高康華，王明洋，宋春明

(解放軍理工大學 國防工程學院，南京 210007)

雙層圓形柱殼是常用的工程結構之一，如工業(yè)中含防護層的輸運管道、城市地鐵和水底隧道等。此類結構往往軸向長度較大，徑向材料差異、殼體厚度以及層間接觸方式等均會影響結構的振動特性，為此可通過研究結構中彈性波傳播特性分析其動力響應，重點主要在于波頻散關系的確定和波結構分析兩個方面，當前國內(nèi)外學者對多層介質中彈性波傳播作了大量研究，通常方法是根據(jù)邊界和層間接觸條件構建波頻散特征方程，數(shù)值求解后得到頻散曲線，進而確定各階模態(tài)相應的位移和應力的波結構。如Lowe［1］詳細介紹了構建頻散方程的傳遞矩陣法和全局矩陣法，并給出求解復雜頻散方程的數(shù)值解法;Ryden等［2－4］在此基礎上分別推導了多層板和多層柱殼中縱波傳播頻散方程，研究了三層道路結構和覆蓋粘彈性材料層的彈性中空柱殼結構中導波的傳播特性，但主要針對的是層間固結接觸條件［5］，即內(nèi)外殼體接觸面上應力位移均保持連續(xù)。對于層間光滑接觸［6］，即接觸面法向應力、位移連續(xù)，切向應力為零，Valle等［7］研究了該條件下中空柱殼內(nèi)部包裹實心圓桿結構的周向導波;張慧玲等［8］對層間光滑接觸時雙層復合筒結構中周向導波的傳播進行了理論和數(shù)值研究，二者均采用了二維線彈性平面應變理論，未考慮波的軸向傳播。對于層狀介質中較復雜的層間接觸，Rokhlin等［9］采用薄粘彈性層分隔兩個不同固體半無限空間的力學模型，分析了粘彈性接觸面層對波傳播特性的影響;張慧玲等［10］在該模型基礎上建立了層筒結構的層間界面模型，進而研究層間界面特性對周向導波的影響。此外，他得安等［11］對超聲縱向導波在復合管狀結構中傳播特性進行分析，侯秀慧等［12］研究了正交各向異性夾層圓柱殼中軸對稱自由簡諧波的傳播問題，得到各種夾層結構波傳播的頻散關系。

本文將在上述文獻基礎上，針對具有較薄彈性接觸層的雙層中空柱殼結構提出確定頻散關系的簡化方法，并分析接觸層特性對軸對稱縱向導波頻散關系及殼體內(nèi)應力和位移的影響，為此類結構動力響應分析提供理論參考。

圖1 具有薄彈性接觸層的雙層柱殼模型簡圖Fig.1 Calculation diagram of double layered cylinder with a thin elastic contact layer

1 基本理論

圖1給出了具有較薄彈性接觸層的雙層中空柱殼結構模型，材料均視為各向同性彈性介質，此類結構實際上是層間固結接觸的三層柱殼，但當接觸層厚度h0遠遠小于波長λ0時，可忽略接觸層介質慣性運動，引入彈性層接觸界面條件簡化頻散方程。圖中a為柱殼內(nèi)半徑，d為外半徑，b為中心距外殼內(nèi)壁距離，h0、h1、h2分別為接觸層、內(nèi)殼和外殼的厚度。

忽略體力，柱坐標系(r，θ，x)下 Navier運動方程為:

式中:u 為關于 ur，uθ，ux的柱殼位移矢量，ur，uθ，ux為r，θ，x方向上的位移;ρ為材料密度;λ，μ為拉梅常數(shù);t為時間變量;?和?2分別為那勃勒算子和拉普拉斯算子。

利用Helmholtz定理有:式中:φ 為位移場標量勢函數(shù)，ψ 為關于 ψr，ψθ，ψx的位移場矢量勢函數(shù)，ψr，ψθ，ψx為 r，θ，x 方向上分量。

為方便計算，引入標量勢函數(shù)χ，Φ，使得:

將式(2)、(3)代人式(1)可得:

式中:cp=，分別為膨脹波速和等容波速。

軸對稱條件下 uθ≡0，?/?θ≡0，殼體位移及應力可視為僅關于勢函數(shù)φ、Φ的函數(shù)，有:

式中:σrr為徑向應力，σrx為軸向應力。

軸對稱條件下，式(4)前兩項可化為:

假設縱波沿x正向傳播，方程組(6)解設為:

式中:k為波數(shù)，角頻率ω=kcf，cf為相速度，i表示虛部單位。

將式(7)代入式(6)可得到 φ0(k，r)、Φ0(k，r)的關于貝塞耳函數(shù)表達式，具體可按文獻［13］選取，在此主要考慮第一模態(tài)中cf＜min(cs，cp)的情況，故選用虛宗量貝塞爾函數(shù)，并對相關參數(shù)無量綱化，令Mp=cf/cp，

