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(孝豐高級(jí)中學(xué) 浙江安吉 313301)

釋疑糾錯(cuò)歸本溯源巧奪天工
——高中數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課的3個(gè)切入點(diǎn)

●楊愛云

(孝豐高級(jí)中學(xué) 浙江安吉 313301)

高中數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課在課堂教學(xué)中有著舉足輕重的地位.面對(duì)一份試卷，要立足一節(jié)課,如何才能提高試卷講評(píng)的可操作性和時(shí)效性，是數(shù)學(xué)教師普遍關(guān)系的一個(gè)問題．而今，在試卷講評(píng)時(shí)往往側(cè)重于教師的“講”與“評(píng)”，而忽視學(xué)生的“感”與“悟”，其效果難以讓人滿意．筆者的教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生是考試真正的參與者與體驗(yàn)者，試卷講評(píng)應(yīng)從注重“教師的積極發(fā)揮”轉(zhuǎn)移到關(guān)注“學(xué)生的有效參與”上來．試卷講評(píng)課應(yīng)以學(xué)生為主體，教師要想方設(shè)法把試卷中存在的問題巧妙地?cái)[出來，讓學(xué)生通過獨(dú)立的思考或通過同伴間的相互討論、交流與合作而獲得真正的解決，因?yàn)閷W(xué)生之間的知識(shí)結(jié)構(gòu)相近，他們的感知、感悟乃至感嘆都感同身受，容易引起思維上的共鳴．這樣做，學(xué)生印象會(huì)更深刻，記憶會(huì)更久遠(yuǎn)，收效也會(huì)更全面，遠(yuǎn)勝于教師的千叮萬矚．下面談?wù)劰P者的拙見，以饗讀者．

1 釋疑糾錯(cuò),落實(shí)知識(shí)點(diǎn)

解題中的“對(duì)”往往出奇的相似，而解題中的“錯(cuò)”卻各有各的理由.若考試中出現(xiàn)一定數(shù)量“同樣的錯(cuò)”則不容小覷，因?yàn)槠浔澈罂赡軡摲鴮W(xué)生“思維上某種錯(cuò)誤的默契”．但是對(duì)于考試中出現(xiàn)的錯(cuò)，尤其是一些小題的“錯(cuò)誤答案”，很難引起教師的關(guān)注，教師一般只是用各種方法講述“正確答案”的由來．由于不明錯(cuò)誤癥結(jié)的源頭，僅憑教師的“講”與“評(píng)”，往往收不到好的效果，學(xué)生還會(huì)重犯．筆者認(rèn)為，應(yīng)采用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗ寣W(xué)生的錯(cuò)誤暴露得更充分些，進(jìn)而讓學(xué)生在思維碰撞與互動(dòng)交流中自然釋疑糾錯(cuò)、糾偏歸正，這可能是一個(gè)不錯(cuò)的做法．

案例1已知直線l：kx-y-3k=0，圓M：x2+y2-8x-2y+9=0，則直線與圓的位置關(guān)系為

( )

A．相交 B．相切 C．相離 D．由k值確定

這是筆者所在學(xué)校期末模擬考卷中的一道選擇題，筆者所任教的96名學(xué)生中有30人選擇答案D．這引起了筆者的警覺．如何揭示與剖析隱藏在錯(cuò)誤背后的真正原因呢？解鈴還需系鈴人，還是要去學(xué)生中去探個(gè)究竟！以下是課堂再現(xiàn)．

教師：這是考試中的選擇題，因?yàn)橛泻芏嗤瑢W(xué)都選擇了D，那么是否答案就是D了呢？理由是什么呢？

(當(dāng)教師講完這句話之后，教室內(nèi)馬上引發(fā)一些聲音，有些學(xué)生希望是批錯(cuò)的，這可以理解，因?yàn)閷W(xué)生也希望“加分”．)

(筆者環(huán)視了教室，發(fā)現(xiàn)有部分學(xué)生與學(xué)生1有一樣的想法).

學(xué)生2：因?yàn)橹本€是不確定的，會(huì)隨著k的變化而變化，那么直線的具體位置就無法確定，所以與圓的位置關(guān)系就無法確定，我也選了D．

學(xué)生3帶給我們的不僅是驚喜，還有解題技能與破題的智慧，更給我們帶來無盡的回味……，正在咀嚼之際，教室里又傳來了聲音——

學(xué)生4：老師，我覺得學(xué)生3的解法可能會(huì)出現(xiàn)一個(gè)問題，他是取了2個(gè)特殊的k值，但是僅僅2個(gè)k值就能說明所有的嗎？對(duì)此我表示懷疑，我是這樣想的：由kx-y-3k=0得k(x-3)-y=0，利用直線系的意義，可知這條直線恒過定點(diǎn)(3,0)，后面的思想與學(xué)生3一樣，故選A．

……

課堂就在學(xué)生思維與智慧的相互碰撞中散發(fā)出更加理性、更為機(jī)智的思想光芒．看來一樣的答案不一樣的思考確實(shí)讓我們對(duì)試卷講評(píng)的價(jià)值重新審視！

2 歸本溯源,追尋起始點(diǎn)

案例2已知A,B是拋物線y2=2px(p>0)上的2個(gè)點(diǎn)，且OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則直線AB恒過定點(diǎn)

( )

在一次解析幾何單元測(cè)試中有這樣一道選擇題，根據(jù)學(xué)生的測(cè)試結(jié)果統(tǒng)計(jì)，有80%以上的學(xué)生選擇了A.詢問后答案讓人啼笑皆非：因?yàn)榻裹c(diǎn)！拋物線中過焦點(diǎn)的弦有很多定值、最值的結(jié)論，如何利用這個(gè)特殊的位置進(jìn)行解題，有時(shí)可以給解題帶來意想不到的效果，但有時(shí)使用不當(dāng)也會(huì)讓人誤入歧途，得不償失.

