黃 涌，云 雷，唐 飛，劉滌塵，孫文濤

（1.武漢大學(xué) 電氣工程學(xué)院，湖北 武漢 430072；2.湖北省電力公司，湖北 武漢 430077；3.廣東電網(wǎng)公司電力科學(xué)研究院，廣東 廣州 510600）

0 引言

隨著跨區(qū)大電網(wǎng)的高速發(fā)展，實(shí)際系統(tǒng)中出現(xiàn)了一些由周期性擾動(dòng)引起的強(qiáng)迫功率振蕩現(xiàn)象[1-4]。其產(chǎn)生原因與振蕩特征均不同于經(jīng)典的負(fù)阻尼機(jī)理功率振蕩[5-9]，因此強(qiáng)迫功率振蕩受到了越來(lái)越多的關(guān)注[10-14]。 在振蕩機(jī)理方面，文獻(xiàn)[10]基于經(jīng)典單機(jī)系統(tǒng)提出了電力系統(tǒng)強(qiáng)迫功率振蕩的基礎(chǔ)理論，文獻(xiàn)[11]依據(jù)復(fù)模態(tài)分析方法分析了多機(jī)系統(tǒng)強(qiáng)迫功率振蕩的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性及主要影響因素，文獻(xiàn)[12]分析了周期性負(fù)荷擾動(dòng)引發(fā)強(qiáng)迫功率振蕩的機(jī)理；在強(qiáng)迫振蕩源方面，文獻(xiàn)[13]分析了汽輪機(jī)功率擾動(dòng)引起強(qiáng)迫功率振蕩的共振機(jī)理，文獻(xiàn)[14]利用系統(tǒng)中的能量轉(zhuǎn)化特性識(shí)別強(qiáng)迫功率振蕩擾動(dòng)源位置。

電力系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，其本身具有一定的能量結(jié)構(gòu)[15-19]，與弱阻尼自由振蕩相比，電力系統(tǒng)強(qiáng)迫功率振蕩具有完全不同的能量轉(zhuǎn)換形式和特點(diǎn)。本文從電力系統(tǒng)強(qiáng)迫功率振蕩過(guò)程中的功-能轉(zhuǎn)換關(guān)系出發(fā)研究電力系統(tǒng)在強(qiáng)迫力作用下的能量變化情況，從功-能轉(zhuǎn)換的角度分析系統(tǒng)強(qiáng)迫功率振蕩機(jī)制及系統(tǒng)發(fā)生等幅振蕩的原因。根據(jù)受迫振動(dòng)機(jī)理[20]，當(dāng)振蕩源擾動(dòng)頻率不同時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能及總平均能量均會(huì)呈現(xiàn)出不同的振蕩幅度，與之對(duì)應(yīng)的某振蕩頻率值會(huì)出現(xiàn)最大動(dòng)能、最大勢(shì)能和最大總平均能量的運(yùn)行狀態(tài)[21-23]，稱之為動(dòng)能共振、勢(shì)能共振和能量共振狀態(tài)，最后在前文分析的基礎(chǔ)上研究了3種能量共振狀態(tài)下系統(tǒng)的運(yùn)行特性。

1 強(qiáng)迫功率振蕩穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

采用經(jīng)典模型的單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)，發(fā)電機(jī)采用二階經(jīng)典模型，根據(jù)受迫振動(dòng)原理[20]，考慮發(fā)電機(jī)機(jī)械功率變化，將轉(zhuǎn)子角運(yùn)動(dòng)方程在穩(wěn)定運(yùn)行點(diǎn)線性化之后可以得到：

其中，M為發(fā)電機(jī)慣性時(shí)間常數(shù)；DG為系統(tǒng)阻尼系數(shù)；K為發(fā)電機(jī)同步轉(zhuǎn)矩系數(shù)；Δδ為轉(zhuǎn)子角偏移量；ΔPm為機(jī)械功率變化量。

式（1）是一個(gè)二階常系數(shù)非齊次微分方程，其解包括通解和特解2個(gè)部分[10]：通解即為所對(duì)應(yīng)齊次微分方程的解，它只與系統(tǒng)本身參數(shù)有關(guān)，在一定時(shí)間內(nèi)由于系統(tǒng)的阻尼作用逐漸衰減；而特解與發(fā)電機(jī)機(jī)械功率變化量ΔPm直接相關(guān)。本文將研究通解衰減以后系統(tǒng)特解的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性。

