李宏坤，郭 騁，房世利，丁 健

(1.大連理工大學 機械工程學院，大連 116024;2.大連理工大學 工業(yè)裝備結構分析國家重點實驗室，大連 116024;3.沈陽鼓風機集團公司，沈陽 110869)

齒輪傳動是應用最為廣泛的機械傳動方式，其被廣泛應用于機械電子、采礦冶金、汽車交通、航空航天等領域。隨著現(xiàn)代工業(yè)化程度的不斷提高，包括齒輪箱在內(nèi)的機械設備的振動與噪聲問題正在越來越受到重視。齒輪箱振動、噪聲的主要來源為輪齒之間嚙合時的相互作用，相關研究表明齒輪箱是以結構噪聲為主的設備，對振動、噪聲傳遞路徑進行分析可知，其主要分為3種途徑:一是齒輪對嚙合過程產(chǎn)生的嚙合聲以固體聲的形式經(jīng)齒輪、軸和軸承等傳遞至箱體，通過箱體各壁面振動輻射到齒輪箱外部空間中，形成所謂第一次空氣聲;二是齒輪對嚙合過程產(chǎn)生的嚙合聲直接輻射到齒輪箱內(nèi)部空間中，再傳遞至箱體各壁面使其振動向箱外空間輻射噪聲，形成所謂第二次空氣聲;三是嚙合聲通過齒輪箱存在的各種縫隙向外輻射。研究表明齒輪箱約90%～95%的輻射聲能量是通過第一種途徑［1］。因此，齒輪箱箱體的優(yōu)化設計是整個齒輪箱減振、降噪優(yōu)化設計的重要研究內(nèi)容。

國內(nèi)外學者在齒輪箱減振、降噪優(yōu)化設計方面已經(jīng)開展了廣泛的研究工作［2－7］，但是研究的越深入就會遇到更多更難的問題，至今為止很多的研究工作仍然處在理論與試驗研究、振動噪聲數(shù)值仿真方法研究等階段，在此基礎上探究齒輪箱的振動與輻射噪聲特性，并尋找薄弱環(huán)節(jié)，進行相應的結構改進工作。針對較普遍存在的振動與噪聲不同步優(yōu)化考慮、結構改進存在的盲目性等問題，本文采用振速法原理、有限元求解、貢獻量分析等方法，在兼顧齒輪箱箱體振動和噪聲特性的基礎上，采用優(yōu)化求解器對其進行優(yōu)化求解與改進設計。

1 理論基礎

研究表明，齒輪箱類主要輻射結構噪聲的設備，其結構表面振動速度與輻射噪聲之間存在著一定的比例關系，但是以降噪為目標的結構改進時常出現(xiàn)表面振動速度降低，但降噪效果卻不明顯的現(xiàn)象，這說明了這一類結構其輻射噪聲的特性受到聲輻射面積、表面振速、聲輻射效率等多種振動、聲學因素的影響［8］。本文為了實現(xiàn)在箱體優(yōu)化求解過程中能夠兼顧振動、噪聲兩個特性，分別利用貢獻量分析、振速法原理等對箱體的特性進行分析，并制定了能夠表征箱體振動、噪聲量的優(yōu)化目標函數(shù)。

1.1 模態(tài)貢獻量分析

結構模態(tài)貢獻量分析能夠計算結構在確定的載荷激勵下各階模態(tài)對于不同位置響應的貢獻量大小，其不僅與結構本身的固有特性有關，還與結構所受到的載荷以及響應的位置有關。

由于一個結構系統(tǒng)的振動微分方程經(jīng)過模態(tài)變換之后可得到用模態(tài)參數(shù)表示的非耦合振動微分方程為:

式中:yj為模態(tài)坐標;ωj為第j階模態(tài)固有圓頻率;ξj為模態(tài)阻尼;fj為模態(tài)坐標中的載荷。

對于一個穩(wěn)態(tài)的正弦激勵而言，fj具有如下的形式:

其中:fjc為復數(shù)力幅值;Ω為施加的圓頻率;

假如式(1)在任何時刻都成立，則需要yj具有如下形式:

其中:yjc為第j階模態(tài)坐標值的復幅值;

將式(3)微分，并將其與式(2)代入式(1)得到:

整理得:

則:

來自各階模態(tài)的貢獻量則可以表示為:

其中，{Cj}為第j階模態(tài)的貢獻量;{φj}第j階模態(tài)振型向量。

最終，復位移可以通過下式獲得:

1.2 振速法原理

振速法實際上是在研究振動與聲之間關系的基礎上提出的方法，結構聲輻射引起的空氣聲功率級可按如下公式計算［9］:

