羅炯興

（西昌學院 少數(shù)民族預科教育學院，四川 西昌 615013）

1 引言

目前,由于計算機科學技術的迅速發(fā)展,樣條函數(shù)在數(shù)值逼近、曲面擬合、散亂數(shù)據(jù)插值、多元數(shù)值積分、有限元方法、偏微分方程數(shù)值解、計算機輔助設計和計算機圖形學等方面有著廣闊的應用.我們研究的二元樣條函數(shù)空間通常是指具有一定整體光滑度的分片多項式樣條函數(shù)空間,由線性代數(shù)的知識可知,實際上樣條函數(shù)空間是一個線性向量空間.顯然,要了解樣條函數(shù)空間并應用于實際,最首要的問題是弄清它的代數(shù)結構,即確定其維數(shù)和基底.而維數(shù)對于尋找樣條函數(shù)空間的基底(既基函數(shù))將會帶來許多便利,同時也為樣條函數(shù)空間的其他問題(例如插值問題等)提供了一個理論基礎.因此.維數(shù)問題是樣條函數(shù)空間的基本問題.對于一元情形,維數(shù)問題已被完全解決了(參考Boor[1]).對于二元情形,已經(jīng)做了許多工作,本文第1節(jié)將會對二元樣條函數(shù)空間做一個簡單的闡述以及直線剖分Δr和三角剖分Δ的定義,第2、3節(jié)將會分別介紹在直線剖分Δr和三角剖分Δ下二元樣條函數(shù)空間維數(shù)問題的研究中所得到的一些重要的維數(shù)結果,第4節(jié)將會對二元樣條函數(shù)空間的維數(shù)做一些注釋來結束本文.

給定平面R2上一個單連通區(qū)域Ω,用有限條曲線對區(qū)域進行剖分Δ(如圖1(a)所示).于是區(qū)域被剖分Δ分成了有限個子區(qū)域,我們把這樣的每個子區(qū)域稱為區(qū)域Ω的一個“胞腔”,記為 Di，i=1,2,…，T T表示形成剖分 Δ 的有限子區(qū)域的總數(shù).設形成每個胞腔邊界的那些線段稱為“網(wǎng)線”,網(wǎng)線的交點稱為“網(wǎng)點”.我們規(guī)定:每條網(wǎng)線的內(nèi)部沒有網(wǎng)點（即只有網(wǎng)線的兩端是網(wǎng)點）,一個閉胞腔上的所有網(wǎng)點稱為該胞腔的頂點,比如圖1(a)中的點P、Q、R和S就是胞腔I的頂點,若兩個網(wǎng)點為同一網(wǎng)線段的兩個端點,則稱該兩網(wǎng)點是相鄰網(wǎng)點.不在Ω的邊界?上的網(wǎng)點為“內(nèi)網(wǎng)點”,否則為“邊界網(wǎng)點”;不在?上的網(wǎng)線為“內(nèi)網(wǎng)線”,否則為“邊界網(wǎng)線”.對區(qū)域進行剖分以后,所有以某一網(wǎng)點P為頂點的胞腔的并集稱為網(wǎng)點P相對于剖分的關聯(lián)區(qū)域或星形區(qū)域,常記為B（P）或Star(P).

二元樣條函數(shù)空間定義為:

其中，k,μ∈N+Pk,表示次數(shù)不超過k的二元多項式線性空間,事實上，S∈(Δ)為一個在Ω上具有μ階光滑的分片k次多項式函數(shù).