探索過程設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),則

由OA⊥OB,得

x1x2+y1y2=0.

又

將y1y2=-x1x2代入，得

因?yàn)閤1x2≠0，所以

x1x2=4p2，

同理可得

y1y2=-4p2.

又因?yàn)閥22-y21= (y2-y1)(y2+y1)=

2p(x2-x1),x1≠x2,

所以

將y1y2=-4p2代入，可得

從而直線AB恒過了定點(diǎn)為(2p,0).

特別地，已知拋物線y2=4x與直線y=x-4交于點(diǎn)A,B，求證：OA⊥OB．

探索1過(4，0)的直線與拋物線y2=4x交于點(diǎn)A,B，求證：OA⊥OB.

探索2已知拋物線y2=4px與直線y=x-4p交于點(diǎn)A,B，求證：OA⊥OB.

探索3過點(diǎn)(4p,0)的直線與拋物線y2=4px交于點(diǎn)A,B，求證：OA⊥OB.

探索4若A,B是拋物線y2=2px(p>0)上的2個(gè)點(diǎn)，且OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則直線AB恒過定點(diǎn)(2p,0).

考題再現(xiàn)已知過點(diǎn)(4，0)的直線交拋物線y2=2mx(m>0)于點(diǎn)A,B，若∠AOB為銳角，求m的取值范圍(答案：m>2,過程略).

同理可得：若∠AOB為鈍角時(shí)，m的取值范圍為0

教學(xué)隨想從一道選擇題我們可以感覺到,解析幾何中有很多貌似實(shí)異的結(jié)論，如果不仔細(xì)去探究理解，極易犯“想當(dāng)然”的錯(cuò)誤．現(xiàn)在，許多學(xué)生對(duì)解析幾何問題是“思路想得到，結(jié)果做不出”.究其原因，大多是被過程中的運(yùn)算卡住了殼，這是平時(shí)不重視運(yùn)算所導(dǎo)致的．因此，講評(píng)解析幾何問題中“只講思路分析、輕視運(yùn)算過程”的現(xiàn)象要加以改變，要多展示中間的解題過程．與此同時(shí)，對(duì)教材中看似簡(jiǎn)單實(shí)則能體現(xiàn)本源的題目要加以研究，只有深入研究教材，才能真正領(lǐng)會(huì)其中的真諦，輕視教材的本源性與重要性都是舍本逐末的做法！

3 巧奪天工,激發(fā)興趣點(diǎn)

思路、方法、技巧是數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課教學(xué)的3個(gè)關(guān)鍵詞．?dāng)?shù)學(xué)的技巧是師生夢(mèng)寐以求的東西,但“傳授”技巧不能“從天而降”，要讓學(xué)生在熟練掌握方法的基礎(chǔ)上自然形成．有位教育專家說:不必為技巧而技巧，用不著的技巧就當(dāng)收起來，無技巧就是最好的技巧.

由于很少有學(xué)生能做出正確答案m=sinθ，筆者認(rèn)為教師應(yīng)輔助解決(投影儀展示).

解法1設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，將已知式兩邊平方得

4m2R2,

利用正弦定理得

又因?yàn)?sin2B+sin2C-sin2A=

sin2B+sin2C-sin2(B+C)=

2sinBsinC(sinBsinC-cosBcosC),

所以m2= cos2B+cos2C+2cosBcosC(sinBsinC-

cosBcosC)=

cos2B(1-cos2C)+cos2C(1-cos2B)+

2cosBcosCsinBsinC=

cos2Bsin2C+cos2Csin2B+

2cosBcosCsinBsinC=

(sinBcosC+cosBsinC)2=

sin2(B+C)=sin2A,

注意到m>0,sinA>0，故m=sinθ．

教學(xué)隨想筆者認(rèn)為以上解法雖看似復(fù)雜，但有很大的技巧性;雖極為巧妙，但很不自然，需要學(xué)生有一定的恒心和毅力，

利用熟知的三角形恒等式sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC及正弦二倍角公式得

從而

故

m=sinA=sinθ．

解法揭示了本題的命題背景,本題的一般情形是三角形的如下2個(gè)性質(zhì)：

(1)設(shè)O是△A1A2A3內(nèi)任意一點(diǎn)，則

(2)設(shè)O是△A1A2A3外一點(diǎn)且在∠A2A1A3內(nèi)，則

數(shù)學(xué)試卷的講評(píng)課，既不能成為解題失敗者“懺悔”的場(chǎng)所，也不應(yīng)單單是解題成功者“表演”的舞臺(tái)．要使各個(gè)層面的學(xué)生有所獲，讓數(shù)學(xué)后進(jìn)生感到“暗中有光”，中等生感覺“對(duì)中有優(yōu)”，尖子生感嘆“山外有山”！教學(xué)實(shí)踐表明，由學(xué)生經(jīng)歷過“感”、“悟”的試卷講評(píng)課才是真正解決問題的試卷講評(píng)方式，只有這樣，才能讓學(xué)生的困難得到暴露，知識(shí)得到落實(shí)，智慧在一定程度上才能有所啟迪！

[1] 殷玉波．試卷講評(píng)的“宏觀調(diào)控”策略．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)教學(xué)參考[J]，2012(5)：39-40．

[2] 陸賢彬,朱占奎．聯(lián)系 拓展 創(chuàng)新——高考模擬試卷講評(píng)的一種嘗試[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2012(5)：42-43．

[3] 高莉芳．一堂數(shù)列習(xí)題課的案例分析[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2010(5)：16-18．