式中:A，B，C，D 為系數(shù);I0，K0為零階第一類和第二類虛宗量貝塞爾函數(shù)。

將式(8)代入式(5)可得柱殼關于無量綱量r—，的位移、應力表達式如下:

式中:I1，K1為一階第一類和第二類虛宗量貝塞爾函數(shù)。

雙層圓形柱殼各內(nèi)外層殼體位移、應力均可用式(9)確定。為方便研究，令0=h0/λ0，xs=h1/h2，xs1=h0/h2，γ1= μ0/μ21=h1/d2=h2/d=cs/cp，則 ε1=1－(1+xs+xs1)2，ε2=1 －2。計算時各層無量綱波速有以下關系:

式中:γ = μ2/μ1，ρ*;下標1、2表示柱殼內(nèi)、外層。

系數(shù) Ai，Bi，Ci，Di(i=1，2)可根據(jù)層間接觸條件及邊界條件確定。對具有彈性接觸層的雙層柱殼，在內(nèi)外自由邊界條件下有:

式(11c)即為忽略接觸層慣性運動后引入的彈性層接觸界面條件，其中 Kn=E0/h0，Kτ= μ0/h0，E0、μ0為夾層的彈性模量和剪切模量，Kn、Kτ為夾層單位層厚的法向和切向剛度。當Kn→∞和Kτ→∞時，式(11c)即轉化為固結連接邊界條件［10］:

將式(9)代入式(11)中可得到雙層柱殼關于參數(shù)Ai，Bi，Ci，Di(i=1，2)的線性齊次方程組，寫成矩陣形式如下:

式中:X=［A1，B1，C1，D1，A2，B2，C2，D2］，A 為系數(shù)矩陣，其中的元素aij(i=1…8;j=1…8)見附錄。

式(12)有非零解的條件是矩陣A行列式等于0，即:

式(13)即為軸對稱縱波在具有較薄彈性接觸層的雙層柱殼中傳播的頻散方程，可將其視為關于無量綱波數(shù)η和相速度Ms1的超越方程，此類方程求解方法很多［1，13－14］，常用方法是先固定未知參數(shù) η 或 Ms1的值，再在確定的范圍內(nèi)按一定步長對Ms1或η進行逐步搜根，從而得到方程的數(shù)值解，并繪制出相應的頻散曲線。由于此處不涉及到波的衰減和泄漏，可采用二分法求解這一實頻散方程，即滿足計算穩(wěn)定性又可避免方程根的遺漏［1］。根據(jù)得到的頻散曲線，可將給定波數(shù) η 相應的(η，Ms1)代入式(12)，求得系數(shù) Ai，Bi，Ci，Di(i=1，2)，并根據(jù)式(9)計算殼體內(nèi)位移和應力。

2 算例分析

文獻［13］給出了單層鎳鉻鐵合金管的軸對稱縱向導波相速度頻散曲線，計算參數(shù)為:a=8.23 mm，d=9.45 mm，壁厚 d'=1.22 mm，ρ=8.4 g/cm3，cp=6.29 km/s，cs=3.23 km/s。用本文方法計算時可認為內(nèi)外層殼體和接觸層材料一致，計算參數(shù)取為:ρ1=ρ2=8.4 g/cm3，h1=0.8 mm，h2=0.32 mm，h0=0.1 mm，cp1=cp2=6.29 km/s，cs1=cs2=3.23 km/s。圖 2 為本文方法計算結果與文獻中曲線的對比圖，圖中f為頻率。

圖2 單層鎳鉻鐵合金管的相速度頻散曲線Fig 2 Phase velocity dispersion curves of a single layer nickel-chromium alloy pipe

圖2中顯示本文方法的計算結果與文獻［13］中計算曲線較為吻合，表明h0?λ0時本文方法的正確性。應當注意的是，彈性波是擾動借助連續(xù)介質中各質點慣性運動形成的附加彈性力而逐漸傳播的過程，本文忽略接觸層介質慣性運動而引入彈性層界面接觸條件，實際上是忽略了接觸層介質的動力響應，這在h0?λ0時是能夠滿足工程需要的，但在h0增大或波長減小時，會給計算結果帶來一定偏差，下面通過算例進行分析。

選取內(nèi)外層殼體材料為鈦，接觸層為銅的雙層柱殼，計算參數(shù):接觸層泊松比 ν0=0.333，γ1=0.874，γ=1，ρ*=1，ρ1= ρ2=4.46 g/cm3，cp1=cp2=6.06 km/s，cs1=cs2=3.23 km/s。用式(9)～式(13)計算縱向 L(0，1)模態(tài)相速度頻散曲線，并將得到的結果與DISPERSE軟件［13］計算生成的頻散曲線進行對比，如圖3所示。

圖3 雙層柱殼縱向L(0，1)模態(tài)相速度頻散曲線Fig 3 Phase velocity dispersion curves of double layered cylinder for longitudinal L(0，1)mode

