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(松陽縣第一中學(xué) 浙江松陽 323400)

自主招生中的立體幾何問題

●李玉梅

(松陽縣第一中學(xué) 浙江松陽 323400)

立體幾何試題是考查空間想象能力最好的載體.在自主招生試題中，這部分內(nèi)容主要考查空間圖形中線面的位置關(guān)系以及空間角、距離的計算，解題時往往將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想.另外，建立空間直角坐標(biāo)系，將幾何元素之間的關(guān)系數(shù)量化，可以看出用空間向量來解題的優(yōu)勢.本文主要談?wù)勛灾髡猩械牧Ⅲw幾何問題.

1 求角的問題

( )

(2011年清華大學(xué)等七校聯(lián)考試題)

評注本題也可以平移DM與AN共面，即點M移到點N,點D移到CD的中點Q,或平移AN與DM共面,亦即點A移到點M，點N移到PN的中點Q，平移是解決線線問題的基本方法.

圖1 圖2

例2在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱AA1的中點，F(xiàn)是棱A1B1上的點，且A1F∶FB1=1∶3，則異面直線EF與BC1所成角的正弦值為

( )

(2011年同濟(jì)大學(xué)等九校聯(lián)考試題)

評注“線線角”問題的常用方法是平移法，此題也可以用坐標(biāo)法求解.

例3三棱柱ABC-A′B′C′的底面是邊長為1的正三角形，高AA′=1，在AB上取一點P，設(shè)△PA′C′與底面的二面角為α，△PB′C′與底面的二面角為β，則tan(α+β)的最小值是

( )

(2009年復(fù)旦大學(xué)自主招生試題)

圖3

分析如圖3，Q為點P在平面AB′C′上的射影，作QE⊥A′C′，QF⊥B′C′，則∠PEQ,∠PFQ分別為二面角P-A′C′-B,P-B′C′-A′的平面角,即∠PEQ=α,∠PFQ=β.設(shè)B′Q=x,A′Q=1-x(0

從而

又

于是

評注求二面角的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件準(zhǔn)確地找出或作出要求的角．

2 距離問題

例4在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長與側(cè)棱長均等于2，且E為CC1的中點，則點C1到平面AB1E的距離為

( )

(2011年同濟(jì)大學(xué)等九校聯(lián)考試題)

分析本題每個選項中只有一個結(jié)果，因此滿足條件的任何一個三棱柱中所求距離為同一個數(shù)字.不妨取三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱，如圖4所示，運用等體積法，易求得點C1到平面AB1E的距離

故選D.

評注當(dāng)一般情況不易解決時，要注意把問題特殊化，如特殊數(shù)字、特殊函數(shù)、特殊圖像等，這樣可以使解題思路豁然開朗.

例5設(shè)ABC-A′B′C′是正三棱柱，底面邊長和高都為1，點P是側(cè)面ABB′A的中心，則點P到側(cè)面ACC′A′的對角線的距離是

( )

圖5 圖6

分析如圖5，作PQ⊥AC′,則PQ即為所求的距離.將△AB′C′分離出來，作B′E∥PQ,交AC′于點E，取B′C′的中點F，聯(lián)結(jié)AF，如圖6.設(shè)PQ=h，則

評注空間的距離常轉(zhuǎn)化為平面的距離，而等面積法是求距離的常用方法之一.

例6有一個圓柱形杯子，底面周長為12 cm，高為8 cm，點A在內(nèi)壁距杯口2 cm處，點A對面外壁距杯底2 cm處有一只小蟲，問小蟲至少走_(dá)_____cm長的路才能到點A處飽餐一頓？

(2009年南京大學(xué)自主招生試題)

分析根據(jù)題意可將圓柱形杯子展開，如圖7所示，小蟲從點B到點A′的最短距離可利用勾股定理求得，即為10 cm.

評注幾何體的展開是求最短距離的常用辦法之一.

圖7

3 內(nèi)接外切問題

( ).

A.32 B.30 C.28 D.26

(2010年復(fù)旦大學(xué)自主招生試題)

圖8 圖9

分析如圖8為過球心的截面圖，設(shè)小球的半徑為r，依題意有

解得

從而

所放入的小球如圖9所示的方式擺放，相鄰2個小球的球心B，C與圓心A構(gòu)成等腰三角形，點D為2個小球的切點，則

從而

∠CAB≈2×11.95°=23.9°<24°,

評注在解決立體幾何問題時，常會遇到若干個球按照一定的法則“疊加”的問題，我們將這類問題簡稱為“多球”問題.對于“多球”問題,往往可以從多球中提煉出各球球心所組成的圖形，將問題簡化，然后通過解決該簡化的問題,獲得原問題的待求結(jié)論,這是解決“多球”問題的常用方法之一.

例8半徑為R的球內(nèi)部裝4個有相同半徑r的小球，則小球半徑r的最大值是

( )

(2009年復(fù)旦大學(xué)自主招生試題)

圖10

因為

AO=R-r,

所以

評注此題也是一個“多球”問題，也可以從多球中提煉出各球球心所組成的立體圖形，將問題簡化.

例9一個球與正四面體的6條棱都相切，若正四面體的棱長均為a，則這個球的體積為

( )

分析設(shè)正四面體為P-ABC，O為球心，R為球半徑，PO交底面ABC于點D，則點D是△ABC的重心.聯(lián)結(jié)AD，作DE⊥AB于點E，聯(lián)結(jié)OE.在Rt△ODE中，

在Rt△PAD中，

從而

評注球的內(nèi)接外切問題的關(guān)鍵是分析幾何體的特征，根據(jù)條件求出球的半徑.

4 體積問題

例10在四棱錐V-ABCD中，B1，D1分別為側(cè)棱VB，VD的中點，則四面體AB1CD1的體積與四棱錐V-ABCD的體積之比為

( )

A.1∶6 B.1∶5 C.1∶4 D.1∶3

圖11

評注體積問題常常利用“等(同)底等(同)高的體(面)積相等”來求解.

例11設(shè)一個多面體從前面、后面、左面、右面、上面看到的圖形分別如圖12所示，則該多面體的體積為

( )

(2010年復(fù)旦大學(xué)自主招生試題)

圖12

解聯(lián)想由正方體變化得到的幾何體，如圖13所示，其圖形即為正方體去掉“一個角”，則

圖13 圖14

分析設(shè)點A到平面DBC的距離為h.在△ABC中，因為AE∶EC=d1∶d2,所以

從而

又因為

VG-AEF=VG-AEH,

評注體積問題是立體幾何中的重要問題.在高中數(shù)學(xué)競賽與自主招生試題中，利用體積法解題形式簡潔，構(gòu)思容易,內(nèi)涵深刻，應(yīng)用廣泛，備受青睞．