朱美玲，董玲珍

（1.太原城市職業(yè)技術(shù)學院，太原 030027；2.太原理工大學理學院，太原 030024）

曲面造型是計算機輔助設計（CAD）和計算機圖形學（CG）領(lǐng)域最活躍、關(guān)鍵的學科分支之一［1-2］。目前，計算機中的表面建模技術(shù)被不同的應用領(lǐng)域所需求［3］。為滿足不同的應用需求，基于不同的表示方法發(fā)展衍生了相應的曲面造型技術(shù)。根據(jù)曲面變形的機理可大致分為4類［4-5］:基于幾何模型的曲面變形、自由變形（FFD）、基于物理模型的變形方法和基于幾何約束優(yōu)化的變形。B樣條曲面作為一種應用廣泛的逼近樣條類，它允許曲面可以局部控制，同時因為樣條曲面是線性連續(xù)且光滑的曲面，所以用樣條曲面來定義變形的參數(shù)空間可以使變形更加精確。

本文首先介紹了雙三次B樣條曲面的變形基礎(chǔ)和曲面拼接的表達式，提出了一種雙三次B樣條曲面生成的改進算法，然后采用點約束、目標曲線約束兩種幾何約束驅(qū)動雙三次B樣條曲面變形，在點約束求解中以控制節(jié)點位移最小為目標函數(shù)，使用LINGO軟件計算得到該目標下的最優(yōu)解，并給出計算實例驗證了該方法的可行性。

1 變形基礎(chǔ)

1.1 雙三次B樣條曲面

一個雙三次B樣條曲面用下面的等式來表示:

式中，G代表控制節(jié)點矩陣。

等式（1）也可用如下等式來表示:

使用方程（2），當u和v由0到1改變時，能夠生成一個雙三次B樣條曲面，它能有效地提高生成效率。圖1為一個雙三次B樣條曲面的例子。

1.2 曲面拼接

圖1 雙三次B樣條曲面Fig.1 Three B-spline surfaces

為了實現(xiàn)雙三次B樣條曲面拼接，擴展控制節(jié)點矩陣G，然后以每次4×4的方式獲取單面的控制節(jié)點矩陣來拼接。下面是一個控制節(jié)點矩陣。

拼接完Gexpand后，獲得了9個4×4的控制節(jié)點矩陣。圖2表示了在這個合成曲面中單面位置。

圖2 單面和合成面的關(guān)系Fig.2 The relationship between single surface and synthesis surface

這個合成面在變形過程中始終保持C2的連續(xù)性。如圖3所示。

圖3 改變控制節(jié)點后的變形Fig.3 The deformation after change control nodes

2 幾何約束及其求解

目前主要有兩種常用的幾何約束用于變形操作:離散約束和連續(xù)約束。其中離散約束包括空間點信息、控制頂點位移等，連續(xù)約束包括曲線和子曲面等。由于連續(xù)約束的處理將給求解引入非線性的約束，使得變形過程復雜且難以收斂，因此主要關(guān)注離散約束類型，連續(xù)約束可通過離散采樣等方法轉(zhuǎn)化為一般的離散約束類型。

2.1 點約束及其求解

在平面上點pm（u，v）處，位置約束（2）和切線約束（3）形成了基本約束，能夠被寫成［6］:

其中N=（A，B，C）是變形后曲面在pt上的法向量，Pt為目標點。

考慮方程（1）和點約束，因而，目標是計算一個新的控制節(jié)點矩陣。

節(jié)點控制矩陣是4×4方陣，考慮到未知量的個數(shù)和曲面變形的效果，將控制節(jié)點矩陣中4個坐標值設為變量，其余12個坐標值保持固定，變形問題在各個維度上就轉(zhuǎn)換為求解4元一次方程組的問題，所以是以最小控制節(jié)點位移求解的最佳模型。為了降低復雜度，在變形過程中設 Px10，Px11，Px12，Px13是變量，其他的都是固定值。這樣，點約束的求解轉(zhuǎn)變成線性等式的求解。在點約束下，沿著坐標y軸，得到等式（4）。

建立以最小控制節(jié)點位移求解的最佳模型。使用LINGO計算新的控制節(jié)點解。圖4展示了求解節(jié)點約束解的過程。

圖4 點約束的求解過程Fig.4 The solving process of point constraint

2.2 目標曲線約束及其求解

目標曲線約束是一種連續(xù)的約束，解決這種約束將給系統(tǒng)引入非線性約束，會使得解決過程復雜而且難以聚合［7］。因此，在解決這種約束之前，先分離目標曲線為離散的點，然后像解決多個點約束一樣解決它。比較等式（4），在目標曲線約束下我們沿著y軸能夠獲得等式（5）.