本文利用ANSYS軟件的動力學模塊對齒輪箱進行穩(wěn)態(tài)動力學計算求解，提取齒輪箱箱體非支撐面外表面各節(jié)點的振動速度求解振動速度級均值LV'i，那么速度級均值則可通過下式來獲得:

式中:L'Vi為未修正的實際振動速度級;KIi、Kmi為修正因數(shù)(一般情況下可忽略);

根據(jù)式(9)也可以發(fā)現(xiàn)，如果振動結構的輻射效率σ已知，那么可通過計算結構表面振速的均方值來獲得其所輻射的聲功率級。為此本文將應用高效的聲學求解軟件LMS Virtual.Lab Acoustics對齒輪箱箱體輻射效率σ進行求解。

1.3 ANSYS優(yōu)化求解原理

采用ANSYS軟件的優(yōu)化求解器進行箱體的優(yōu)化求解計算，在ANSYS軟件中提供了兩種優(yōu)化求解方法分別是零階方法和一階方法。零階方法能夠滿足大多數(shù)工程問題的求解需要，是一個較為完善的處理方法。一階方法適合于對求解精度有更高要求的場合，其利用偏倒數(shù)求解基于目標函數(shù)對設計變量的敏感程度。本文采用一階方法來進行齒輪箱箱體的優(yōu)化求解［10］。一階方法首先需要將約束問題通過引入罰函數(shù)的方式轉換為非約束問題，以此來提高問題求解的效率，接著將目標函數(shù)與狀態(tài)變量罰函數(shù)求偏導數(shù)以確定在設計空間中的搜索方向。在迭代過程中使用最速下降法或者共軛梯度法直到求解結束。下面對一階方法原理進行簡要的概述。首先通過下式將約束問題轉化為非約束問題:

其中:Q 無量綱，為非約束的目標函數(shù);Px，Pg，Ph，Pw為施加于約束的設計和狀態(tài)變量的罰函數(shù);f0為從當前的設計集中選取的參考目標函數(shù)值;約束的滿意度是通過響應面參數(shù)(response surface parameter)即q這個參數(shù)來控制的。對設計變量施加外部罰函數(shù)(Exterior penalty functions)Px。狀態(tài)變量約束使用擴展內(nèi)部罰函數(shù)(extended-interior penalty functions)Pg，Ph，Pw。

2 齒輪箱貢獻量分析

2.1 齒輪箱穩(wěn)態(tài)振動響應分析

本文采用Solidworks軟件完成了整個齒輪箱的建模工作，將齒輪嚙合模型導入ADAMS軟件并進行相關設置完成齒輪對剛性體動力學建模。根據(jù)實際工況，主要設置為在四個軸承位置定義轉動副;在主動軸輸入端添加驅動，轉速設置為1 500 r/min;在從動軸輸出端定義負載扭矩為2 N/m;在兩齒輪之間定義接觸力。仿真計算之后能夠對各軸承中心位置所承受的載荷變化曲線進行提取，圖1為輸出軸負載端軸承位置水平方向受力頻譜圖。

齒輪箱為兩圓柱直齒齒輪單級傳動方式，輸入小齒輪和輸出大齒輪的齒數(shù)分別為55和75，結合上圖可知，軸承所承受的激勵力主要頻率成分為1 375 Hz及其倍頻，1 375 Hz為1 500 r/min轉速下齒輪箱的嚙合頻率。

圖1 輸出軸負載端軸承位置水平方向受力頻譜圖Fig.1 Frequency domain curve of the output shaft at the load end in the horizontal direction

本文利用ANSYS軟件的APDL參數(shù)化設計語言完成齒輪箱箱體的建模、加載、求解和后處理等工作。為了提高求解的效率和精度，研究中采用solid187單元對箱體進行網(wǎng)格劃分，總共劃分了95 771個單元，116 714個節(jié)點，箱體三維模型如下圖2所示。

圖2 齒輪箱箱體三維模型與有限元模型Fig.2 The model of gearbox housing

另外，軸承是較難處理的環(huán)節(jié)，為了適當簡化系統(tǒng)，在箱體4個軸承所在位置的中心建立mass21質(zhì)量單元，并將之與軸承座相應位置節(jié)點通過combin14彈簧阻尼單元進行連接來模擬軸承，并對mass21單元分配相應的質(zhì)量屬性。

采用建立的有限元模型進行模態(tài)仿真計算，與模態(tài)試驗結果進行對比，驗證有限元模型的可靠性。提取ADAMS計算得到的軸承中心位置的載荷譜，利用APDL編寫程序將其讀入 ANSYS中并加載至相應mass21單元位置。完成相關設置之后即可進行箱體穩(wěn)態(tài)振動響應求解。