假設(shè)機(jī)械功率為強(qiáng)迫振蕩源，其變化量為ΔPm=F0cos ωnt，則式（1）可以寫成：

其中，β=DG／（2M）為系統(tǒng)阻尼因子；為無(wú)阻尼自然振蕩角頻率；f0=F0／M，F(xiàn)0為振蕩源波動(dòng)幅值。

則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)及特解為：

相位φ隨強(qiáng)迫振蕩源頻率ωn的變化關(guān)系見(jiàn)圖1。

圖1 相位φ隨強(qiáng)迫源頻率ωn的變化關(guān)系Fig.1 Curve of φ vs.ωn

發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角速度變化量見(jiàn)式（4）。

2 系統(tǒng)的功-能關(guān)系

系統(tǒng)由于強(qiáng)迫力ΔPm的作用使轉(zhuǎn)子角產(chǎn)生等幅振蕩，則強(qiáng)迫力瞬時(shí)功率為：

功率振蕩過(guò)程中，系統(tǒng)既受到強(qiáng)迫振蕩源周期性外力的作用，還時(shí)刻受到發(fā)電機(jī)阻尼作用的影響而消耗系統(tǒng)能量，系統(tǒng)阻尼所消耗的瞬時(shí)功率為：

假設(shè)系統(tǒng)運(yùn)行初態(tài)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為t0，系統(tǒng)末態(tài)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為t，則從初態(tài)到末態(tài)系統(tǒng)強(qiáng)迫力所做功WF和阻力做功WD分別為：

強(qiáng)迫力作用使系統(tǒng)轉(zhuǎn)子角等幅振蕩，從能量的角度來(lái)講即是強(qiáng)迫力做功使系統(tǒng)的能量發(fā)生變化，因此可以將轉(zhuǎn)子角的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性描述為能量的變化量。

定義系統(tǒng)的動(dòng)能為：

由式（9）可得動(dòng)能與轉(zhuǎn)子角的角速度直接相關(guān)。

系統(tǒng)的勢(shì)能為：

由式（10）可得勢(shì)能與轉(zhuǎn)子角偏移平衡位置直接相關(guān)。

系統(tǒng)在振蕩過(guò)程中的瞬時(shí)總能量為：

系統(tǒng)動(dòng)能和勢(shì)能的維持是因?yàn)閺?qiáng)迫振蕩源作為強(qiáng)迫力向系統(tǒng)做功，同時(shí)因?yàn)橄到y(tǒng)本身的阻尼作用又從系統(tǒng)中消耗能量，兩者之差即為系統(tǒng)總能量。從式（9）和式（10）可以看出系統(tǒng)動(dòng)能和勢(shì)能均隨時(shí)間變化，系統(tǒng)總能量也以頻率2ωn作周期性波動(dòng)，說(shuō)明強(qiáng)迫振蕩過(guò)程中系統(tǒng)瞬時(shí)總能量不守恒，但是轉(zhuǎn)子角卻是在作頻率不變的等幅振蕩。

由式（12）和式（13）可以看出，強(qiáng)迫功率振蕩過(guò)程中系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能在每個(gè)周期內(nèi)的平均值保持恒定，即周期時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的總能量保持恒定，沒(méi)有與外界的交換，但是動(dòng)能平均值不等于勢(shì)能平均值，其大小與強(qiáng)迫振蕩源的頻率有關(guān)。

3 強(qiáng)迫振蕩過(guò)程中的功-能轉(zhuǎn)換

以采用經(jīng)典模型的單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)為例分析不同情況下的系統(tǒng)功能轉(zhuǎn)換。取參數(shù)M=12，DG=1，K=3（各參數(shù)均按標(biāo)幺值計(jì)算），經(jīng)計(jì)算系統(tǒng)無(wú)阻尼自然振蕩角頻率ωn=0.5 rad／s。

假設(shè)轉(zhuǎn)子角從平衡位置到最大振幅處再回到平衡位置所對(duì)應(yīng)的時(shí)間分別為t1、t2和t3。因?yàn)槠胶馕恢脮r(shí) Δδ=Acos（ωnt＋φ）=0，可得 ωnt＋φ=±π／2，又因?yàn)榇藭r(shí) Δω=ωnAcos（ωnt＋φ＋π／2）＞0，所以取ωnt＋φ=-π／2，可得 t1=（-π／2-φ）／ωn；轉(zhuǎn)子角到最大位移處時(shí)，考慮到t2是在同一周期內(nèi)到達(dá)最大幅值，對(duì)應(yīng) ωnt＋φ=0，可得 t2=-φ／ωn；再回到平衡位置時(shí)，ωnt＋φ=π／2，有 Δω=ωnAcos（ωnt＋φ＋π／2）＜0，可得 t3=（π／2-φ）／ωn。 因?yàn)?π＜φ＜0，所以需要將上述3個(gè)位置的時(shí)刻分別往后增加一個(gè)周期，最后可得 t1、t2和 t3如式（14）—（16）所示。

