毛 志

（ 銅仁學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系，貴州 銅仁 554300 ）

一、引言

對流擴(kuò)散方程（convection diffusion equation）是一類基本的運(yùn)動方程，是描述粘性流體的非線性方程的線性化模型方程。它可以用來描述空氣動力學(xué)、水力學(xué)、環(huán)境保護(hù)和生物、化學(xué)工程等眾多科技和工程領(lǐng)域中的對流擴(kuò)散問題[1]，所以關(guān)于對流擴(kuò)散方程數(shù)值方法的研究具有十分重要的理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。對流擴(kuò)散問題的有效數(shù)值解法一直是計(jì)算數(shù)學(xué)中重要的研究內(nèi)容。由于對流擴(kuò)散方程同時含有對流項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)，在數(shù)值求解時會引起數(shù)值振蕩和數(shù)值彌散[2]，使得方程的求解比較復(fù)雜。目前，求解對流擴(kuò)散方程的數(shù)值方法有多種，如有限差分法（FDM）[3]、有限元法（FEM）[4][5]、有限體積法（FVM）[6][7]、邊界元法（BEM）等，其中有限差分方法是一種重要的數(shù)值計(jì)算方法。

目前對于常系數(shù)的對流擴(kuò)散方程已有較多、較好的研究，而對于變系數(shù)的對流擴(kuò)散方程的研究卻較少，需要對方程做一定的假設(shè)。但在實(shí)際應(yīng)用中，比如耦合流場的對流擴(kuò)散方程，則需要研究變系數(shù)的情形[8]。基于此，本文考慮如下變系數(shù)的一維對流擴(kuò)散方程的初邊值問題，

其 中a（x,t）、b（x,t）、f（x,t）和g（x）已 知 ，a（x,t ） ≠0、 b （x,t ） ≠ 0 且連續(xù)。

本文設(shè)計(jì)了一種新的求解上述問題（1）～（3）的數(shù)值方法---Sinc-Chebyshev配置方法。該方法是基于配置方法的。在空間方向和時間方向上，分別采用復(fù)合移位Sinc函數(shù)和移位Chebyshev多項(xiàng)式作為基函數(shù)，將方程（1）的未知解展開成一組具有未知系數(shù)的基函數(shù)和。通過選取相應(yīng)的配置點(diǎn)后，原問題轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組的求解。充分利用復(fù)合移位 Sinc函數(shù)和移位Chebyshev多項(xiàng)式的性質(zhì)，可高效地從線性代數(shù)方程組中解出未知系數(shù)。

二、Sinc函數(shù)和移位Chebyshev多項(xiàng)式

（一）Sinc函數(shù)

Sinc函數(shù)具有許多優(yōu)良的性質(zhì)[9][10]，它被廣泛地用于數(shù)值分析及積分方程、常微分方程和偏微分方程的數(shù)值求解中[11][12][13]。

在整個實(shí)軸上，Sinc函數(shù)定義如下：

下面給出具有均勻網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的移位 Sinc函數(shù)的表達(dá)式：

該函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)jx jh= 處有如下結(jié)論：

對于函數(shù)（）,fxxR∈，若級數(shù)

收斂，則稱之為Whittaker Cardinal function。

定理1 如果 f ∈Bh，其中Bh為Paley-Wiener類函數(shù)，則；進(jìn)一步，若），則

由于本文所討論的問題是在有限區(qū)間上，故考慮如下的一一映射，

該映射將區(qū)間［a, b］--- 映射到（-∞ , +∞ ）。記映射φ的逆映射為ψ = φ-1，在它的作用下，R上均勻網(wǎng)格點(diǎn)｛kh｝k∈Z的象為：

于是，需在區(qū)間［a, b］上取復(fù)合移位Sinc函數(shù)

上面的結(jié)論顯示，對于 Bh上的函數(shù)，使用Sinc插值可達(dá)到指數(shù)收斂。為了構(gòu)造 Sinc-Chebyshev配置方法，需要給出復(fù)合移位Sinc函數(shù) Sφ（k, h ） （x）在節(jié)點(diǎn) xk= ψ (kh), k = 0 ,± 1 ,±2 ,… 的各階導(dǎo)數(shù)值，

（二）移位Chebyshev多項(xiàng)式

定理3 移位Chebyshev多項(xiàng)式 Tτ,i(t)的解析形式如下：

由于構(gòu)造 Sinc-Chebyshev配置方法的需要，給出移位Chebyshev多項(xiàng)式 Tτ,i（ t）,i = 0 ,1,2,… 的一階導(dǎo)數(shù)，

