金博軼

（山東財經(jīng)大學 保險學院，濟南 250014）

0 引言

隨著人民生活水平的提高和醫(yī)療衛(wèi)生條件的不斷改善，我國人口的預期壽命呈現(xiàn)出顯著增加的趨勢。預期壽命增加使我國養(yǎng)老金負債水平不斷攀升，如果不采取一定的補救措施可能導致養(yǎng)老金出現(xiàn)償付能力風險甚至陷入財務危機。這種由于預期壽命增加給養(yǎng)老金或保險公司帶來的風險就是所謂長壽風險。

死亡率建模是度量長壽風險的關鍵，Lee&Carter(1992)最早構建了動態(tài)死亡率模型，他們將死亡率分解為年齡效應、年齡改進效應和時間效應。之后，Brouhn et al（2002）在保持Lee-Carter模型對數(shù)雙線基礎上使用泊松回歸方法對參數(shù)進行估計，構建泊松對數(shù)雙線模型（P-B模型）。Renshaw&Haberman(2006)在Lee-Carter模型的基礎上提出了隊列效應模型（RH模型），該模型很好的解決了Lee&Carter模型誤差項與出生年的相關性問題。Cairns et al(2007)在RH模型的基礎上考慮到了更多的死亡率因素，從而使模型具有更好的擬合度，然而隨著死亡因素的增加，該模型存在所謂過度擬合的問題。Plat(2009)考慮低年齡人群和高年齡人群在死亡率改進時間效應上的進行區(qū)分，通過引入兩個時間效應因子使模型具有更好的解釋力。Hua Chen et al.(2011)考慮到了時間效應的跳躍及非對稱特征，構建了廣義的Lee-Carter模型。國內(nèi)方面，韓猛和王曉軍對Lee-Carter模型進行了改進,通過一個雙隨機過程對Lee-Carter模型中的時間項進行建模。李志生和劉恒甲（2010）分析了Lee-Carter模型各種擬合方法的擬合優(yōu)度，文章最后利用最優(yōu)擬合模型，并利用Bootstrap方法進行了區(qū)間估計。

然而，上述模型估計出的年齡改進效應βx往往具有非規(guī)則變動特征，整個數(shù)據(jù)序列缺乏平滑性。研究表明：如果βx項缺乏光滑性，那么每個年齡段的年齡改進效應βx和殘差項εx,t之間存在明顯的反向關系，這顯然違背了殘差項的獨立同分布假設。本文在借鑒P-B模型的基礎上，同時考慮到對不規(guī)則的βx項進行懲罰，構建帶有懲罰的泊松對數(shù)雙線模型（P-P-B模型），并使用該模型對人口未來死亡率進行預測，最后研究了預期壽命的變化對我國養(yǎng)老金個人賬戶的影響。

1 模型的構建

Lee&Carter(1992)最早提出了一個簡潔的動態(tài)死亡率模型，他們的主要思路是將死亡率分解為年齡效應、時間效應和年齡改進效應。該模型的數(shù)學表達式為：

其中，mx,t為x歲個體在日歷年t的一年期中央死亡率，αx為x歲群體在整個樣本期的平均死亡率（年齡效應），κt為死亡率隨時間的改進速度（時間效應），βx代表年齡x對κt的敏感度（年齡改進效應），εx,t為誤差項。

Brouhns et al.(2002a)認為，由于x歲人群在日歷年t的死亡人數(shù)Dx,t始終為整數(shù)，可以使用泊松過程對Dx,t進行描述：

在Brouhns et al.泊松對數(shù)雙線模型中，年齡為x的投保人在日歷年t死亡人數(shù)Dx,t被認為服從泊松分布，均值為erx,tmx,t（其中erx,t為日歷年t，年齡為x的被保險人在年中的風險暴露數(shù)），該模型的對數(shù)似然函數(shù)為：

為了得到較為平滑的βx項，我們對上述模型加入一個懲罰項，從而得到一個帶有懲罰的對數(shù)似然函數(shù)：

其中，πβ代表平滑系數(shù)，β′Pββ為對不規(guī)則βx的進行懲罰。帶有懲罰項的泊松對數(shù)雙線模型可綜合考慮了泊松對數(shù)雙線模型的擬合優(yōu)度和βx項的光滑程度。

模型的參數(shù)估計可以通過下述牛頓迭代方法得到：

用交叉驗證方法估計出一個最優(yōu)的平滑系數(shù)πβ。

求解最優(yōu)平滑系數(shù)非常費時，一般只能使用網(wǎng)格法進行搜索。

2 參數(shù)估計及預期壽命的預測

2.1 數(shù)據(jù)來源和處理

本文選擇全國分年齡性別人口死亡率數(shù)據(jù)，所有原始數(shù)據(jù)都來源于《中國人口統(tǒng)計年鑒》和《中國人口與就業(yè)統(tǒng)計年鑒》(1985～2009)，對于原始數(shù)據(jù)做如下處理：