2.2 齒輪箱模態(tài)貢獻量分析

根據(jù)模態(tài)貢獻量原理可知，結構振動時其主要貢獻模態(tài)與結構的振動響應頻率有關，從ADAMS和ANSYS穩(wěn)態(tài)振動響應求解結果可知，齒輪箱主要的振動響應頻率為1 375 Hz，另外，實際測試結果也表明，箱體各壁面的振動以法向為主，因此，本文選取箱體各壁面具有代表性典型節(jié)點，對模態(tài)貢獻量進行整理與分析。使用箱體模態(tài)疊加法對齒輪箱箱體進行諧響應計算，計算完成之后即可對各階模態(tài)貢獻量進行輸出。由于在ANSYS軟件中，軟件最后對模型所有節(jié)點的信息進行了輸出，軟件也沒有對該文件提供相應的后處理功能，因此，使用LabView軟件編制了提取程序，實現(xiàn)了對包含貢獻量數(shù)據(jù)的結果文件的提取。典型節(jié)點位置如圖3所示。由于篇幅所限，本文中只給出了1 375 Hz頻率成分振動響應模態(tài)貢獻量分析結果。

圖3 齒輪箱箱體典型節(jié)點位置Fig.3 The typical node position of the gearbox

圖4 頻率1 375 Hz下模態(tài)貢獻量Fig.4 The modal contribution coefficient at 1 375 Hz

從圖4可知，在1 375 Hz振動響應下三個節(jié)點位置均以第三階模態(tài)貢獻量最大，由于1 375 Hz頻率成分的振動響應幅度遠大于其余頻率成分，因此，可以判定齒輪箱在1 500 r/min轉速條件下，箱體振動響應主要貢獻模態(tài)為第三階，該階模態(tài)也是下文優(yōu)化設計的主要目標之一。

2.3 齒輪箱聲學面板貢獻量分析

采用LMS Virtual.Lab Acoustics聲學仿真計算軟件對齒輪箱進行聲學面板貢獻量分析，以確定聲學主要貢獻面板。首先，本文根據(jù)齒輪箱箱體本身的形狀特點進行了邊界元網(wǎng)格和面板區(qū)域的劃分，如圖5所示。

圖5 齒輪箱箱體邊界元網(wǎng)格和面板區(qū)域劃分Fig.5 Boundary element mesh and panel division of the gearbox housing

本文共劃分了如圖5所示的21個面板區(qū)域，并建立ISO3744－1994場點網(wǎng)格，最后插入ATV響應計算模塊，在此基礎上對聲學面板貢獻量進行分析。本文對面板聲功率貢獻量進行了求解，計算結果如圖6所示。

圖6 1 375 Hz面板聲功率級貢獻量Fig.6 Panel acoustic power level contributions at 1 375 Hz

從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)，5、6號非支撐面聲功率級最大，兩者的輻射聲功率級分別達到了70.32和72.05 dB，箱體總的輻射聲功率級為74.74 dB。

2.4 振速法齒輪箱箱體聲功率級求解

根據(jù)1.2中論述的振速法的相關原理與公式，在箱體穩(wěn)態(tài)振動響應求解的基礎上，使用APDL語言編寫相應的程序，求解箱體面板的輻射聲功率級?？紤]到求解的復雜性，為了盡量減少誤差的引入，同時也不失去計算的意義，本文對齒輪箱箱體非支撐面的輻射聲功率級進行求解。

主要利用式(9)對非支撐面的輻射聲功率級進行求解，需要注意的是式中參數(shù)σ稱之為輻射效率，該參數(shù)表征了結構輻射噪聲的能力，它除了與結構固有的結構性能有關之外，還與結構所承受的激勵力特性以及結構所在的聲環(huán)境有關。本文采用LMS Virtual.Lab Acoustics對齒輪箱箱體輻射指數(shù)進行求解。

圖7 齒輪箱非支撐面輻射效率Fig.7 The radiation efficiency of the gearbox unsupported surfaces

圖7為計算得到的齒輪箱非支撐面的輻射效率對數(shù)曲線，從圖中可以發(fā)現(xiàn)輻射效率σ隨著頻率的增加而增加，當達到第一個峰值之后，其幅值有所下降，接著又逐漸增加直到逐漸在1附近上下波動。隨著頻率的增加，聲波波長變短，振動模態(tài)不同相位部分聲輻射之間的相互影響越小，因此，頻率越高，聲輻射效率越高。一般認為，在臨界頻率以上輻射效率σ≈1。臨界頻率是指結構表面彎曲波波長和空氣中聲波波長相等時的振動頻率。對于圖7中曲線出現(xiàn)的一些異常波動，幅值甚至超過了1，主要是由于結構邊界元模型一些結構特征之間的相互影響造成的，可以忽略。