圖1

目前研究二元樣條函數(shù)空間維數(shù)的方法主要有:光滑余因子協(xié)調法、B網(wǎng)方法和Blossom方法.光滑余因子協(xié)調法是1975年王仁宏提出的.王采用函數(shù)論與代數(shù)幾何的方法,建立了任意剖分下的二元樣條函數(shù)的基本理論框架 (詳見[2],[9]),從這種觀點出發(fā),二元樣條函數(shù)空間的任何問題均可轉化為與之等價的代數(shù)問題來研究.著名的B網(wǎng)方法最早由Farin[3]提出(詳見[4]),它要求剖分為三角剖分,一般不考慮任意剖分下的樣條函數(shù)空間.但由于剖分的針對性,B網(wǎng)方法對處理三角剖分下的樣條函數(shù)有其特殊的優(yōu)越性.迄今為止,三角剖分下的樣條函數(shù)的一些問題的最佳結果,如任意三角剖分下的樣條函數(shù)空間的維數(shù)問題,多是由B網(wǎng)方法得到.Blossom方法最早出現(xiàn)于文獻[5,6]中,它的基本思想可以追溯到代數(shù)幾何中的極形式(polarform).這種形式成功地再建和拓廣了單變量的樣條理論,并使得相關的定理和算法更加易于解釋,但對于多元樣條,借助于Blossom方法(詳見[7],[8])進行研究尚處于初始階段.

給定平面R2上一個單連通區(qū)域Ω,若用有限條直線對區(qū)域進行劃分形成的剖分,我們稱為直線剖分,記為“Δr”.若直線剖分Δr的胞腔是三角形(Δ的邊界部分視為直線),我們稱為三角剖分,記為“Δ”.由此可得三角剖分Δ是直線剖分Δr的特殊情形,直線剖分Δr下的二元樣條函數(shù)空間的維數(shù)結果可應用到三角剖分Δ的二元樣條函數(shù)空間.對于給定直線剖分Δr或三角剖分Δ,我們記:V、VI和VB分別表示剖分的網(wǎng)點數(shù)、內(nèi)網(wǎng)點數(shù)和邊界網(wǎng)點數(shù),E、EI和EB分別表示剖分的網(wǎng)線數(shù)、內(nèi)網(wǎng)線數(shù)和邊界網(wǎng)線數(shù)T表示剖分的胞腔數(shù).

2 直線剖分下的二元樣條函數(shù)空間的維數(shù)

若直線剖分Δr的所有內(nèi)網(wǎng)線為一些貫穿區(qū)域Ω的直線的一部分,稱這樣的直線剖分Δr為貫穿剖分(Cross-cut),記為Δc.設貫穿剖分Δc在區(qū)域Ω內(nèi)有L條貫穿線,V個內(nèi)網(wǎng)點A1,A2,…,AVI,且有ni條貫穿線相交于點Ai,i=1,2,…,VI.根據(jù)光滑余因子協(xié)調法,在點Ai處的協(xié)調條件解空間為:

其中，αiβj=αjβi(i≠j),i,j=1,…,ni.

Chui和Wang[10]利用消元法和二項系數(shù)間的關系式,導出了如下的dimVni具體公式

其中形如[·]表示不超過·的最大整數(shù)，(x)+=max(x,0)

根據(jù)光滑余因子協(xié)調法,于是有下列定理.

定理2.1[11]

作為貫穿剖分Δc的一種特殊的貫穿剖分—簡單貫穿剖分(Simple Cross-Cut).簡單貫穿剖分是規(guī)定每一個內(nèi)網(wǎng)點處僅有兩條貫穿線相交的貫穿剖分,記為ΔSC.則有下列維數(shù)公式,

定理2.2[11]

其中L、VI為簡單貫穿剖分ΔSC的貫穿線總數(shù)和內(nèi)網(wǎng)點總數(shù).

稱始于內(nèi)網(wǎng)點,終止于Ω的邊界?Ω的線段為Ω內(nèi)的射線[2].若中區(qū)域Ω的直線剖分Δr中的每一條網(wǎng)線或者是貫穿線的一部分,或者是區(qū)域Ω內(nèi)某射線的一部分,稱這樣的剖分Δ為擬貫穿剖分(Quasi-Cross-Cut),記為Δqc.對于R2中區(qū)域Ω的擬貫穿剖分Δqc,它是由L1條貫穿線及L2條射線所構成,設Δqc有VI個內(nèi)網(wǎng)點,且過第i個內(nèi)網(wǎng)點Ai的貫穿線及射線的總條數(shù)為ni,i=1,2,…,VI,則有如下的維數(shù)公式.