（1）進行年齡分組。祝偉（2009）和韓猛（2010）采用每五歲的年齡分組方法，然而，這種方法會使結果出現(xiàn)一定的偏差，特別是在高年齡段。顯而易見，60歲和65歲個體的死亡率是不同的，有鑒于此，我們使用每一歲的年齡分組方法。

（2）確定年齡末組。由于大多數(shù)統(tǒng)計年份的末組都是90歲以上，因此，本文的末組選為90歲以上。1997年數(shù)據(jù)的末組為85歲以上，對于該年份85歲以上個體的死亡率，我們采用Human Mortality Data中的數(shù)據(jù)處理方法進行拆分。2002年數(shù)據(jù)的末組為100歲以上，我們對90歲以上的數(shù)據(jù)進行合并。

（3）對零死亡率數(shù)據(jù)進行處理。由于統(tǒng)計抽樣問題，有些年份部分年齡段的死亡人數(shù)為零，從而導致其死亡率為零。零死亡率不僅與事實也不符，而且導致模型無法求解，因此，我們對零死亡率進行修正，令其等于相鄰年份死亡率的均值。

（4）由于1996年數(shù)據(jù)缺失，我們使用相鄰年份的數(shù)據(jù)做插值處理。

2.2 參數(shù)估計

我們首先使用奇異值分解技術對Lee-Carter模型的參數(shù)進行估計，然后將其作為初始值帶入P-P-B模型，通過不斷迭代進行求解。首先，需要選擇出最優(yōu)的平滑系數(shù)，本文通過網(wǎng)格搜索法在0到10^10范圍內(nèi)對最優(yōu)平滑系數(shù)進行搜索，步長為10，求得男性和女性最優(yōu)平滑系數(shù)分別約為930和1040。然后，通過不斷迭代對模型的其他參數(shù)進行求解，圖1給出了P-B模型(unsmothed)和P-P-B模型(smothed)的參數(shù)估計曲線對比。

分析圖1后可以得到以下三點結論：首先，從年齡效應曲線看，不管是男性還是女性，P-P-B模型與P-B模型得到的年齡效應曲線都完全重合，這表明，P-P-B模型對年齡效應不產(chǎn)生任何影響；其次，從年齡改進曲線看，P-P-B模型使年齡改進曲線更加平滑，這表明該模型確實能夠有效降低抽樣誤差，增強預測的可信性；最后，從時間效應看，P-P-B模型使時間效應發(fā)生改變，但改變趨勢不明顯。

圖1 兩種模型得到的參數(shù)對比

2.3 預測未來死亡率和預期壽命

預測未來死亡率，一般首先對時間效應kt進行時間序列建模（Renshaw et al.,2006），從而預測時間效應的未來值，然后再利用Lee-Carter模型預測未來的死亡率。這里，我們首先利用ADF檢驗，判斷kt序列為非平穩(wěn)序列，對kt進行一次差分，一次差分后的序列為平穩(wěn)序列，即I（1）。將一次差分后得到的平穩(wěn)序列命名為′t，由eviews軟件觀察，′t的自相關函數(shù)和偏自相關函數(shù)并沒有明顯的不同于0，因此，可以確定原序列為ARIMA（0,1,0）過程，ARIMA（0,1,0）的參數(shù)估計結果為：

將上述模型得到的時間效應預測值代入Lee-Carter模型就可以得到各個年齡段被保險人在未來年度的死亡率預測值，然后通過精算換算得到預期壽命的預測值。表1和表2分別給出了各年齡段男性和女性在未來年份死亡率和預期壽命的預測值。由表1和表2可知，男性和女性都呈現(xiàn)死亡率不斷降低，預期壽命不斷增加的趨勢。

表1 死亡率預測值（單位：0.001）

表2 預期壽命預測值

3 長壽風險對養(yǎng)老金個人賬戶的影響

我國實行社會統(tǒng)籌與個人賬戶相結合的養(yǎng)老金模式，其中統(tǒng)分賬戶受人口出生率、死亡率、贍養(yǎng)比例等較多因素的影響，這里暫不討論。本文只研究預期壽命的變化對養(yǎng)老金個人賬戶產(chǎn)生的影響。首先假設職工開始工作的平均年齡為a歲，開始工作時的平均工資為wa，工資增長率為g，個人賬戶的繳費率為c，投資收益率為i，退休年齡為r。職工在第一年工作的繳費為Ca=cwa，該金額累積到退休時刻為Fa=Ca(1+i)r-a，而職工在第t年(a ≤t≤r-1)的繳費率為Ct=cwt=cw(1+g)t-a，該金額累積到退休時刻為Ft=cwa(1+g)t-a(1+i)r-t，則職工在整個繳費期累積到退休時刻的累計值為：