式中，AY表示系數(shù)矩陣，AYb表示常數(shù)矩陣，則（5）可以表示為:

使用最小二乘法得到等式（7）:

其中NAY=AYT×AY，并且有:

如果NAY是可逆，則:y=NAY-1·NAYb

否則:y=NAY+·NAYb

其中NAY+是矩陣NAY的偽逆。

3 求解幾何約束實例

3.1 點約束求解的例子

輸入需變形的曲面面片5（如圖2）上的點以及目標點，利用如圖4所示的求解過程，求解3個例子。

例1:

表1 變形信息Tab.1 The deformation information

圖5 求解點約束（例1）Fig.5 The solving point constraint（example 1）

圖5展示了表1給出的變形信息，即面片5上點 pm（0.50，0.50）變形到空間點 pt（0.00，5.00，0.00）的變形結(jié)果。

例2:

表2 變形信息Tab.2 Deformation information

圖6 點約束求解（例2）Fig.6 Solving point constraint（example 2）

圖6展示了表2給出的變形信息，即面片5上點 pm（0.00，0.00）變形到空間點 pt（3.00，5.00，3.00）的變形結(jié)果。

圖7展示了表3給出的變形信息，即面片5上點 pm（0.80，0.90）變形到空間點 pt（3.00，5.00，3.00）的變形結(jié)果。圖5-圖7給出了以控制節(jié)點最小位移求解點約束目標方程的結(jié)果。

圖8 求解目標曲線約束（例4）Fig.8 Solving point constraint（example 4）

例3:

表3 變形信息Tab.3 Deformation information

圖7 求解點約束（例3）Fig.7 Solving point constraint（example 3）

3.2 求解目標曲線約束例子

如圖8（a）所示，在原始曲面面片上選取5個目標點，將目標曲線離散為5個點（用紅色繪制），通過MATLAB獲得變形結(jié)果。

例4:

表4 變形信息Tab.4 Deformation information

從圖8（b）及圖8（c）中可以看出隨著單個面片向著目標曲線趨近時，與其拼接的曲面也都相應的發(fā)生改變最終維持了整個復合曲面的C2連續(xù)性。

在圖9中可以看出，需要變形的曲面沒有完全通過第1、3、5個目標點，而較好的通過第2、4個目標點。

例5:

表5 變形信息Tab.5 Deformation information

圖9 求解目標曲線約束（例5）Fig.9 The constraint of solving point（example 5）

4 結(jié)論

文章論述了以幾何約束來驅(qū)動雙三次B樣條曲面。雙三次B樣條曲面采用矩陣的表達形式。在這一基礎(chǔ)上對控制節(jié)點矩陣進行擴充，并且按照4×4的規(guī)模進行分割從而實現(xiàn)雙三次B樣條曲面的拼接。各個曲面面片拼接后滿足C2連續(xù)度。之后，對幾何約束，包括點約束，目標曲線約束進行分析。開發(fā)系統(tǒng)能夠完成接收變形曲面面片標號，面片上的點以及空間目標點等用戶輸入信息，計算參數(shù)，調(diào)用LINGO程序進行計算，展示變形結(jié)果等功能。在目標曲線約束求解中借助MATLAB，模擬得到變形結(jié)果。但還應進一步研究其它一些約束表達與實現(xiàn)（如目標曲線的切線約束等），開發(fā)以點約束驅(qū)動曲面變形的程序，使其能夠?qū)崿F(xiàn)用鼠標拾取曲面上點，拖動鼠標實現(xiàn)曲面的變形。

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