林偉芬, 尤利華

(華南師范大學 數(shù)學科學學院, 廣東 廣州 510631)

Fibonacci數(shù)的標準分解式中素因數(shù)17的指數(shù)

林偉芬, 尤利華

(華南師范大學 數(shù)學科學學院, 廣東 廣州 510631)

研究了Fibonacci數(shù)Fn的標準分解式中素因數(shù)17的指數(shù)與下標n的關系,證明了Fibonacci數(shù)Fn的標準分解式中素因數(shù)17的指數(shù)由下標n的分解式中因數(shù)9的指數(shù)與17的指數(shù)來確定.

Fibonacci數(shù); 標準分解式; 素因數(shù); 指數(shù); 同余

0 引言

Fibonacci數(shù)起源于數(shù)學家P.Leonardo提出的“兔子問題”[1].因為Fibonacci數(shù)具有一些特殊性質(zhì)以及重要應用,所以一直引起許多學者的關注,同時也吸引著許多理論和應用研究專家的研究興趣.

定義1[2-3]Fibonacci數(shù)列是指由初始條件F0=0,F1=1和遞推關系Fn=Fn-1+Fn-2(n≥2)所確定的數(shù)列{Fn}n≥0,這里稱Fn為Fibonacci數(shù).

對于Fibonacci數(shù)的標準分解式中素因數(shù)的指數(shù)的有關研究,文[4-9]得到了素因數(shù)為2,3,5,7,11,13的相關結(jié)果.文[10-11]給出了Fibonacci數(shù)的一些整除性質(zhì).尤利華[12]對一般的奇素因數(shù)p與d(p)=min{w:p/Fw}的整除關系進行了研究,并提出了一個關于在p的Fd(p)標準分解式中的指數(shù)的猜想.本文在上述工作的前提下,證明了Fibonacci數(shù)Fn的標準分解式中素因數(shù)17的指數(shù)可由下標一的分解式中因數(shù)9的指數(shù)與17的指數(shù)來確定.

引理1 設m,n為正整數(shù),若m|n,則Fm|Fn,這里記號“a|b”表示a整除b.

引理2 設m,k為正整數(shù),則Fm+k=FmFk-1+Fm+1Fk.

引理3 設m為非負整數(shù),則 (Fm,Fm+1)=1.

引理4 設n為正整數(shù),則17|Fn?9|n.

證明由同余式

Fn+36=FnF35+Fn+1F36=9227465Fn+19430352Fn+1≡9227465Fn≡Fn(mod17),

且由Fibonacci數(shù)列的定義及同余的可加性,計算Fi(0≤i≤35)關于模17的最小非負剩余,可得:

表1 關于模17的最小非負剩余

故在Fibonacci數(shù)列中,Fn關于模17的最小非負剩余是以36為周期變化的,且Fn≡0(mod17)當且僅當n≡0(mod9),即17|Fn?9|n.

引理5 設m是正整數(shù),則F9m+1≡F9m-1(mod17)

證明由引理4及Fibonacci數(shù)的定義知,F9m=F9m+1-F9m-1≡0(mod17),故引理5成立.

1 主要結(jié)果及其證明

引理6 設m,p為正整數(shù),則

證明(i)對p應用數(shù)學歸納法:

由引理1知Fm|Fpm,又由引理2有

(ii)同樣對p應用數(shù)學歸納法:

由引理2知

定理1 設k,p為正整數(shù),則F9kp與F9k+1p的標準分解式中素因數(shù)17的指數(shù)相同.

證明由引理4易得17|F9kp,故在F9kp的標準分解式中,素因數(shù)17的指數(shù)必大于0,可設為s(s≥1),又設n=9kp,對取定的正整數(shù)p,對Fn的下標n的分解式中因數(shù)9的指數(shù)k用數(shù)學歸納法證明.

(ii) 假設當k≥1時結(jié)論都成立,即F9kp與F9k+1p的標準分解式中素因數(shù)17有相同的指數(shù)s(s≥1).下證對k+1也能成立,等價于證明F9k+1p與F9k+2p的標準分解式中素因數(shù)17的指數(shù)也為s.

因為9k+1p|9k+2p,由引理1有F9k+1p|F9k+2p從而有F9k+2p≡0(mod17s).

綜上(i)(ii)所述知,定理1得證.