要實現(xiàn)個人賬戶的收支平衡，必須要求職工在退休時刻繳費的累計值與退休后的領取養(yǎng)老金的現(xiàn)值相等。即有(P VC)r=(P VFB)r，也即

根據(jù)《國務院關于完善企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險制度的決定》（國發(fā)[2005]38號）的規(guī)定：“個人賬戶養(yǎng)老金月標準為個人賬戶儲存額除以計發(fā)月數(shù)，計發(fā)月數(shù)根據(jù)職工退休時城鎮(zhèn)人口平均預期壽命、本人退休年齡、利息等因素確定。”以遼寧省為例，《遼寧省完善企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險制度的實施意見》（遼政發(fā)[2006]28號）規(guī)定，60歲退休人員養(yǎng)老金的計發(fā)月數(shù)為139個月。假設y為計發(fā)月數(shù)，而每年支付的退休金數(shù)額固定為k，則在基金平衡的條件下有：

以女性為例，假設其55歲退休，由式（15）可知，為了實現(xiàn)養(yǎng)老金個人賬戶基金平衡。養(yǎng)老金的投資收益率應該達到6.7%。然而，由于投資渠道等因素的限制，我國養(yǎng)老金的投資收益率一直偏低，有數(shù)據(jù)顯示，近幾年來養(yǎng)老金的名義收益率不到2%。較低的投資收益率使養(yǎng)老金存在一定的缺口，而且隨著未來預期壽命的不斷增加，缺口的規(guī)模也會不斷擴大。因此，積極地進行資產(chǎn)負債管理，提高投資收益率是我國養(yǎng)老金的當務之急。如果基金投資收益率無法提高到收支平衡的水平，也可以通過推遲退休年齡的方式實現(xiàn)基金的收支平衡。假設投資收益率保持在2%的水平上，根據(jù)式（15），只需將退休年齡提高到大約62歲就可實現(xiàn)收支平衡?？梢姡诨鹌胶鈼l件下，投資收益率與退休年齡存在一定的替代關系（見圖2）。

圖2 投資收益率與退休年齡的關系

圖3 投資收益率與替代率的關系

圖4 退休年齡與替代率的關系

下面討論在基金平衡條件下，投資收益率和退休年齡對替代率的影響，首先對相關的參數(shù)進行校正，根據(jù)《中國統(tǒng)計年鑒》，我國城鎮(zhèn)職工的平均工資在1992年為2711元，2008年29229元，16年間職工工資的增長率為16%（g=16%），個人賬戶繳費比例為個人工資的8%（c=8%），假設工人參加工作的平均年齡為20歲（a=20）。通過式（14）可以求出不同投資收益率與退休年齡組合的替代率水平。圖3、圖4給出了基金平衡條件下替代率與投資收益率和退休年齡的關系，從圖3、圖4可以得到以下兩點結論：首先，替代率與投資收益率正相關，當投資收益率為2%時，退休替代率僅為5.8%，當投資收益率為6.7%時，退休替代率提到8.9%；其次，替代率與退休年齡反相關，當退休年齡為55歲時，替代率為8.9%，當退休年齡增加到為62.5歲時，替代率降低到5.4%。可見，雖然推遲退休年齡也能夠?qū)崿F(xiàn)個人賬戶的平衡，但也降低了退休替代率，因此，提高養(yǎng)老金的投資收益率是實現(xiàn)個人賬戶收支平衡，達到目標替代率的最有效的途徑。

4 結論

本文首先對我國人口的死亡率狀況構建了帶有懲罰的泊松對數(shù)雙線模型，然后使用該模型對未來死亡率和預期壽命進行預測，最后對養(yǎng)老金個人賬戶面臨的長壽風險進行了分析。本文得到以下結論：

首先，由參數(shù)估計的結果可知，帶有懲罰的泊松對數(shù)雙線模型（P-P-B模型）的年齡改進效應βx具有更加光滑的特征，與傳統(tǒng)P-B模型相比，由該模型得到的殘差項滿足獨立同分布假設，因此該模型能夠更好的擬合我國人口的死亡率變化。

其次，通過模型預測發(fā)現(xiàn)，我國各年齡段人口的死亡率會不斷下降，人口未來的預期壽命呈逐年上升的趨勢，而現(xiàn)有生命表對未來人口死亡率改進估計不足。這導致養(yǎng)老金機構面臨非常顯著的長壽風險。

最后，在現(xiàn)有支付機制下，壽命的增加會使養(yǎng)老金個人賬戶產(chǎn)生虧空，而且隨著時間的推移，虧空的程度會不斷增加。通過提高養(yǎng)老金的投資收益率或延遲退休年齡可以使個人賬戶實現(xiàn)收支平衡。

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