初始平衡位置時(shí)刻：

最大振幅時(shí)刻：

再次達(dá)到平衡位置時(shí)刻：

當(dāng)轉(zhuǎn)子角由平衡位置到最大振幅處時(shí)，將時(shí)刻t1、t2代入式（7）和式（8），可得：

系統(tǒng)外力所做總功為：

當(dāng)轉(zhuǎn)子角由最大幅值返回到平衡位置時(shí)，將時(shí)刻 t2、t3代入式（7）和式（8），可得：

系統(tǒng)外力所做總功為：

分別討論強(qiáng)迫振蕩源頻率ωn不同時(shí)的系統(tǒng)功能轉(zhuǎn)換。

3.1 ωn＜ω0的情況

根據(jù)圖1，當(dāng)ωn＜ω0時(shí)，相角φ位于第四象限，φ隨著ωn的增大而減小。 當(dāng)ωn由0ω0時(shí)，相角 φ 由0-π／2。 假設(shè) ωn=0.4 rad／s，擾動(dòng)幅值 F0=1.0，則強(qiáng)迫振蕩源形式為 ΔPm=1.0cos（0.4t）。 通過(guò)式（14）、（15）和（16）可計(jì)算出 t1=12.67s、t2=16.59s、t3=20.52 s。將 t1、t2代入式（19），可得 W1=0.4071 p.u.，說(shuō)明當(dāng)轉(zhuǎn)子角變化量由平衡位置到最大振幅時(shí)外力對(duì)系統(tǒng)做正功，轉(zhuǎn)子角在此過(guò)程中吸收能量。又因?yàn)樵趖1時(shí)刻系統(tǒng)只有動(dòng)能，而在t2時(shí)刻只有勢(shì)能，所以系統(tǒng)在最大振幅處的勢(shì)能大于在平衡位置的動(dòng)能，即Epm＞Ekm（下標(biāo) m 表示最大值，后同）；將 t2、t3代入式（22），可得W2=-0.4071 p.u.，說(shuō)明當(dāng)轉(zhuǎn)子角變化量從最大振幅回到平衡位置時(shí)，外力對(duì)系統(tǒng)做負(fù)功，系統(tǒng)向外界輸出能量，故系統(tǒng)在t2時(shí)刻的勢(shì)能大于t3時(shí)刻的動(dòng)能，即Epm＞Ekm，可見(jiàn)轉(zhuǎn)子角在前半個(gè)周期的波動(dòng)過(guò)程中平均勢(shì)能大于平均動(dòng)能。轉(zhuǎn)子角在后半個(gè)周期的能量轉(zhuǎn)換與上述過(guò)程一致。系統(tǒng)轉(zhuǎn)子角能量隨時(shí)間變化曲線見(jiàn)圖2，強(qiáng)迫力和阻力瞬時(shí)功率如圖3所示。圖2、3中縱軸所表示的量均為標(biāo)幺值，后同。

圖2 系統(tǒng)能量曲線Fig.2 Curves of system energy

圖3 強(qiáng)迫力和阻尼功率曲線Fig.3 Curves of compelling force and damping power

由圖2可見(jiàn)，系統(tǒng)勢(shì)能幅值大于動(dòng)能幅值，經(jīng)計(jì)算可得，勢(shì)能平均值，動(dòng)能平均值，即，與分析結(jié)果一致。