三、Sinc-Chebyshev配置方法

為了求解問題(1) ～ (3)，我們首先通過2 m +1個復(fù)合 移位 Sinc函 數(shù)Sφ（k, h ） （x） , k = 0,±1,±2,… ,±m(xù) 和n+1個 移 位Chebyshev多項(xiàng)式 Tτ,i（t）,i = 0 ,1,2,… ,n 逼近u（x,t）。具體如下：

引理 1 取復(fù)合移位 Sinc函數(shù)的配置點(diǎn)為xk,k =0,±1,±2,… ,±m(xù)（表達(dá)式(9)），有如下關(guān)系成立：

下面求解問題(1) ～ (3)。將表達(dá)式(19)代入方程(1)中可得，

在上述表達(dá)式(23)中，我們選取配置點(diǎn)分別為xk,k =0,±1,±2,… ,±m(xù)（表達(dá)式(9)）和tτ,n,j,j = 1,2,…,n（表達(dá)式(17)）。根據(jù)引理1可得，

將表達(dá)式(19)代入初始條件(2)中可得，

將上述表達(dá)式(25)在2 m +1個點(diǎn) xk,k =0,±1,±2,…,±m(xù)上進(jìn)行配置，并利用表達(dá)式(11)可得，

于是可從表達(dá)式（24）和（26）所構(gòu)成的線性方程組中解出 （2 m + 1 ） （n+ 1 ）個未知系數(shù) cij，從而得到原問題（1）～（3）的數(shù)值解 um,n（x, t）。

四、總結(jié)

本文給出了一種求解對流擴(kuò)散方程的Sinc-Chebyshev配置方法，它把求解對流擴(kuò)散方程的初邊值問題轉(zhuǎn)化為解線性代數(shù)方程組。數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果顯示，該方法十分有效。下一步將嘗試把該方法用于分?jǐn)?shù)階對流擴(kuò)散方程[15]的求解。這與許多實(shí)際應(yīng)用問題如DNA和蛋白質(zhì)分子的傳輸[16]密切相關(guān)，具有較大的實(shí)用價(jià)值。

[1]汪繼文，李付鵬，竇紅．求解對流擴(kuò)散方程的一種高分辨率有限體積-有限元方法[J]．水動力學(xué)研究與進(jìn)展，2012，27（3）：339-347．

[2]薛禹群，謝春紅．地下水?dāng)?shù)值模擬[M]．北京：科學(xué)出版社，2007，189-193．

[3]陸金甫，關(guān)治．偏微分方程數(shù)值解法（第2版）[M]．北京：清華大學(xué)出版社，2003．

[4]Katsuhiro Sakai．A new finite variable difference method with application to locally exact mumerical scheme[J]．Journal of Computational Physics， 1996,，124:：301-308．

[5]WANG Ji-wen, LIU Ci-Qun． Local discontinuous Galerkin method for radial porous flow with dispersion and adsorption[J]． Applied Mathematics and Mechanics,2004， 25（9）： 977-982．

[6]LU Biao， JIN Sheng， AI Cong-fang． A a conservative unstructured staggered grid scheme for incompressible Navier-Stokes equations[J]． Journal of Hydrodynamics，2010，22（2）： 173-184．

[7]LEEL. ． A class of high-resolution algorithms for incompressible flows[J]．Computers and Fluids， 2010，39（6）： 1022-1032．

[8]余亮．求解變系數(shù)對流擴(kuò)散方程的一類新的LBGK格式[D]．武漢：華中科技大學(xué)，2008．

[9]Lund J．， Bowers K. ．Sinc methods for quadrature and differential equations[M]． Philadelphia，SIAM，1992．

[10]F． Stenger. Handbook of Sinc numerical methods[M]．New York， CRC Press，2011．

[11]Dehghan M．， Saadatmandi A.． The numerical solution of a nonlinear system of second-order boundary value problems using the Sinc-collocation method[J]．Math Comput Model，2007，46：1434-1441．

[12]Parand K.，Dehghan M.，Pirkhedri A. ． Sinc-collocation method for solving the Blasius equation[J]．Phys Lett A，2009，373： 4060–4064．

[13]Rashidinia J．， Zarebnia M. ．The numerical solution of integro-differential equation by means of the Sinc method[J]．Applied Math Comput，2007， 188： 1124–1130．

[14]李慶揚(yáng)，王能超，易大義．?dāng)?shù)值分析（第5版）[M]．北京：清華大學(xué)出版社，2008．

[15]常福宣，陳進(jìn)，黃薇．反常擴(kuò)散與分?jǐn)?shù)階對流-擴(kuò)散方程[J]．物理學(xué)報(bào)，2005，54（3）：1113．

[16]Haw Yang， Guobin Luo， Pallop K．，Tai-Man Louie， Ivan Rech，Sergio Cova, Luying Xun，X．Sunney Xie．Protein conformational dynamics probed by single-molecule electron transfer[J]．Science，2003，5643：262–266．