方 芳

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)學(xué)院, 江蘇 南京 210023)

關(guān)于單個(gè)總體均值的半?yún)?shù)假設(shè)檢驗(yàn)方法

方 芳

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)學(xué)院, 江蘇 南京 210023)

提出一種半?yún)?shù)的假設(shè)檢驗(yàn)方法,將它應(yīng)用于對單個(gè)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn).最后給出了實(shí)例分析．

半?yún)?shù); 假設(shè)檢驗(yàn); 總體均值

0 引言

近些年有不少學(xué)者致力于在半?yún)?shù)密度函數(shù)比模型下建立半?yún)?shù)統(tǒng)計(jì)方法,比如Qin[1]研究了在密度函數(shù)比模型下如何對混合比例進(jìn)行半?yún)?shù)的統(tǒng)計(jì)推斷.Zhang[2]研究了半?yún)?shù)的分位數(shù)估計(jì)方法,Qin和Zhang[3]建立了在半?yún)?shù)函數(shù)密度比模型下進(jìn)行ROC曲線估計(jì)的半?yún)?shù)方法Folkianos[4],Cheng和Chu[5],以及Qin 和 Zhang[6]建立了半?yún)?shù)的密度函數(shù)估計(jì)方法Wan 和 Zhang[7-8]建立了在半?yún)?shù)函數(shù)密度比模型下進(jìn)行ROC曲線比較和估計(jì)的半?yún)?shù)方法.Wan[9]提出了用半?yún)?shù)方法對兩總體均值差進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn).

對于總體均值的檢驗(yàn),在知道總體分布服從正態(tài)分布的情況下可以用t檢驗(yàn).在樣本量很大時(shí)用u檢驗(yàn),那么在總體分布未知或者樣本量不大的情況下有沒有一種有效的方法呢?Wan已經(jīng)在兩總體半?yún)?shù)密度比模型下對兩總體均值差進(jìn)行了假設(shè)檢驗(yàn).本文致力于在兩總體半?yún)?shù)密度比模型下,對兩總體中的任一總體均值進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn).

對于兩樣本{x1,x2,x3,…xn0}{z1,z2,z3,…zn1},QIN和Zhang[10]建立了半?yún)?shù)密度比模型:

x1,x2,x3,…,xn0相互獨(dú)立并且密度函數(shù)為g(x),

z1,z2,z3,…,zn1相互獨(dú)立并且密度函數(shù)為f(x)=exp(α+xβ)g(x).

此模型為有偏樣本模型,權(quán)函數(shù)為exp(α+xβ),α,β為一維標(biāo)量.在這里我們可考慮多維形式,則改進(jìn)后的模型為:

x1,x2,x3,…,xn0相互獨(dú)立并且密度函數(shù)為g(x),

z1,z2,z3,…,zn1相互獨(dú)立并且密度函數(shù)為f(x)=exp(α+βTr(x))g(x).

這里α是一個(gè)標(biāo)量參數(shù),β為p×1的向量函數(shù),r(x)是一個(gè)p×1的關(guān)于x的光滑的向量函數(shù).由于模型中不要求g(x),f(x)是某個(gè)具體的分布,因而不是傳統(tǒng)的參數(shù)模型,同時(shí)又含有參數(shù)α,β,故又不是傳統(tǒng)的非參數(shù)模型在這里我們稱之為介于參數(shù)與非參數(shù)之間的半?yún)?shù)模型.

1 主要理論知識

我們可以將兩總體的樣本{x1,x2,x3,…,xn0}和{z1,z2,z3,…,zn1}合并為樣本{t1,t2,…,tn},則根據(jù)上面改進(jìn)后的模型里觀察到的數(shù)據(jù),可以寫出相應(yīng)的半?yún)?shù)經(jīng)驗(yàn)似然函數(shù):

我們根據(jù)文獻(xiàn)[9]知在改進(jìn)后的模型下G(t)的最大半?yún)?shù)似然估計(jì)量為

于是我們可以通過代入G(t)的估計(jì)量來獲得分布函數(shù)為G(t)的總體均值的最大似然估計(jì)量

則經(jīng)過計(jì)算得

化簡可得

其中

現(xiàn)在考慮在改進(jìn)后的模型下進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)H0:μ=θ0,H1:μ≠θ0.

根據(jù)定理1可以構(gòu)造一個(gè)半?yún)?shù)的Wald統(tǒng)計(jì)量

2 實(shí)例分析

例1 某切割機(jī)在正常工作時(shí), 切割每段金屬棒的平均長度為10.5cm, 今從一批產(chǎn)品中隨機(jī)的抽取15段如:10.4,10.6;10.1,10.4,10.5,10.3,10.3,10.2,10.9,10.6,10.8,10.5,10.7,10.2,10.7進(jìn)行測量, 則該機(jī)工作是否正常．

建立假設(shè)檢驗(yàn)H0:μ=10.5H1:μ≠10.5.

(i) 若切割的長度服從正態(tài)分布,且標(biāo)準(zhǔn)差已知,假定標(biāo)準(zhǔn)差為0.15,則可以根據(jù)單個(gè)總體均值u檢驗(yàn),得到

因此我們不可以拒絕原假設(shè)．該機(jī)工作正常.

(ii) 若切割的長度服從正態(tài)分布,且標(biāo)準(zhǔn)差未知,則根據(jù)單個(gè)總體均值t檢驗(yàn),得到

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ASemiparametricHypothesisTestingMethodonthePopulationMean

FANG Fang

(School of Applied Mathematics, Nanjing University of Finances and Economics, Nanjing Jiangsu 210023, China)

In this paper, we propose a semi-parametric hypothesis testing method,it would be applied to a single population mean hypothesis testing, and gives examples of analysis

semi-parametric; hypothesis testing; the population mean

2013-05-20

方芳(1988-), 女, 安徽六安人, 碩士研究生, 研究方向?yàn)閿?shù)理統(tǒng)計(jì)．

O211

A

1671-6876(2013)03-0204-04

[責(zé)任編輯李春紅]