定理2 設p為不含9和17的正整數(shù),則F9p的標準分解式中素因數(shù)17的指數(shù)為1.

證明因為9|9p,由引理1有F9|F9p,從而有F9p≡0(mod17),下證F9p不能被172整除.

不妨設p=17m+r,1≤r≤16,則F9p=F9×(17m+r)=F9×17m+9r=F9×17mF9r-1+F9×17m+1F9r.

運用同樣的證明方法可得下面定理3.

定理3 設p為不含9和17的正整數(shù),則F9×17p的標準分解式中素因數(shù)17的指數(shù)為2.

定理4 設n=9×17sp,其中p為不含9和17的正整數(shù),而s是任意非負整數(shù),則F9×17sp的標準分解式中素因數(shù)17的指數(shù)為s+1.

證明對任意取定的正整數(shù)p,對n的分解式中17的指數(shù)應用數(shù)學歸納法證明.

(i) 當s=0時,n=9p,由定理2知,F9p的標準分解式中素因數(shù)17的指數(shù)為s+1=1,此時結(jié)論成立.

(ii) 當s=1時,n=9×17p,由定理3知,F9×17p的標準分解式中素因數(shù)17的指數(shù)為s+1=2,此時結(jié)論也成立.

令m=9×17sp,則由引理2有

F9×17s+1p=F17m=F(9+8)m=F9mF8m-1+F9m+1F8m

(1)

(2)

(3)

(4)

由引理5知F9×17sp+1≡F9×17sp-1(mod17)即Fm+1≡Fm-1(mod17),又17|Fm,且由引理1,引理6可得

(5)

由式(1)-(5)可得

由F9×17sp的標準分解式中素因數(shù)17的指數(shù)為s+1可知

所以

(6)

當s≥1時,有2(s+1)≥s+3,則由引理5及9|m知,Fm+1≡Fm-1(mod17)且其最小非負剩余不是0,代入式(6)得

(7)

下證17s+3不能整除F9×17s+1p.

由式(6)有

(8)

由引理5及表1不妨設Fm+1=17q1+r,Fm-1=17q2+r,這里r=1,4,13,16,q1,q2為非負整數(shù).從而

(0×17q1r15+16×17q2r15+r16)+(1×17q1r15+15×17q2r15+r16)

+…+(8×17q1r15+8×17q2r15+r16)+8×(9×17q1r15+7×17q2r15+r16)≡

(1+2+…+8)×17q1r15+(16+15+…+8)×17q2r15+

9r16+72×17q1r15+56×17q2r15+8r16≡

17×(r+108q1+164q2)r15(mod172)

(9)

綜上所述及數(shù)學歸納法可知,定理4成立.

最后給出一個總結(jié)性定理如下.

定理5 設n為正整數(shù),且n=9k×17s×p,這里k,s為非負整數(shù),p為不含因數(shù)9和17的正整數(shù),則

1) 當k=0時,Fn的標準分解式中素因數(shù)17的指數(shù)為0;

2) 當k≥1時,Fn的標準分解式中素因數(shù)17的指數(shù)為s+1.

證明1)當k=0時,n不被9整除,由引理4知,17不能整除Fn,即Fn的標準分解式中素因數(shù)17的指數(shù)為0.

2)當k≥1時,由定理1知,在F9kp與F9k+1p的標準分解式中素因數(shù)17的指數(shù)相同,所以只需考慮k=1的情形.又由定理4可知,F9×17sp的標準分解式中素因數(shù)17的指數(shù)為s+1.

從而定理5成立.

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TheExponentofFactor17intheStandardFactorizationofFibonacciNumber

LIN Wei-fen, YOU Li-hua

(School of Mathematical Science, South China Normal University, Guangzho Guangdong 510631, China)

In this paper, the relationship between the exponent of factor 17 in the standard factorization of Fibonacci NumberFnand its subscript n are studied, and it is shown that the exponent of factor 17 in the standard factorization of Fibonacci NumberFncan be found out by the exponent of 9 and 17 in the factorization of the subscriptn

fibonacci number; standard factorization; factor; exponent; congruence

2013-06-26

國家自然科學基金青年基金項目(10901061)

林偉芬(1990-), 女, 廣東汕頭人, 碩士研究生, 研究方向為數(shù)學教育.

O156

A

1671-6876(2013)03-0213-05

[責任編輯李春紅]