宋雪松, 姚桂錦, 徐 洄

(1. 吉林大學(xué) 通信工程學(xué)院, 長春 130012; 2. 吉林省高速公路管理局, 長春 130022)

0 引 言

波達方向(DOA: Direction-of-Arrival)估計是陣列信號處理的重要研究內(nèi)容和持續(xù)研究熱點之一。從20世紀70年代末開始, 在DOA估計算法方面涌現(xiàn)了大量的研究成果[1,2], 其中特征子空間類算法已發(fā)展成最常用的一類算法, 其代表是MUSIC算法[3]和ESPRIT算法[4], 并在這兩種算法基礎(chǔ)上人們也提出了一些改進算法[5-7]。但特征子空間類算法面臨的一個普遍問題是： 由于陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣會出現(xiàn)降秩問題, 該類算法無法對相干信源進行DOA估計。空間平滑類算法[8-11]通過對陣列接收數(shù)據(jù)劃分子陣并對子陣協(xié)方差矩陣求平均值, 達到解相干和恢復(fù)陣列數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣原秩, 但該類算法以犧牲傳感器陣列孔徑和降低估計來波信號的數(shù)目為代價。最近, 文獻[12]提出的CC-ESPRIT(Cross ESPRIT)算法能同時處理相干和非相干信號情況, 但相干信號角度間隔較小時, 算法性能不穩(wěn)定； 文獻[13]和文獻[14]雖然能估計角度間隔較小的相干信源, 但低信噪比的估計效果不理想。筆者采用MMUSIC(Modified MUSIC)算法原理, 對陣列接收數(shù)據(jù)矩陣的自相關(guān)和互相關(guān)信息進行變換, 并且重新構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣, 最后結(jié)合TLS-ESPRIT(Total Least-Squares ESPRIT)算法提出了能同時適應(yīng)相干和非相干信號情況的波達方向估計的改進ESPRIT算法(IM-ESPRIT: Improved ESPRIT), 在較低信噪比和相干信源角度間隔較小等約束條件下, 對IM-ESPRIT算法進行了理論分析和數(shù)值仿真。

1 IM-ESPRIT算法的基本原理

1.1 MMUSIC算法

設(shè)有一M個各向同性陣元的均勻線陣(ULA: Uniform Linear Array), 陣元間距為d, 與線陣軸線法線呈θi(i=1,2,…,N)角度上有N個窄帶信號源si(t), 這里約定N

X(k)=AS(k)+N(k)

(1)

其中X(k)=[x1(k),x2(k),…,xM(k)]T,S(k)=[s1(k),s2(k),…,sN(k)]T和N(k)=[n1(k),n2(k),…,nM(k)]T分別為陣列接收數(shù)據(jù)矢量、 信號矢量和陣元噪聲矢量。其中xj(k)(j=1,…,M)為第j個陣元傳感器輸出,nj(k)為第j個陣元傳感器的噪聲, 這里假定nj(k)是與各信號源不相關(guān)且相互獨立的零均值、 方差為σ2的白噪聲,A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θN)]為陣列流型矩陣, 其中a(θi)=[1,e-jΦi,e-j2Φi,…,e-j(M-1)Φi]T,Φi=2πdsin(θi)/λ, (·)T表示轉(zhuǎn)置。

陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為

RXX=E[X(k)X(k)H]=ARSAH+σ2IM

(2)

其中RS=E[S(k)SH(k)]為信號協(xié)方差矩陣,IM為M×M階單位矩陣。對于相關(guān)信號源DOA估計, 為恢復(fù)接收陣列數(shù)據(jù)協(xié)方差的秩, 實現(xiàn)解相干, 這里取變換矩陣

(3)

并定義

Y(k)=JMX*(k)

(4)

式(4)中,X*(k)是X(k)的復(fù)共軛矩陣, 由于JMJM=IM,Y(k)協(xié)方差矩陣表示為

(5)

令

(6)

1.2 IM-ESPRIT算法

由式(6)分析可看出, 矩陣R1只涉及到數(shù)據(jù)X(k)和Y(k)的自相關(guān)矩陣, 而沒有利用X(k)與Y(k)互相關(guān)特性, 因此數(shù)據(jù)信息沒有充分利用, 有損失, 會導(dǎo)致算法性能下降。為進一步提高針對相干信號的DOA估計的分辨率性能, 筆者提出利用X(k)和Y(k)的自相關(guān)矩陣和互相關(guān)矩陣, 再通過重構(gòu)相關(guān)的矩陣, 進而對相干信號進行DOA估計的一種算法。

重新定義陣列接收數(shù)據(jù)自相關(guān)矩陣為

RXX=E[X(k)X(k+1)H]

(7)

由于噪聲之間相互獨立, 這里N(k)和N(k+1)是不相關(guān)的, 式(7)可起到降噪作用。對Y(k)的自相關(guān)矩陣也是同式(7)定義。

X(k)和Y(k)的互協(xié)方差矩陣為

RXY=E[X(k)YH(k)]

(8)

定義

(9)

則重構(gòu)矩陣定義為

(10)

由式(9)和式(10)可以看出, 筆者將MMUSIC解相干算法的思想應(yīng)用于陣列接收數(shù)據(jù)的自相關(guān)、 互相關(guān)矩陣變換上。即通過利用變換矩陣對陣列接收數(shù)據(jù)的自相關(guān)、 互相關(guān)矩陣進行變換, 再相加, 對數(shù)據(jù)噪聲起到平均作用, 達到在估計角度間隔較小的條件下實現(xiàn)相干信源DOA估計。而CC-ESPRIT算法[12]僅是直接運用陣列接收數(shù)據(jù)的自相關(guān)、互相關(guān)矩陣重設(shè)構(gòu)造矩陣。

