楊 浩，趙麗玲

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

非線性熱傳導(dǎo)方程的反演計算

楊 浩，趙麗玲

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

討論非線性熱傳導(dǎo)方程確定未知熱導(dǎo)率分布的反問題.由于熱導(dǎo)率與空間和時間有關(guān)，先將非線性方程近似轉(zhuǎn)化成線性方程，再通過中心差分離散，采用步進(jìn)格式得到求解網(wǎng)格節(jié)點溫度的迭代方程并討論迭代方程的數(shù)值穩(wěn)定性，最后結(jié)合廣義交叉校驗(GCV)準(zhǔn)則和Tikhonov正則化方法，反演計算出與空間位置和溫度有關(guān)的熱導(dǎo)率.數(shù)值模擬結(jié)果表明該方法可行有效.

熱傳導(dǎo)方程；反問題；正則化方法

熱傳導(dǎo)參數(shù)反演問題[1]主要是從溫度場的某些觀測信息來獲取介質(zhì)本身的熱傳導(dǎo)的性質(zhì)，即從給定集合上的解來確定熱傳導(dǎo)方程的未知系數(shù).對于反系數(shù)問題(與位置和溫度有關(guān)的熱導(dǎo)率a(x,U) 的非線性熱傳導(dǎo)方程反演計算問題)，文獻(xiàn)[2-4]對熱傳導(dǎo)方程的反演計算也進(jìn)行了一些研究，在此基礎(chǔ)上本文對一些非線性熱傳導(dǎo)方程進(jìn)行反演計算，從而為熱傳導(dǎo)參數(shù)的確定提供了更加完善的解決方案.

1 問題模型離散及迭代格式

(1)

其中a(x,U)為待求未知量.

采用均勻的網(wǎng)格剖分如下:

(2)

則得到

(3)

再次取如下形式近似:

則式(3)化為

(4)

在x=0和x=L處離散邊界條件可得

故

當(dāng)j=0時，U(x,0)=0，式(4)可化為

當(dāng)i=0時，

當(dāng)i=m時，

當(dāng)1≤i≤m-1時，

寫成矩陣方程組即

Q1·U1=V1,

(5)

這里Q1是(m+1)×(m+1)階嚴(yán)格三對角占優(yōu)矩陣.其中：

當(dāng)1≤j≤n-1時，式(4)化為

當(dāng)i=m時，式(4)化為

當(dāng)1≤i≤m-1時，即為式(4).把離散格式寫成矩陣方程組的形式，則有

Qj+1·Uj+1=Wj+1·Uj+Vj+1，

(6)

其中：Qj+1是(m+1)×(m+1)階嚴(yán)格三對角占優(yōu)矩陣，Wj+1是三對角矩陣，

Uj=[U0,j,U1,j,U2,j,…,Um,j]T,

另外Qj+1和Wj+1可改寫為：

(7)

2 迭代增量Δb0,Δb1,Δb2,Δb3

誤差函數(shù)：

(8)

這里選擇函數(shù)類：

(9)

為了使T最小，令T關(guān)于b0,b1,b2,b3的偏導(dǎo)數(shù)均為零，即

(10)

其中Δb0,Δb1,Δb2,Δb3為b0,b1,b2,b3的迭代改善增量,dd是偏導(dǎo)數(shù)的離散步長，關(guān)于b0,b1,b2,b3取相同的離散步長dd.

3 數(shù)值試驗

例1設(shè)a(x,u)=1,

這里在空間和時間上采用相同的m=n等分的網(wǎng)格剖分，如表1-表2所示，表中第一列為牛頓迭代格式離散步長的取值dd，b,c皆為正則化后的結(jié)果.

表1 m=n=10，不同的dd誤差的變化，aerror=0.5772

表2 m=n=20，不同的dd誤差的變化，aerror=0.5653

例2設(shè)a(x,u)=t,

這里在空間和時間上采用相同的m=n等分的網(wǎng)格剖分，如表3-表4所示.

表3 m=n=10，不同的dd誤差的變化，aerror=0.4667

表4 m=n=20，不同的dd誤差的變化，aerror=0.4513

例3設(shè)a(x,u)=u,

即熱導(dǎo)值的精確解為[b0,b1,b2,b3]=[0,1,1,1],[c0,c1,c2]=[0,0,1].初始值選為[b0,b1,b2,b3]=[0.1,0.9,0.9,0.9].

這里在空間和時間上采用相同的m=n等分的網(wǎng)格剖分，如表5、圖1-圖2所示.通過比較表5以及圖1-圖2，當(dāng)給定初始值，初始誤差為0.5000，經(jīng)過適當(dāng)?shù)碾x散，正則化計算后的誤差可以降至0.0611.

表5 m=n=10，不同的dd誤差的變化，aerror=0.5000

圖1 m=n=10時，初值為[0.5,0.5,0.5,0.5],dd=1.02e-5時，a(x,U)的圖像Fig. 1 Picture of a(x,U), when m=n=10, initial value is [0.5,0.5,0.5,0.5], dd=1.02e-5

圖2 m=n=10時，初值為[0.01,0.98,1.02,0.97],dd=1.02e-5時，a(x,U)真值的圖像Fig. 2 Picture of true value of a(x,U), when m=n=10, initial value is [0.01,0.98,1.02,0.97], dd=1.02e-5

4 結(jié) 論

本文主要研究了齊次非線性熱傳導(dǎo)方程的反演計算的數(shù)值穩(wěn)定性，經(jīng)過本文的方法計算后誤差已經(jīng)相對較小，逼近效果也很好，可見本文的方法是非常有效的.

[1] Masataka T.Abstracts of international symposium on inverse problems in engineering mechanics (ISIP) [M]. Nagano City:Symposium secretariat,2000:1-52.

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[3] 周曼.一類熱導(dǎo)率的反演數(shù)值解法[D].杭州:浙江大學(xué),2007.

[4] 錢煒祺,蔡金獅,任斌.二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)逆問題初步研究[J].計算物理，2002,19(6):512-516.

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InverseCalculationofNonlinearHeatConductionEquation

YANG Hao, ZHAO Liling

(College of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

This paper discussed the inverse problems of determining unknown heat conductivity distribution by nonlinear heat conduction equation. Because of the links among heat conductivity, space and time, the nonlinear equations were firstly approximately converted into linear equations. Then, through the separation of the equation of center, the paper obtained the iterative equations for solving the temperature of grid nodes with marching method, discussed the numerical stability of the iterative equations, and finally inversely calculated the heat conductivity which concerning space and temperature by combing generalized cross check (GCV) with Tikhonov regularization method. The numerical simulation results show that the treatment is feasible and efficacious.

heat conduction equation; inverse problem; regularization method

2013-02-28

趙麗玲(1985—),女，應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生,主要從事科學(xué)計算研究.E-mail:284183733@qq.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2013.04.013

O174.41MSC201047H10；54H25

A

1674-232X(2013)04-0347-07