定理2.3[10]

為了以后的敘述需要,我們現(xiàn)在對直線剖分Δr的內(nèi)網(wǎng)點做一個排序,按照每兩個相繼的內(nèi)網(wǎng)點必須是同一條內(nèi)網(wǎng)線的兩端的規(guī)則組成一列內(nèi)網(wǎng)點集合.對每個i=1,2,…,VI是直線剖分Δr中與第i個內(nèi)網(wǎng)點Ai相連的不同斜率的內(nèi)網(wǎng)線總數(shù),是直線剖分Δr中與第i個內(nèi)網(wǎng)點Ai相連的不同斜率的內(nèi)網(wǎng)線,且不與集合中的前i-1個內(nèi)網(wǎng)點任意一個內(nèi)網(wǎng)點相連的內(nèi)網(wǎng)線總數(shù).Schumaker[12]和Manni[13]分別給出來了下列關于直線剖分Δr下二元樣條函數(shù)空間維數(shù)的界的兩個定理:

定理2.4[12]對于給定平面R2上一個單連通區(qū)域Ω一個對直線剖分 Δr，對每個 i=1,2,…,VI,ei和如上文定義,則二元樣條函數(shù)空間(Δ)的維數(shù)滿足

定理2.5[13]對于給定平面R2上一個單連通區(qū)域Ω一個對直線剖分 Δr，對每個 i=1,2,…,VI，ei，以及 α 和 β 如定理2.4所示,則二元樣條函數(shù)空間(Δ)的維數(shù)滿足

NC表示直線剖分Δr中貫穿線的總數(shù),

NC+表示直線剖分Δr中至少包括一條內(nèi)網(wǎng)線的貫穿線總數(shù),

NCi表示直線剖分Δr中通過內(nèi)網(wǎng)點Ai的貫穿線總數(shù)，i=1,2,…,VI,

Manni[14]在擬貫穿剖分基礎上定義了廣義擬貫穿剖分(Generalized-quasi-cross-cut)，記為 Δgqc，廣義擬貫穿剖分是指過每一個內(nèi)網(wǎng)點的貫穿線和擬貫穿線總數(shù)大于等于2的直線剖分Δr.并用協(xié)調條件根據(jù)定理2.4證明了當k≥μ-2+時,二元樣條函數(shù)空間(Δ)的維數(shù),這個結果與Schumaker[20]的維數(shù)下界公式是一致的.規(guī)定：

ηi是指剖分Δgqc在內(nèi)網(wǎng)點Ai(i=1,2,…,VI)處的貫穿線和擬貫穿線的總數(shù)，

η=min{ηi,i=1,2,…,VI}，

ei是廣義擬貫穿剖分Δgqc的連接網(wǎng)點Ai的不同斜率網(wǎng)線的總數(shù)，i=1,2,…,VI,

EI是廣義擬貫穿剖分Δgqc的內(nèi)網(wǎng)線的總數(shù),

Ed是廣義擬貫穿剖分Δgqc的連接兩內(nèi)網(wǎng)點的網(wǎng)線總數(shù),

Ecd是廣義擬貫穿剖分Δgqc的連接兩內(nèi)網(wǎng)點且在貫穿線和擬貫穿線上的網(wǎng)線總數(shù),

?iS是廣義擬貫穿剖分Δgqc的連接網(wǎng)點Ai和AS的特定網(wǎng)線,

Id={(i,s)∈N2,max(ηi,ηs)≥2,1＜i＜s≤VI|?iS不在貫穿線和擬貫穿結上}，

指出了在直線剖分下的一個維數(shù)上界公式.

定理2.6[14]設直線剖分Δr是R2上一個簡單單連通區(qū)域Ω的一個剖分,則有

其中,

于是有下面的維數(shù)定理.

定理2.7[14]設廣義擬貫穿剖分Δgqc是R2上一個簡單單連通區(qū)域Ω的一個剖分,如果則有

應用定理2.1、定理2.5和定理2.7,可以得到在矩形剖分和均勻1型、2型三角剖分,以及非均勻1型、2型三角剖分下二元樣條函數(shù)空間的維數(shù)公式,我們記Δmn為矩形剖分,記、分別為均勻 1 型和 2 型三角剖分,記、分別為非均勻1型和2型三角剖分.它們的具體描述如下:

設區(qū)域Ω是一個矩形區(qū)域

對于任意的正整數(shù)m和n,用兩簇直線x=xi,i=1,2,…,m，a＜x1＜x2＜…＜xm＜b，和 y=yj,j=1,2,…,m，c＜x1＜x2＜…＜xm＜d，對區(qū)域Ω進行劃分就形成了矩形剖分Δmn.在矩形剖分Δmn基礎上,畫上每個小矩形正斜率的對角線就形成了1型三角剖分,畫上每個小矩形正斜率和負斜率的對角線就形成了2型三角剖分.若矩形剖分Δmn是均勻的，它們分別是均勻1型三角剖分和均勻2型三角剖分;若矩形剖分Δmn不是均勻的，它們分別是非均勻1型三角剖分和非均勻2型三角剖分.

易知,矩形剖分Δmn、均勻1型三角剖分和均勻2型三角剖分是屬于貫穿剖分Δc的一種情形,應用定理2.1可得下列維數(shù)的推論.

推論2.1

幾乎同時,Schumaker[12]給出了公式,Chui和Wang[10]指出非均勻1型和2型三角剖分的二元樣條函數(shù)并不能由均勻1型和2型三角剖分的二元樣條函數(shù)經(jīng)簡單交換而得到,非均勻1型三角剖分就是廣義擬貫穿剖分的一種情形,可以應用定理2.7.另外利用定理2.5,可以得到下列非均勻1型、2型三角剖分下樣條維數(shù)的公式的推論 2.2.在 1984 年 Schumaker[12]也給出了相等價的維數(shù)公式,

推論2.2

ei表示過第i個內(nèi)網(wǎng)點的不同斜率的內(nèi)網(wǎng)線的條數(shù).

Diener[15]研究了在一種多邊形剖分Δn(如圖二所示)下的二元樣條函數(shù)空間(Δn),并在多邊形剖分 Δn滿足一定的幾何性質條件下,利用B網(wǎng)方法證明了當k≥3μ+2時二元樣條函數(shù)空間(Δn)的維數(shù),大于 Schumker在直線剖分Δn下二元樣條函數(shù)空間維數(shù)下界(如定理2.5所示).

定理2.8[15]一種多邊形剖分Δn(如圖2所示),，i=1,2,…,n.n條直線交于Ω0內(nèi)一點，當k≥3μ+2時，則有，這里e表示不共線段的條數(shù),

ei表示與內(nèi)網(wǎng)點相連的不同斜率的線段的條數(shù).

圖2

3 三角剖分下的二元樣條函數(shù)空間的維數(shù)

Schumker[16]給出了在任意三角剖分Δ下如下的二元樣條函數(shù)空間維數(shù)下界公式:

其中,EI和VI分別表示三角剖分Δ的內(nèi)網(wǎng)(μ+1+j-jei)+線數(shù)和內(nèi)網(wǎng)點數(shù).ei是指過第i個內(nèi)網(wǎng)點的不同斜率的網(wǎng)線段的數(shù)目.

這公式(3.1)與定理2.5維數(shù)下界公式相同,由于三角剖Δ是直線剖分Δr的特殊情形,定理2.5也可以表述為在任意三角剖分Δ下二元樣條函數(shù)空間維數(shù)的界.Schumker[16]提出了一個猜想:當k≥2μ+1時,這維數(shù)下界(3.2)式就是任意三角剖分Δ下二元樣條函數(shù)空間(Δ)精確的維數(shù).為了能夠驗證這個猜想，已經(jīng)做了許多工作,對于猜想的驗證的進展詳細統(tǒng)計，可以參考Schumker[17]和Hong[18]的文獻.據(jù)此,一些重要的結果如下:

(1)Alfeld[19]利用B網(wǎng)方法證明了當k≥4μ+1時,猜想是正確的(王和盧[20]利用光滑余因子協(xié)調法也給出與(3.1)式等價的維數(shù)下界公式)；

(2)Hong[21]利用 B 網(wǎng)方法證明了當 μ≥2，k≥3μ+2 時,猜想是正確的；

(3)Alfeld[22]利用B網(wǎng)方法技巧性地證明了當μ=1，k=4時,猜想是正確的；

(4)Alfeld[23]利用B網(wǎng)方法證明了非退化三角剖分(即從同一內(nèi)網(wǎng)點出發(fā)的網(wǎng)線有兩兩互異的斜率)下,當k=3μ+1時,猜想是成立的.

圖3

現(xiàn)在就介紹一些二元樣條函數(shù)空間維數(shù)的奇異性,既是二元樣條函數(shù)空間維數(shù)不僅依賴于剖分的拓撲結構,還依賴于剖分的幾何結構.Morgan-Scot剖分(如圖3所示)是二元樣條函數(shù)空間維數(shù)依賴于剖分的幾何性質的一個經(jīng)典例子,記Morgan-Scot剖分為 Δms.1977年Morgan[24]證明了(Δms)=6或者7,顯示了維數(shù)的奇異性,并指出了若Morgan-Scot剖分Δms是對稱的,那么維數(shù)為7.Chou[25]指出了Morgan-Scot剖分Δms不對稱的情況下,維數(shù)也可能為7.Chen[26]和Diener[27]從不同途徑完滿地解決了這一問題,得到了如下結果:

1990年Diener[27]證明了如下定理：

定理3.1[27]對所有 μ∈N+,則有(Δms)=α+σ 或 α+σ+1,當Morgan-Scot剖分Δms中網(wǎng)點不滿足下列條件:

其維數(shù)公式為

Diener[27]指出當 μ=1,2 時,條件(1)是(Δms)=α+σ+1的充要條件,并提出了一個猜想:當μ≥3時,條件(1)是dim(Δms)=α+σ+1的充要條件.關于這個猜想的驗證工作，一些主要的結果如下:

(1)陳[28]利用B網(wǎng)方法證明了當μ=3時,猜想成立.

(2)鄧[29]利用B網(wǎng)方法證明了當μ=4時,猜想需要修正,既為當且僅當，i=1,2,3,三直線交與一點；

(3)Deng[30]利用B網(wǎng)方法證明了當μ＞4時=α+σ+1當且僅當 ViV^i，i=1,2,3,三直線交與一點.可見猜想對μ≥4的偶數(shù)情形需要修正,這樣就完成了猜想的驗證工作.

Xu[31]研究了在 Morgan-Scott剖分 Δms下當 k≤2μ-1 時二元樣條函數(shù)空間(Δms)的維數(shù),維數(shù)公式具有相對簡潔的形式,并有下列定理.

定理3.2[31]對所有μ≥1，

Feng[8]和Chen[26]利用Blossom方法分別解決了dim(Δms)，n≥2，dim(Δms)，n≥4，結合 B 網(wǎng)方法陳[43]也解決了dim(Δms)，n≥6，具體表述如下：

Feng[32]利用Blossom方法得到了一個關于(Δ),n≥3 非奇異的充分條件.

定理3.3[32]設正規(guī)三角剖分Δ在每一內(nèi)頂點的度數(shù)不超過6,每一邊界頂點的度數(shù)不超過5,則n≥3時,(Δ)是非奇異的,且

劉[33,34]利用圖論定義了一類分層三角剖分記為Δ*,這包含了一定的任意三角剖分,并用積分協(xié)調條件解決了分層三角剖分Δ*下的二元樣條函數(shù)空間(Δ*)和(Δ*)的維數(shù)分別如下:

其中,V、VI、VS和E分別表示分層三角剖分Δ*的網(wǎng)點數(shù)、內(nèi)網(wǎng)點數(shù)、奇異內(nèi)網(wǎng)點數(shù)和網(wǎng)線數(shù).

由于次數(shù)較小的二元樣條函數(shù)空間維數(shù)的確定比較困難,因此人們轉而考慮某些特殊的剖分,對任意一個正規(guī)三角剖分進行細分加密而得到的加密三角剖分 (Refined triangulation).作為一類特殊的三角剖分,很早就受到了學者們的關注,下面就介紹 CT、Powell-Sabin(1)型、Powell-Sabin(2)型和Wang型加密三角剖分利用B網(wǎng)方法所取得的一些維數(shù)結果.