(11)

其中矩陣Λ中各特征值是按照從大到小降序排列,E是與其特征值對應(yīng)的特征向量矩陣, 表示如下

(12)

式(12)中分塊矩陣Eij(i=1,2;j=1,2)都是N×N維, 則有

(13)

對Ψ進行特征值分解, 得到特征值λi=ejΦi, 進而估計信號的波達方向θi(i=1,…,M)。

上述算法定義為IM-ESPRIT算法, 通過分析, 該算法有如下特點：

1) 算法通過變換矩陣對陣列接收數(shù)據(jù)變換后, 利用陣列接收數(shù)據(jù)及其變換矩陣的自相關(guān)矩陣和互相關(guān)矩陣, 實現(xiàn)對相干信號的解相干過程。

2) 由于充分利用了陣列接收數(shù)據(jù)及其變換矩陣的自相關(guān)、 互相關(guān)信息, 因此, 能估計角度間隔較小的相干信源, 提高了算法的角度估計分辨能力。

2 IM-ESPRIT算法實現(xiàn)流程

算法流程如下:

1) 利用式(3)～式(9)計算自相關(guān)矩陣R1、R2和互相關(guān)矩陣R3, 重構(gòu)協(xié)方差矩陣R;

2) 對協(xié)方差矩陣R進行奇異值分解, 已知信源數(shù)N, 確定信號子空間US;

4) 根據(jù)式(12)將矩陣E劃分為4個相同維數(shù)的子矩陣, 利用式(13)求得矩陣Ψ, 對矩陣Ψ進行特征值分解, 得到特征值λi, 然后求解待測信號的波達方向。

3 仿真實驗

利用筆者提出的IM-ESPRIT算法對一維均勻線陣(ULA)開展DOA估計, 并與CC-ESPRIT算法估計結(jié)果進行對比與性能分析。相關(guān)參數(shù)如下： 陣元數(shù)M=10, 信源數(shù)為N=3, 來波方向分別為： 10°、30°和65°。前兩個信號相干, 與第3個信號不相干?？炫臄?shù)(采樣數(shù))為K=2 000, 陣元間距為半波長, 各陣元噪聲均為方差為1的高斯白噪聲。

1) 不同信噪比條件下, IM-ESPRIT算法和CC-ESPRIT算法仿真結(jié)果對比分析。

圖1 IM-ESPRIT算法和CC-ESPRIT算法DOA估計分辨率比較

圖1為IM-ESPRIT算法和CC-ESPRIT算法DOA估計分辨率比較。由圖1可以看出, IM-ESPRIT算法和CC-ESPRIT算法都能同時處理相干和非相干信號源情況, 但在相同信噪比條件下, IM-ESPRIT算法的估計精度比CC-ESPRIT稍高。

2) IM-ESPRIT算法與CC-ESPRIT算法相干信號角度估計分辨率對比與分析。

3個信號源波達方向分別為： 10°、13°和60°, 前兩個信號源為相干源, 但方向角度間隔明顯變小, 其他仿真參數(shù)同1)。表1為相干信號的CC-ESPRIT算法仿真結(jié)果, 表2為相干信號的IM-ESPRIT算法仿真結(jié)果。

表1 相干信號的CC-ESPRIT算法仿真結(jié)果

注：X表示不能估計波達方向

表2 相干信號的IM-ESPRIT算法仿真結(jié)果

注：X表示不能估計波達方向

圖2 IM-ESPRIT算法和CC-ESPRIT算法的DOA估計均方根誤差

由表1和2分析可看出, 在兩個相干信號源的角度間隔較小的條件下, 無論針對高、 低信噪比, CC-ESPRIT算法都不能給出相干信號波達方向, 算法失效。IM-ESPRIT算法只是在信噪比為-5 dB或更低時, 無法給出兩個相干信號源波達方向, 同CC-ESPRIT算法仿真結(jié)果比較, 對相干信號源角度估計的分辨率性能明顯要好, 但結(jié)果同時也表明, 隨著相干信號源的角度間隔逐漸變小時, IM-ESPRIT算法也需要相應(yīng)提高接收數(shù)據(jù)信噪比。

3) 不同信噪比條件下, IM-ESPRIT算法與CC-ESPRIT算法角度估計均方誤差對比與分析。

圖2給出了IM-ESPRIT算法和CC-ESPRIT算法均方誤差隨信噪比變化的曲線。由圖2可看出, 隨著信噪比的改善, 兩種算法的均方根誤差都變小, 但IM-ESPRIT算法均方誤差明顯比CC-ESPRIT算法小, 這表明在相同信噪比情況下, IM-ESPRIT算法的估計精度較高。

4 結(jié) 語

筆者采用MMUSIC算法思想, 通過引入變換矩陣, 在考慮到陣列接收數(shù)據(jù)及其相應(yīng)變換矩陣的自相關(guān)矩陣和互相關(guān)矩陣后, 提出了能同時適應(yīng)相干和非相干信號情況的波達方向估計的IM-ESPRIT算法。該算法理論和數(shù)值仿真表明, 在較低信噪比和相干信源角度間隔較小等約束條件下, 同常規(guī)CC-ESPRIT算法比較, 具有較好的分辨能力和估計精度, 數(shù)值仿真驗證了IM-ESPRIT算法的有效性和穩(wěn)定性。對陣列信號處理中相干信源DOA估計的研究具有一定參考意義。

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