安 博
(渭南師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院,陜西渭南714000)
基爾霍夫衍射理論[1]借助數(shù)學(xué)中的格林定理求解亥姆霍茲方程得出.
格林定理[2]G,u為坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)任意復(fù)函數(shù),S為包圍空間某體積V的封閉曲面.若u,G以及它們的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)在S面內(nèi)和面上都是單值連續(xù)的,則有:
設(shè)光場(chǎng)的光振動(dòng)為u(p,t),p點(diǎn)為觀察點(diǎn),亥姆霍茲方程為:
只要選取合適的格林函數(shù)G,就可由格林定理和亥姆霍茲方程求出u(p).
基爾霍夫選格林函數(shù)G(P0)為由P點(diǎn)向外發(fā)散的單位振幅的球面波,S面為包圍觀察點(diǎn)P的任意封閉曲面,在任意點(diǎn)P0上G的表示為:
r為觀察點(diǎn)P到P0的距離,為了排除P點(diǎn)的不連續(xù)性,必須把P點(diǎn)從討論的V內(nèi)“挖出”,這樣G才能滿足格林定理的要求.為此我們作一以P點(diǎn)為中心,半徑為ε的小球面Sε,由格林定理和亥姆霍茲方程得到
(3)式稱為基爾霍夫積分公式.但由于邊界條件的不可知性,其實(shí)用性也受到了限制[3].
研究無(wú)限大不透明平面上的小孔Σ所引起的衍射問(wèn)題時(shí),(3)式可以化簡(jiǎn)為:
S1表示緊靠屏幕后的平面.要從(4)式中求出u(p)需要對(duì)邊界條件作如下假設(shè):
(1)在Σ上各點(diǎn),u和?u/?n的分布與屏不存在同時(shí)相同,即完全由入射光波在這里的光場(chǎng)決定;
(2)在不透明的屏表面上各點(diǎn),u和?u/?n都等于0.
這時(shí)(4)式可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為:
(5)式表明,光波穿過(guò)具有透光孔Σ的無(wú)限大屏后,屏后空間任意點(diǎn)p的光波復(fù)振幅u(p)可以由孔上Σ的光場(chǎng)復(fù)振幅u(p0)及其法線方向的偏導(dǎo)數(shù)來(lái)表示.
雖然基爾霍夫衍射積分公式對(duì)于一般的衍射問(wèn)題可以給出與實(shí)際符合得非常好的結(jié)果,但是,基爾霍夫理論本身存在明顯的不自洽性[4].基爾霍夫邊界條件明確指出[1],在屏后光場(chǎng)的復(fù)振幅及其法向?qū)?shù)均為0,但由電動(dòng)力學(xué)中場(chǎng)論的基本原理可以證明,如果波動(dòng)方程的一個(gè)解在任意非無(wú)限小的面元上光場(chǎng)的復(fù)振幅和它的法向?qū)?shù)都為0,則這個(gè)解在整個(gè)空間都為0,這個(gè)結(jié)論與實(shí)際情況相矛盾.
基爾霍夫衍射理論能夠給出與實(shí)驗(yàn)符合較好的結(jié)果,但理論本身存在嚴(yán)重的不自洽性.而基爾霍夫衍射理論的不自洽性主要來(lái)自于同時(shí)對(duì)邊界上光場(chǎng)的復(fù)振幅及其法向?qū)?shù)施加邊界條件.為了克服基爾霍夫理論的不自洽性,可以通過(guò)提出格林函數(shù)的另一種選擇的方法,使得不必同時(shí)對(duì)邊界上光場(chǎng)的復(fù)振幅及其法向?qū)?shù)施加邊界條件,從而克服了基爾霍夫理論本身的不自洽性[5].
選擇一種新的格林函數(shù)
對(duì)于無(wú)限大不透明屏上一個(gè)小孔的衍射問(wèn)題,格林函數(shù)由p點(diǎn)和p'點(diǎn)的函數(shù)共同產(chǎn)生.
代入格林定理和亥姆霍茲方程,得到:
因此只需在積分面上對(duì)u(p0)施加邊界條件:
(1)屏后表面的u處處為0;
(2)孔Σ上的u與沒(méi)有衍射屏?xí)r相同.
于是(9)式簡(jiǎn)化為:
G也可以有另一種選擇方式:
此式由兩個(gè)振動(dòng)同向的格林函數(shù)線性組合而成,除此以外與G無(wú)異.對(duì)于無(wú)限大不透光屏上的小孔衍射,由格林定理和亥姆霍茲方程得到:
施加邊界條件:
與無(wú)屏相同.
此時(shí)僅u的導(dǎo)數(shù)消除了不自洽性:
假如衍射孔徑位于x0y0平面,觀察點(diǎn)位于xy平面,觀察平面與孔徑平面的距離為z遠(yuǎn)大于孔徑線度,單位振幅的平行光垂直入射衍射孔徑,孔徑上光場(chǎng)分布為
在傍軸近似下
把(13)(14)式代入(10)式得:
在傍軸近似下(10)式分母中r≈z.觀察面上光強(qiáng)分布為
這也正是基爾霍夫衍射理論應(yīng)用于雙縫衍射的結(jié)果.
[1]Born M,Wolf E.Principles of Optics[M].London:Cambridge University Press,1999.430.
[2]郭碩鴻.電動(dòng)力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1997.101.
[3]鄧小玖,高峰,劉彩霞,等.標(biāo)量衍射理論的非傍軸近似及其有效性[J].光子學(xué)報(bào),2006,35(6):898.
[4]梅妍.衍射理論中的佯謬[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1996,19(1):36-39.
[5]劉春香,程傳福,任曉榮,等.隨機(jī)表面散射光場(chǎng)的格林函數(shù)法與基爾霍夫近似的比較[J].物理學(xué)報(bào),2004,53(2):427-435.