圖8 齒輪箱5號非支撐面輻射聲功率級對比Fig.8 The comparison of acoustic power level radiated from panel 5

由于ANSYS穩(wěn)態(tài)振動響應直接計算得到的為各節(jié)點的位移，所以，在0～6 000 Hz頻帶范圍內(nèi)，以125 Hz為頻率間隔，對兩非支撐面所有節(jié)點的位移值進行微分，總共計算48處頻率下的速度有效值，繼而求解非支撐面上的速度級均值，對計算得到的輻射效率曲線相應頻率下的值進行提取，引入非支撐面的輻射面積為0.033 52 m2完成相關參數(shù)設定。最終即可實現(xiàn)在有限元計算后處理中完成齒輪箱非支撐面輻射聲功率級的求解。

圖8為利用LMS軟件和有限元振速法計算得到的5號非支撐面輻射聲功率級的對比，由圖可知，頻率范圍在630 Hz至6 300 Hz內(nèi)，利用振速法和LMS軟件的聲功率結果趨勢相近，特別是在主要頻率為1 375 Hz，即以1 250 Hz為中心頻率的頻帶范圍內(nèi)，兩種計算方法的結果相差很小。兩者計算結果較為一致，驗證了有限元振速法的可靠性。

3 齒輪箱優(yōu)化設計

前文采用ANSYS軟件對齒輪箱箱體的穩(wěn)態(tài)振動響應進行了求解，在此基礎上結合振速法與輻射效率的求解，在有限元計算后處理中實現(xiàn)了箱體非支撐面輻射聲功率及的求解。從聲學面板貢獻量分析結果可知，箱體非支撐面的輻射聲功率及要遠大于其余面板，因此，其輻射噪聲數(shù)值能夠代表整個箱體的噪聲輻射水平。

整個優(yōu)化求解過程需使用APDL語言完成，包括:建模、網(wǎng)格劃分、模態(tài)計算、加載、振動響應求解、后處理(非支撐面聲功率級求解)、優(yōu)化設計變量、設置優(yōu)化參數(shù)，然后就可利用ANSYS軟件的優(yōu)化求解器進行循環(huán)優(yōu)化求解，最后得到優(yōu)化計算結果。

從模態(tài)貢獻量結果可知，第三階模態(tài)為箱體振動的主要貢獻模態(tài)。因此，本文齒輪箱箱體減振降噪優(yōu)化設計的目標函數(shù)有兩個，分別為非支撐面的輻射聲功率級降低和第三階模態(tài)的固有頻率的提高。

通過設定合理的變量區(qū)間，對計算結果能夠起到積極的影響。采用一階方法，迭代20次，優(yōu)化求解之后，得到了一組最優(yōu)的壁面厚度組合。利用該組壁厚尺寸對齒輪箱箱體重新進行建模、加載、有限元和聲學仿真計算，驗證降噪效果。此處僅列舉了5號非支撐面優(yōu)化前后輻射聲功率級三分之一倍頻程對比圖，如圖9所示。

圖9 5號非支撐面輻射聲功率級優(yōu)化前后對比Fig.9 The chart of the comparison of the radiated acoustic power level of the panel 5

從表1可知，兩非支撐面的輻射聲功率級降幅分別達到了3.84 dB和6.61 dB，與此同時，整個齒輪箱箱體輻射聲功率級也下降了5.32dB。這說明對齒輪箱箱體的主要噪聲源進行噪聲控制能夠同時對齒輪箱整體的輻射噪聲進行較好控制;采用本文的齒輪箱箱體的減振、降噪優(yōu)化設計方法能夠取得較好的優(yōu)化效果。

表1 優(yōu)化前后聲功率級對比Tab.1 The comparison of the acoustic power level before and after the optimization

4 結論

(1)對某齒輪箱箱體的結構模態(tài)貢獻量進行了分析，識別出第三階模態(tài)為主要貢獻模態(tài)。對齒輪箱箱體進行了聲學面板貢獻量分析，確定了其主要噪聲輻射源為兩非支撐面。

(2)結合振速法原理，在齒輪箱箱體有限元振動響應計算的基礎上，實現(xiàn)了其非支撐面輻射聲功率級的求解，該參數(shù)能夠較好的表征整個箱體的振動、噪聲情況。

(3)采用ANSYS軟件的優(yōu)化求解器，實現(xiàn)了齒輪箱箱體的減振、降噪優(yōu)化求解，得到了箱體最優(yōu)壁面厚度組合。本文的相關研究對齒輪箱的振動、噪聲控制提供了借鑒意義。

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