3.2 ωn＞ω0的情況

同樣根據(jù)圖1，當(dāng)ωn＞ω0時(shí)，相角φ位于第三象限，且φ隨著ωn的增大而減小。當(dāng)ωn由ω0∞時(shí)，相角 φ 由 -π／2-π。設(shè) ωn=0.6 rad／s，擾動(dòng)幅值F0=1.0，強(qiáng)迫振蕩源形式為 ΔPm=1.0cos（0.6t）。 通過(guò)式（14）、（15）和（16）可計(jì)算出 t1=12.37 s、t2=14.99 s、t3=17.61 s。 將 t1、t2代入式（19），可得 W1=-0.3139 p.u.，說(shuō)明當(dāng)轉(zhuǎn)子角變化量由平衡位置到最大振幅時(shí)外力對(duì)系統(tǒng)做負(fù)功，轉(zhuǎn)子角在此過(guò)程中輸出能量。在 t1時(shí)刻的動(dòng)能大于t2時(shí)刻的勢(shì)能，即Ekm＞Epm；將t2、t3代入式（22），可得 W2=0.3139 p.u.，說(shuō)明當(dāng)轉(zhuǎn)子角變化量從最大振幅回到平衡位置時(shí)，外力對(duì)系統(tǒng)做正功，系統(tǒng)吸收能量，所以系統(tǒng)在t2時(shí)刻的勢(shì)能小于t3時(shí)刻的動(dòng)能，即Epm＜Ekm，轉(zhuǎn)子角在前半個(gè)周期的波動(dòng)過(guò)程中平均動(dòng)能大于平均勢(shì)能。轉(zhuǎn)子角在后半個(gè)周期的能量轉(zhuǎn)換與上述過(guò)程一致。系統(tǒng)轉(zhuǎn)子角能量隨時(shí)間變化曲線如圖4所示，強(qiáng)迫力和阻力瞬時(shí)功率如圖5所示。

由圖4可見(jiàn)，系統(tǒng)動(dòng)能幅值大于勢(shì)能幅值，經(jīng)計(jì)算可得，勢(shì)能平均值，動(dòng)能平均值，即，與分析結(jié)果一致。

圖4 系統(tǒng)能量曲線Fig.4 Curves of system energy

圖5 強(qiáng)迫力和阻尼功率曲線Fig.5 Curves of compelling force anddamping power

由3.1節(jié)、3.2節(jié)，從t1到t3時(shí)刻，系統(tǒng)外力所做總功為W1＋W2=0，同理，在轉(zhuǎn)子角變化量的后半個(gè)周期外力做功同樣為0，即周期內(nèi)轉(zhuǎn)子角的總能量總是保持不變，強(qiáng)迫力對(duì)系統(tǒng)所做的功正好等于系統(tǒng)阻力所消耗的能量，系統(tǒng)正是在這種能量的吸收和耗散過(guò)程中保持等幅振蕩。所不同的是系統(tǒng)動(dòng)能和勢(shì)能對(duì)能量的吸收程度的不同，表現(xiàn)為其平均值的大小關(guān)系，而這依賴于強(qiáng)迫振蕩源的頻率。

3.3 ωn=ω0的情況

當(dāng)強(qiáng)迫振蕩源頻率ωn=ω0時(shí)，由圖1可知相角φ=-π／2，將相角 φ 代入到式（5）和式（6）可得：

根據(jù)第1節(jié)中系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性，將式（23）和式（24）化簡(jiǎn)可得：

式（25）表明，在系統(tǒng)強(qiáng)迫振蕩的任何時(shí)刻，外力對(duì)系統(tǒng)做功始終為0（如圖6所示），這是強(qiáng)迫振蕩的特殊情況，即經(jīng)過(guò)任意時(shí)間段，系統(tǒng)的總能量時(shí)刻保持恒定，與外界沒(méi)有能量交換，能量只在動(dòng)能和勢(shì)能之間轉(zhuǎn)換（如圖7所示），兩者之和恒為定值。此時(shí)系統(tǒng)可以稱為達(dá)到能量吸收和消耗的最佳狀態(tài)。

同樣根據(jù)式（14）、（15）和（16）可計(jì)算出 t1=12.56 s、t2=15.70 s、t3=18.84 s。 計(jì)算 t1到 t2時(shí)刻的外力做功W1=0，t2到t3時(shí)刻的外力做功W2=0，系統(tǒng)總能量保持恒定。同時(shí)可以求出勢(shì)能平均值，動(dòng)能平均值，即。

圖6 強(qiáng)迫力和阻尼功率曲線Fig.6 Curves of compelling force and damping energy

圖7 系統(tǒng)能量曲線Fig.7 Curves of system energy

4 能量共振

如前文所述，當(dāng)振蕩源頻率ωn=ω0=0.50 rad／s時(shí)，系統(tǒng)的能量時(shí)刻保持恒定，根據(jù)式（4）中轉(zhuǎn)子角振幅求極值可知，此時(shí)系統(tǒng)的速度振幅達(dá)到極大值，稱之為動(dòng)能共振狀態(tài)。式（5）和（6）還說(shuō)明：強(qiáng)迫力做功即系統(tǒng)吸收的功率與轉(zhuǎn)子角速度成正比，而阻尼消耗功率卻與角速度平方成正比，阻尼消耗功率增長(zhǎng)速度大于系統(tǒng)吸收功率的增長(zhǎng)速度，說(shuō)明角速度振幅對(duì)維持系統(tǒng)等幅振蕩起了關(guān)鍵性作用，所以在ωn=ω0時(shí)，系統(tǒng)從強(qiáng)迫振蕩源吸收功率達(dá)到最佳狀態(tài)，這就要求角速度有相應(yīng)的最大值，才能使阻尼消耗功率與強(qiáng)迫力做功相抵消。

動(dòng)能共振狀態(tài)下系統(tǒng)的總能量似乎達(dá)到一個(gè)比較大的運(yùn)行狀態(tài)。但是根據(jù)式（11）可以看出系統(tǒng)總能量直接依賴于轉(zhuǎn)子角速度和振動(dòng)位移，而對(duì)應(yīng)能量的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和強(qiáng)迫力直接相關(guān)?？偰芰科骄当囟▽?duì)應(yīng)振蕩源某一頻率處達(dá)到最大值，稱此時(shí)系統(tǒng)處于能量共振狀態(tài)。

系統(tǒng)總能量平均值為：

根據(jù)式（26），應(yīng)用求極值的微分判據(jù)，對(duì)總平均能量求導(dǎo)，可以求出系統(tǒng)發(fā)生能量共振的條件為：

式（27）可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

式（26）—（28）表明系統(tǒng)發(fā)生能量共振時(shí)的振蕩源頻率ωn＜ω0，這屬于第3.1節(jié)中的情況，說(shuō)明當(dāng)ωn=ω0并不是系統(tǒng)平均能量最大的條件。

在此條件下，系統(tǒng)平均能量的最大值為：

以上2種能量共振分別對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)的最大動(dòng)能和最大總能量，但是對(duì)于電力系統(tǒng)而言，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角的振蕩幅度無(wú)疑才是對(duì)電網(wǎng)安全穩(wěn)定影響最為顯著的因素，因此對(duì)式（3）轉(zhuǎn)子角位移的振蕩幅度求極值，可得當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)轉(zhuǎn)子角位移達(dá)到最大值，此時(shí)系統(tǒng)處于勢(shì)能共振狀態(tài)。

如前文所述，系統(tǒng)在發(fā)生強(qiáng)迫功率振蕩時(shí)，由于能量在每周期內(nèi)的平均值相等，系統(tǒng)在每個(gè)周期內(nèi)與外界交換的能量平均值為0，強(qiáng)迫力做功僅用于補(bǔ)償阻尼消耗能量。由于系統(tǒng)的能量直接依賴于轉(zhuǎn)子角位移和角速度，而角速度又直接與功率損耗和吸收有關(guān)，所以系統(tǒng)能量與強(qiáng)迫力之間有著必然的聯(lián)系。但是，系統(tǒng)能量吸收和消耗的最佳狀態(tài)并不是系統(tǒng)總能量達(dá)最大的狀態(tài)，既然系統(tǒng)總能量直接依賴于轉(zhuǎn)子角位移和角速度，所以可以判斷系統(tǒng)的總平均能量最大值發(fā)生在系統(tǒng)動(dòng)能共振和勢(shì)能共振狀態(tài)之間，這與本節(jié)中各能量共振狀態(tài)對(duì)應(yīng)的振蕩源頻率計(jì)算結(jié)果是一致的。

5 結(jié)論

本文研究了電力系統(tǒng)強(qiáng)迫功率振蕩過(guò)程中的能量共振，用功-能轉(zhuǎn)換來(lái)描述系統(tǒng)強(qiáng)迫振蕩運(yùn)行狀態(tài)。

a.強(qiáng)迫振蕩過(guò)程中轉(zhuǎn)子角的勢(shì)能和動(dòng)能均隨時(shí)間作周期性波動(dòng)，但兩者在每個(gè)周期內(nèi)的平均值均保持恒定，系統(tǒng)總能量平均值在一個(gè)周期內(nèi)亦保持不變。

b.轉(zhuǎn)子角變化量從平衡位置到最大位移處再回到平衡位置時(shí)，外力對(duì)系統(tǒng)做功為零，說(shuō)明強(qiáng)迫力對(duì)系統(tǒng)做的功用于補(bǔ)償系統(tǒng)阻尼消耗功率，同時(shí)也解釋了系統(tǒng)總能量平均值保持恒定的原因。

c.分析了系統(tǒng)對(duì)應(yīng)不同振蕩源頻率時(shí)的動(dòng)能共振、勢(shì)能共振和總能量共振狀態(tài)，驗(yàn)證了系統(tǒng)能量與轉(zhuǎn)子角位移和角速度之間的關(guān)系，最后分析了系統(tǒng)發(fā)生總平均能量共振的條件。