(1)CT加密三角剖分

圖4

1965年Clough和Tocher就提出了將原三角剖分每個三角形內(nèi)的任一內(nèi)點與該三角形三個頂點相連，因而將原三角形劃分為三個小三角形,由此得到的三角剖分稱為CT加密三角剖分(如圖 4(a)所示),記為 ΔCT.Ciarlet[35]和 Percell[36]表明了可以在CT加密三角剖分ΔCT上唯一地構造一個整體C1光滑的分片二元三次多項式函數(shù),事實上給出了dim(ΔCT)=3V+E,這里,V,E分別表示CT加密三角剖分ΔCT的網(wǎng)點和網(wǎng)線總數(shù).

(2)Powell-Sabin(1)型、Powell-Sabin(2)型加密三角剖分

對于任意給定的三角剖分Δ,作三角形的三邊上的三條中線,它們的交點既為三角形的重心,如此得到的新三角剖分稱為Powell-Sabin(1)型加密三角剖分(如圖4(b)所示),記為ΔPS1;如果在Powell-Sabin(1)型加密三角剖分ΔPS1的基礎上,再用直線段將所有的三角形的中點兩兩相連接,如此得到的新三角剖分稱為Powell-Sabin(2)型加密三角剖分(如圖4(c)所示),記為ΔPS2.

1977年Powell和Sabin[37]首次提出了Powell-Sabin型加密三角剖分,并給出了在Powell-Sabin(1)型、Powell-Sabin(2)型加密三角剖分下二元樣條函數(shù)空間dim(ΔPS1),dim(ΔPS2)的維數(shù).

其中,V,E分別表示Powell-Sabin型加密三角剖分ΔPS1,ΔPS2的網(wǎng)點和網(wǎng)線總數(shù).

Liu[38]和諶[39]利用B網(wǎng)方法,通過構造最小決定集分別給出了Powell-Sabin(1)型和Powell-Sabin(2)型加密三角剖分下二元樣條函數(shù)空間的維數(shù).

其中,VB，VI，E和T分別表示Powell-Sabin型加密三角剖分ΔPS1，ΔPS2的邊界網(wǎng)點、內(nèi)網(wǎng)點、網(wǎng)線和三角形的總數(shù).

圖5

(3)Wang型加密三角剖分

Wang[40]構造了一類特殊的加密三角剖分稱之為Wang型加密三角剖分(如圖5(a),(b)所示),記為ΔW．對任意正規(guī)三角剖分Δ,令T表示原三角剖分的三角形總數(shù),Tm(m=1,2,…,T)表示由頂點 Vm1，Vm2，Vm3形成的三角形(如圖 5(a)所示)，定義Tm(m=1，2，…，T)滿足以下兩個條件的Wang型加密剖分.

(a)在三角形Tm內(nèi)分別選取三個內(nèi)點Wm1，Wm2和Wm3使得

(b)分別連接 Vm,j到 Wmj,Vm,j到 Wm,j+1,Wm,j+3：=Wmj，j=1,2,3.

通過以上步驟,可以得到三角剖分Δ的Wang型加密三角剖分

對于任意正規(guī)三角剖分Δ的Wang型加密三角剖分ΔW,Liu[41]給出了二元三次一階光滑的樣條函數(shù)空間的維數(shù),

孫在碩士學位論文[42]指出，dim(ΔW)=6V+9E+39T，其中,V，E 和 T 分別表示 Wang型加密三角剖分ΔW的網(wǎng)點、網(wǎng)線和三角形的總數(shù).

注 釋：

①Schumaker的猜想:當 k≥2μ+1時,這維數(shù)下界(3.1)式就是任意三角剖分Δ下二元樣條函數(shù)空間(Δ)精確的維數(shù).目前,證明了當 μ≥2，k≥3μ+2 時和當 μ=1，k=4 時,猜想是正確的.另外,以及在非退化三角剖分Δ下,當k=3μ+1時猜想也是正確的.此外,在Morgan-Scott剖分(如圖二(b)所示),當μ=1,2,3,k≥2μ+1時也符合猜想.