圖3給出了接觸層厚度不同時縱向L(0，1)模態(tài)相速度頻散曲線，其中運用DISPERSE軟件計算時，考慮了夾層的慣性運動，將結構視為鈦—銅—鈦三層彈性中空柱殼結構。圖中曲線表明，當波數(shù)較大時，波長較短，用本文方法的計算結果與DISPERSE生成的頻散曲線有偏差，接觸層厚度越小，偏差越小;隨著波數(shù)的減小，波長增大，兩種計算曲線逐漸一致，說明此時忽略接觸層慣性運動對頻散曲線影響不大。表1列出了不同層厚情況下，兩種方法計算得到的相速度相對差值Δcf在較小范圍內(nèi)的h0臨界值，計算參數(shù)如前所示。

表1 Δcf在較小范圍時h0的臨界值Tab.1 The maximum value of h0under the smaller range of Δcf

表1中 Δcf= cf1－cf2/cf2，其中 cf1和 cf2分別為在給定波數(shù)時用本文方法和DISPERSE軟件計算得到相速度值，0l為給定差值范圍時0的最大值。表1顯示此例中Δcf較小時，h0至少要比波長λ0小兩個量級，且相對差值越小，0l也越小，從而驗證了本文方法在h0?λ0時的合理性。

下面通過算例說明接觸層特性對雙層柱殼結構內(nèi)縱波傳播的影響，主要考慮縱波L(0，1)模態(tài)。初始條件為:ν0=0.28，x3=10，xs1=0.1，2=0.004，γ1=0.001，γ =100，ρ*=100，1=2=0.553，ε1=0.9556，ε2=0.995 8。圖4給出了彈性層接觸和固結接觸兩種界面條件下雙層柱殼縱向L(0，1)模態(tài)頻散曲線，固結接觸時不考慮夾層，按接觸界面應力、位移連續(xù)采用全局矩陣法［1－4］計算。

圖4 彈性層接觸與固結接觸時L(0，1)模態(tài)頻散曲線對比Fig 4 Comparisons of L(0，1)mode disperse curves between results calculated under elastic contact layer interface condition and continuous contact interface condition

圖4中當η≤15時兩種接觸界面情況下的頻散曲線較為一致，表明波數(shù)較小時彈性接觸層對頻散關系影響不大;隨著波數(shù)的增大，η＞15時，兩種界面條件下的頻散曲線逐漸產(chǎn)生差異，且夾層厚度越大差異越大，說明對于短波長而言接觸層特性影響不可忽略。此外，圖4還表明相同條件下泊松比對縱波L(0，1)模態(tài)的頻散關系影響不大。

圖5給出了波長較短的η=40時具有彈性層接觸的雙層柱殼內(nèi)應力、位移分布，并與層間固結接觸進行了對比。圖中無量綱量，其中上標“0”表示根據(jù)初始條件計算所得參數(shù)值，下標“max”表示相應參數(shù)的最大值。

圖5 殼體內(nèi)應力和位移分布Fig 5.Distribution of stress and displacement along cylinder shell thickness

圖5顯示雙層柱殼含有彈性層接觸界面時，徑向應力σrr由內(nèi)殼內(nèi)壁沿徑向增大至接觸面處達到峰值，而后逐漸減小，軸向應力σrx在接觸面處增長速率增大，峰值位于外層殼體，徑向位移ur在內(nèi)層殼體中隨著半徑增大而增大，但在外層殼體中變化不大。此外，與層間固結接觸相比，接觸層的彈性特性使得位移ur、ux在接觸面處產(chǎn)生突變，隨著γ1的增大或xs1的減小，內(nèi)外層殼體在接觸面處的位移差異逐漸減小，相應的應力、位移幅值也逐漸減小，表明夾層剛度Kn、Kτ的增大使得殼體內(nèi)應力位移減小。此外，文獻［10］指出當 Kn→∞和Kτ→∞時，彈性層接觸條件即轉化為固結連接邊界條件，在本例中相同厚度條件下γ1增大至0.005時，兩種接觸條件求得的應力、位移值較好的趨于一致(圖中曲線3和曲線5)也表明了這一點。

3 結論

本文研究了軸對稱縱向導波在具有較薄接觸層的雙層中空柱殼中傳播頻散特性，并通過算例分析了接觸層參數(shù)對縱向L(0，1)模態(tài)下殼體內(nèi)應力、位移分布的影響。結論如下:

(2)與層間固結接觸條件相比，彈性接觸層特性對縱波頻散關系及殼體內(nèi)應力位移的影響在波數(shù)η較大時較為顯著，殼體內(nèi)應力位移隨著接觸層厚度的減小和單位剛度Kn、Kτ的增大而減小，而受接觸層泊松比影響較小。

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附錄:系數(shù)矩陣A中元素aij取值如下: