姜海波， 趙云鵬

（海軍工程大學(xué)勤務(wù)學(xué)院，天津 300450）

翼型的設(shè)計(jì)方法大致可分為反設(shè)計(jì)法和優(yōu)化設(shè)計(jì)法兩類。反設(shè)計(jì)法由給定的目標(biāo)壓力分布通過(guò)計(jì)算機(jī)逆向多次迭代求解氣動(dòng)外形[1-2]，這些翼型可能具有較高的升阻比，但由于多數(shù)是在單個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)上設(shè)計(jì)的，在工況偏離設(shè)計(jì)點(diǎn)時(shí)升阻比會(huì)變差，失速特性不理想。為提高翼型的綜合性能，以遺傳算法為代表的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法得到較快發(fā)展，該方法直接以氣動(dòng)性能為目標(biāo)進(jìn)行外形設(shè)計(jì)，可以按要求對(duì)翼型提出各種約束[3-4]，其缺點(diǎn)是計(jì)算工作量大，約束越多計(jì)算時(shí)間越長(zhǎng)。

翼型的形狀決定了流場(chǎng)的壓力分布和翼型的性能，是流動(dòng)分析的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。不論是反設(shè)計(jì)還是優(yōu)化設(shè)計(jì)，不論是單目標(biāo)還是多約束，最終都要?dú)w結(jié)到流體對(duì)形狀作用的正問(wèn)題上來(lái)，只不過(guò)增加了多次微調(diào)形狀、計(jì)算并優(yōu)選具有“最佳性能”形狀的過(guò)程。所以翼型形狀的表達(dá)方法十分重要，它關(guān)系到后續(xù)計(jì)算全過(guò)程的效率高低和翼型綜合性能的優(yōu)劣。

翼型的幾何形狀可采用多種方法描述，主要有外形參數(shù)化方法、形函數(shù)擾動(dòng)法、解析函數(shù)法3種。外形參數(shù)化方法用多個(gè)參數(shù)描述翼型各個(gè)部位的幾何尺寸，設(shè)計(jì)變量有明確的幾何意義，但不給出解析表達(dá)式[5-6]。形函數(shù)擾動(dòng)法由原始翼型和擾動(dòng)形函數(shù)的線性疊加決定外形[7]，形函數(shù)一般采用 Hicks-Henne函數(shù)[8]，這種方法對(duì)原始翼型的幾何數(shù)據(jù)依賴性很強(qiáng)，如果原始翼型的外形不光滑，那么設(shè)計(jì)翼型的外形也不光滑，而且直接影響到壓力系數(shù)曲線的光滑性。另外這種方法不能改變初始翼型的前緣半徑和后緣角等幾何參數(shù)[9]。解析函數(shù)法就是用一個(gè)解析函數(shù)直接表示翼型形狀，例如早期用多項(xiàng)式表達(dá)的NACA 4位數(shù)、5位數(shù)系列翼型，近期也有研究用級(jí)數(shù)表達(dá)翼型的方法[10]。這些方法適合表示靜態(tài)翼型，因?yàn)閰?shù)變化對(duì)形狀全局都會(huì)產(chǎn)生很大的影響，微調(diào)效果不好，遺傳算法難以找到合適的個(gè)體編碼方式。

如果解析函數(shù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、參數(shù)幾何意義明確、微調(diào)效果又好，那么結(jié)合計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的優(yōu)化設(shè)計(jì)能力，就容易得到性能更優(yōu)良的翼型。為此，本文探討一種用中弧線-厚度函數(shù)定義的解析函數(shù)來(lái)構(gòu)造復(fù)雜翼型的方法。

1 儒科夫斯基翼型型線表達(dá)式的簡(jiǎn)化

儒科夫斯基翼型型線表達(dá)式為[11]

其中z為翼型型線相對(duì)于弦長(zhǎng)的無(wú)量綱縱坐標(biāo)，yC為翼型型線相對(duì)于弦長(zhǎng)的無(wú)量綱橫坐標(biāo)（橫軸與翼弦方向一致）；δ為最大厚度與弦長(zhǎng)的比值，稱為相對(duì)厚度；ε為翼型中弧線到翼弦的最大距離與弦長(zhǎng)的比值，稱為相對(duì)彎度。式(1)最后一項(xiàng)取正號(hào)時(shí)表示上型線，取負(fù)號(hào)時(shí)表示下型線。上式根號(hào)內(nèi)含有彎度項(xiàng)，且彎度在分母，表達(dá)式比較復(fù)雜，為化簡(jiǎn)，對(duì)該式關(guān)于ε進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)

忽略3次及以上階次小量

這是弦長(zhǎng)中點(diǎn)位于原點(diǎn)的翼型表達(dá)式。式中第 1項(xiàng)為翼型的中弧線，其最大值為ε，由該值確定翼型的彎度。第2項(xiàng)表示厚度，取正號(hào)時(shí)為上表面型線，取負(fù)號(hào)時(shí)為下表面型線。容易證明上下型線之間距離的最大值為δ。分別取δ=0.2，ε=0及δ=0.2，ε=0.1，式(3)表示的翼型形狀分別如圖1、圖2所示。

圖2 彎度為0.1的翼型構(gòu)造示例

將前緣移至原點(diǎn)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化式(3)，令

則有

將式(4，5)代入式(3)

這是前緣在原點(diǎn)的儒科夫斯基翼型型線的解析表達(dá)式。

2 一般翼型型線的函數(shù)構(gòu)造方法

在函數(shù)表達(dá)式中，變量的系數(shù)和指數(shù)（統(tǒng)稱為參數(shù)）對(duì)函數(shù)圖像形狀產(chǎn)生顯著的影響。為構(gòu)造一般翼型型線形狀函數(shù)，將儒科夫斯基翼型型線表達(dá)式的系數(shù)和指數(shù)擴(kuò)展為一般形式，參考式(7)定義形狀函數(shù)為

式中，p、a、b、q、c和d均為大于0的常數(shù)。儒科夫斯基型線函數(shù)可認(rèn)為是該式的一個(gè)特例。

該式的第1項(xiàng)表示翼型的中弧線，由3個(gè)參數(shù)控制中弧線的形狀：系數(shù)p控制整體中弧線的高低，y的指數(shù)a控制前端中弧線的高低，(1-y)的指數(shù)b控制后端中弧線的高低；該式第2項(xiàng)表示翼型的厚度，由3個(gè)參數(shù)控制厚度變化趨勢(shì)：系數(shù)q控制整體厚度趨勢(shì)，y的指數(shù)c控制前端厚度，(1-y)的指數(shù)d控制后端厚度。

這6個(gè)參數(shù)的增大或減小都會(huì)影響形狀，相對(duì)于基準(zhǔn)圖形的影響趨勢(shì)列入表1中，這里用于比較的基準(zhǔn)圖形的參數(shù)為p=0.4,a=1,b=1,q=0.3,c=0.5,d=1.5（儒科夫斯基翼型）。

式(8)第1項(xiàng)為中弧線項(xiàng)，第2項(xiàng)為厚度項(xiàng)。從表1可以看出，翼型型線的形狀取決于中弧線走勢(shì)和厚度的變化。這種用調(diào)整中弧線和厚度參數(shù)構(gòu)造翼型型線的方法，本文稱為“中弧線-厚度函數(shù)構(gòu)造法”。

表1 參數(shù)變化對(duì)翼型形狀的影響

參數(shù)變化對(duì)形狀的影響趨勢(shì)有很強(qiáng)的規(guī)律性。p是中弧線項(xiàng)的系數(shù)，p增大翼型中弧線就會(huì)成比例增高，彎度就會(huì)增大。q是厚度項(xiàng)的系數(shù)，q增大厚度會(huì)成比例擴(kuò)展。底數(shù)為y的項(xiàng)對(duì)翼型前端形狀影響較大，底數(shù)為(1-y)的項(xiàng)對(duì)后端形狀影響較大，它們都是小于1的數(shù)，因此指數(shù)增大所在項(xiàng)反而變小。式(8)中每一項(xiàng)、每個(gè)系數(shù)或指數(shù)的幾何意義都很明確，而且表達(dá)式并不復(fù)雜（僅有 6個(gè)參數(shù)），因此，方便構(gòu)造多種形態(tài)的翼型。

3 復(fù)雜翼型型線的函數(shù)構(gòu)造方法

為適應(yīng)構(gòu)造更復(fù)雜翼型形狀的需要，可以考慮分離上、下型線并重新組合。用下標(biāo)u、l分別表示上、下型線，則式(8)可擴(kuò)展為如下形式

下型線和對(duì)應(yīng)中弧線始終保持為基準(zhǔn)形狀（實(shí)線），改變上型線參數(shù)時(shí)圖形的變化趨勢(shì)（虛線）如表2所示。上型線和對(duì)應(yīng)中弧線始終保持為基準(zhǔn)形狀（實(shí)線），改變下型線參數(shù)時(shí)圖形的變化趨勢(shì)（虛線）如表3所示。

表 1～表 3的所有示例是在基準(zhǔn)形狀基礎(chǔ)上僅調(diào)整單一參數(shù)得到的圖形趨勢(shì)，如果同時(shí)調(diào)整多個(gè)參數(shù)，那么圖形的變化形式將會(huì)是多種多樣的，因此，可以通過(guò)調(diào)整參數(shù)給出眾多翼型的解析表達(dá)式。

需要注意的是，在上、下型線分離、進(jìn)行不同組合的情況下，翼型的實(shí)際中弧線和厚度需重新計(jì)算。最終中弧線的表達(dá)式為其最大值fεmax就是翼型的彎度。翼型最終上、下型線之間的距離為

其最大值fδmax就是翼型的厚度，該值可作為優(yōu)化設(shè)計(jì)中的約束項(xiàng)之一。

表3 下型線參數(shù)變化對(duì)翼型形狀的影響

4 光滑尾緣翼型型線的函數(shù)構(gòu)造方法

前述翼型的尾緣為兩條曲線的交點(diǎn)，尖銳尾緣翼型在很多場(chǎng)合強(qiáng)度不能滿足實(shí)際工作的需要，必須設(shè)法用解析函數(shù)構(gòu)造光滑尾緣翼型。

實(shí)際上尾緣僅與厚度有關(guān)，因此只需在前述所有公式后再增加一個(gè)厚度項(xiàng)就能解決問(wèn)題。這里的主要技巧在于把光滑前緣的方法用在尾緣處，以上述基準(zhǔn)翼型示例分析如下。

基準(zhǔn)翼型型線函數(shù)為

該式表示的型線圖形如圖3(a)所示。前緣的光滑性取決于厚度項(xiàng)（第2項(xiàng)）中y的指數(shù)0.5，這個(gè)值只能微調(diào)或不調(diào)才能保持前緣光滑。尾緣光滑性則由(1-y)的指數(shù)確定，當(dāng)其值從1.5調(diào)整到0.5左右時(shí)，尾緣必定是光滑的。但是這種調(diào)整會(huì)導(dǎo)致翼型型線形狀發(fā)生巨大變化，例如對(duì)換這兩項(xiàng)的指數(shù)，那么翼型就會(huì)水平翻轉(zhuǎn)（如圖3(b)）。解決的方法是在式(8)或式(13)中再增加一個(gè)厚度項(xiàng)，調(diào)換指數(shù)位置，并調(diào)低該項(xiàng)系數(shù)值（以減少對(duì)前端形狀的影響），例如變換為以下形式

該式表示的型線圖形如圖3(c)所示。如果在式(14)的第3項(xiàng)中增大y的指數(shù)，例如由1.5增大到6，那么與圖3(a)比較，翼型前端的形狀基本不變，而尾緣變化明顯如圖3(d)所示。

圖3 光滑尾緣翼型的構(gòu)造過(guò)程

根據(jù)以上分析，具有光滑尾緣的翼型型線函數(shù)可表示為以下形式

其中r

5 結(jié) 束 語(yǔ)

本文將儒科夫斯基翼型型線表達(dá)式簡(jiǎn)化為中弧線-厚度函數(shù)表示的解析式，利用其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的特點(diǎn)進(jìn)一步擴(kuò)展了參數(shù)范圍，提出了中弧線-厚度解析構(gòu)造法，給出了通過(guò)調(diào)整參數(shù)大小生成眾多不同翼型形狀的簡(jiǎn)單方法，適合在翼型設(shè)計(jì)優(yōu)化過(guò)程中使用。本文還對(duì)復(fù)雜翼型，特別是尾緣光滑翼型給出了單一解析構(gòu)造函數(shù)，避免了采用分段函數(shù)或疊加多項(xiàng)式帶來(lái)的諸多麻煩和困難?？梢钥闯?，復(fù)雜翼型的幾何形狀可通過(guò)有限個(gè)參數(shù)的解析函數(shù)表達(dá)，這些參數(shù)不僅數(shù)量少，具有明確的幾何意義，而且使用方便，便于調(diào)整翼型的局部形狀。

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