率中心可能落在平面曲線的兩側(cè)(見(jiàn)圖6)，每一種小車具有相反的轉(zhuǎn)向趨勢(shì)，這就提出了小車如何轉(zhuǎn)向的問(wèn)題.

函數(shù)f(x)在區(qū)間I 上連續(xù)，如果對(duì)I 上任意兩點(diǎn)x1、x2，恒有，則函數(shù)為凹函數(shù)，如果恒有，則函數(shù)為凸函數(shù).

圖6 曲率分析示意圖Fig.6 Schematic diagram of curvature analysis

如果沒(méi)有這樣的限制，小車將只有一個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì).默認(rèn)函數(shù)為凸函數(shù)時(shí)小車有向左的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，函數(shù)為凹函數(shù)時(shí)小車有向右的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，這樣小車轉(zhuǎn)彎的問(wèn)題就解決了.

(2)曲率半徑過(guò)小或過(guò)大：由于受到小車幾何結(jié)構(gòu)和舵機(jī)架安裝的限制，舵機(jī)轉(zhuǎn)角并不能隨意設(shè)定，轉(zhuǎn)角范圍有所限制.

當(dāng)曲線某處曲率半徑過(guò)小時(shí)，令舵機(jī)按允許的最大轉(zhuǎn)角運(yùn)動(dòng)，確保小車的安全，防止舵機(jī)被卡死，燒壞舵機(jī).即小車有一最小曲率半徑，當(dāng)程序計(jì)算的曲率半徑小于此最小曲率半徑時(shí)，小車按最小曲率半徑運(yùn)動(dòng).

當(dāng)曲線某處曲率半徑過(guò)大時(shí)，由2.3.2 內(nèi)容計(jì)算得來(lái)的舵機(jī)轉(zhuǎn)角較小，甚至為零，可設(shè)定當(dāng)曲率半徑大于某一值時(shí)，默認(rèn)小車沿直線前進(jìn).

3 實(shí) 驗(yàn)

機(jī)器人機(jī)體采用ABS 塑料連接件，其質(zhì)量小于2,kg.微控制器采用Atmega128 單片機(jī)，驅(qū)動(dòng)電機(jī)為17,W直流電機(jī)，型號(hào)為FAULHABER 2342L012,CR，連接 47∶1 的行星齒輪減速器，舵機(jī)采用的是SolidMotion CDS5401 型數(shù)字化舵機(jī).假定室內(nèi)清掃機(jī)器人在沒(méi)有障礙的情況下要求覆蓋所有地面以完成清潔工作，因此本實(shí)驗(yàn)設(shè)定的軌跡是從一點(diǎn)出發(fā)不斷向外擴(kuò)張的螺旋線，使得清潔機(jī)器人能覆蓋全部工作區(qū)域.理論軌跡和實(shí)際實(shí)驗(yàn)軌跡如圖7 所示.

經(jīng)過(guò)10 次實(shí)驗(yàn)，模塊化機(jī)器人達(dá)到如下指標(biāo)：最大前進(jìn)速度12,cm/s；舵機(jī)最大轉(zhuǎn)角36°；紅外傳感器最大探測(cè)距離2,cm.通過(guò)測(cè)量，實(shí)際軌跡與理論軌跡相的最大偏差是2,cm，機(jī)器人每步運(yùn)行的反應(yīng)時(shí)間小于0.05,s.而常規(guī)軌跡控制方法采用三角函數(shù)和微分運(yùn)算，采用單片機(jī)控制系統(tǒng)的每步運(yùn)算時(shí)間大于0.1,s，行走軌跡是斷斷續(xù)續(xù)的，不能實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)控制.與常規(guī)軌跡控制方法的對(duì)比表明，在現(xiàn)有微控制器的運(yùn)算速度條件下，簡(jiǎn)化的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型可以實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)控制.因此，在沒(méi)有光電編碼器的情況下，利用簡(jiǎn)化的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行實(shí)時(shí)控制相對(duì)比較理想，達(dá)到了設(shè)計(jì)要求.

圖7 螺旋線軌跡Fig.7 Spiral trajectory

4 結(jié)語(yǔ)

本文基于設(shè)計(jì)的模塊化四輪驅(qū)動(dòng)機(jī)器人，在對(duì)其運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，提出通過(guò)改變曲率半徑實(shí)現(xiàn)對(duì)小車運(yùn)行軌跡進(jìn)行控制的方法.簡(jiǎn)化的模型減少了計(jì)算規(guī)模，提高了控制效率，可使機(jī)器人能快速地反應(yīng)，具有較好的實(shí)時(shí)性.由于采用模塊化設(shè)計(jì)，可以較方便地加入其他模塊，提高了開(kāi)發(fā)效率.

模塊化機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型隨機(jī)器人的模塊組成不同，也會(huì)隨之變化，求解有一定難度.因此，如果能夠?qū)崿F(xiàn)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的模塊化，與機(jī)構(gòu)的模塊化相配合，將大大縮短模塊化機(jī)器人的開(kāi)發(fā)周期，這也是本課題下一步的研究方向.

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