劉素娟，齊書浩，張文明

(上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200204)

微懸臂梁是MEMS器件中最典型的結(jié)構(gòu)之一，最早應(yīng)用于原子力顯微鏡中，被用來進(jìn)行微小力的檢測(cè)和微觀表面成像等功能［1－2］。隨著 MEMS技術(shù)的發(fā)展，微懸臂梁作為一種新型檢測(cè)元件和傳感元件得到了越來越廣泛的應(yīng)用。

在微尺度下，靜電力存在著諸如吸合效應(yīng)、固有非線性及剛度軟化等非線性特性。許多學(xué)者在這些方面做了大量的研究。Sayanu等［3］基于集總模型推出兩端固支梁和懸臂梁的吸合電壓的表達(dá)式，利用等效剛度，研究了靜電激勵(lì)兩端固支梁和懸臂梁的吸合電壓。Slava等［4］充分考慮非線性靜電力、壓膜阻尼以及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，研究了靜電激勵(lì)微梁的吸合動(dòng)力學(xué)。Fadi等［5］研究了靜電驅(qū)動(dòng)共振傳感器的非線性共振和吸合效應(yīng)，從理論和實(shí)驗(yàn)角度分析了主共振、超諧波共振次諧波共振和吸合現(xiàn)象。Zhang等［6］研究了參數(shù)激勵(lì)下共振質(zhì)量傳感器的非線性動(dòng)力學(xué)特性，包括立方剛度和靜電剛度對(duì)諧振器動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響，研究發(fā)現(xiàn)，機(jī)電耦合產(chǎn)生的非線性因素對(duì)傳感器的穩(wěn)定性有一定的影響。正確預(yù)測(cè)擠壓膜阻尼對(duì)于MEMS器件設(shè)計(jì)是至關(guān)重要的，李普等［7］從彈性微梁振動(dòng)方程和雷諾方程的耦合關(guān)系出發(fā)，提出了新的彈性懸臂梁擠壓模阻尼解析模型，結(jié)果表明，相對(duì)其它模型，該模型的計(jì)算精度有較明顯的提高。

無論是理論研究還是工程應(yīng)用，固體結(jié)構(gòu)中的裂紋仍然是一個(gè)基本問題。裂紋會(huì)出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)元件中，由材料內(nèi)部初始缺陷或在其使用壽命期間由疲勞引起，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特征的改變。很多學(xué)者在這方面進(jìn)行了研究，并根據(jù)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的改變提出了損傷檢測(cè)的方法［8－9］。Fernandez-Saez 等［8］采用彈性旋轉(zhuǎn)彈簧模擬裂紋的作用，提出了使用影響函數(shù)法來計(jì)算裂紋Euler-Bernoulli梁的特征值問題的方法，并通過該方法得出裂紋Euler-Bernoulli梁彎曲振動(dòng)的固有頻率近似解。Andreaus等［10］分析了諧波激勵(lì)下裂紋懸臂梁非線性響應(yīng)的特有特性，結(jié)果表明，在次諧波和超諧波激勵(lì)下，由于裂紋的存在，系統(tǒng)表現(xiàn)出的周期倍增和準(zhǔn)脈沖行為特性，這些特性可用于結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別。劉文光等［11］采用復(fù)數(shù)阻尼理論，研究了裂紋位于懸臂梁根部并受橫向載荷時(shí)梁的結(jié)構(gòu)振動(dòng)，使振動(dòng)分析與疲勞裂紋擴(kuò)展壽命估算同步進(jìn)行，提出了一種含裂紋結(jié)構(gòu)的振動(dòng)疲勞分析思路。Loutridis等［12］采用瞬時(shí)頻率研究了諧波激勵(lì)下裂紋懸臂梁的振動(dòng)特性，提出了梁結(jié)構(gòu)中裂紋識(shí)別的一種新方法。

目前，在靜電驅(qū)動(dòng)裂紋微器件的振動(dòng)特性分析方面的研究較少［13－15］。Loya 等［13］基于非局部彈性理論建立了裂紋Euler-Bernoulli微納米梁模型，研究了裂紋位置、開裂程度及非局部效應(yīng)對(duì)簡(jiǎn)支和兩端固定裂紋微納米梁的彎曲振動(dòng)的影響。Ke等［14］基于Timoshenko梁理論研究了裂紋深度、裂紋位置、裂紋個(gè)數(shù)、材料特性、梁的細(xì)長比及邊界支撐條件對(duì)功能梯度材料含常開邊裂紋微梁的彎曲振動(dòng)和彈性屈曲的影響。Hasheminejad 等［15］基于 Euler-Bernoulli梁理論，采用轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧模型研究了受表面效應(yīng)影響的裂紋納米梁的自由振動(dòng)。以上研究主要集中在裂紋微納米梁的自由振動(dòng)，而作為MEMS器件主要驅(qū)動(dòng)方式之一的靜電驅(qū)動(dòng)在微尺度下具有豐富的非線性特性，因此對(duì)靜電驅(qū)動(dòng)裂紋微器件的振動(dòng)特性進(jìn)行分析具有重要的意義。

本文基于Euler-Bernoulli梁模型，采用無質(zhì)量彈性轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧模型模擬裂紋，考慮壓膜阻尼的影響，對(duì)靜電驅(qū)動(dòng)裂紋微懸臂梁系統(tǒng)建立動(dòng)力學(xué)模型，研究裂紋開裂程度、裂紋位置、激勵(lì)電壓、電極間隙以及壓膜阻尼對(duì)微懸臂梁固有頻率和振動(dòng)特性的影響，以及裂紋對(duì)吸合電壓的影響。

圖1 裂紋微懸臂梁及模型Fig.1 A cracked micro-cantilever beam［16］ and model

1 裂紋微梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模與分析

1.1 耦合動(dòng)力學(xué)模型

采用Euler-Bernoulli梁模型，靜電驅(qū)動(dòng)梁的振動(dòng)控制方程為:

式中:E為梁的彈性模量，I=bh3/12為截面慣性矩，b和h分別是梁的寬度和厚度，ρ和A分別是材料密度和截面面積;是靜電力產(chǎn)生的單位長度載荷［19］，Vp為直流偏置電壓，Vac為交流驅(qū)動(dòng)電壓幅值，ωe為驅(qū)動(dòng)電壓頻率，ε0=8.85 ×10－12C2·N－1·m－2為真空介電常數(shù)，εr為相對(duì)介電常數(shù)，d0為初始時(shí)刻微梁與固定電極之間的距離?？紤]普通矩形板壓膜阻尼［19］，其中μ =1.86 ×10－5N·S/m2為動(dòng)力粘度

引入無量綱變量

由此，可得微梁動(dòng)力學(xué)方程的無量綱形式為:

式中:α = ε0εrbL4/2dEI=6ε0εrL4/Eh3d，

0兩部分組成，即:

將式(4)代入式(3)右端項(xiàng)，按級(jí)數(shù)展開，并略去Δv—和Vac的高階項(xiàng)得到微梁振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為:

1.2 裂紋微梁自由振動(dòng)分析

自由振動(dòng)分析是討論微梁僅在直流偏置電壓Vp作用下的振動(dòng)，微梁的靜態(tài)變形方程和動(dòng)態(tài)振動(dòng)方程分別為:

圖1(a)為裂紋微懸臂梁實(shí)例，圖1(b)為裂紋微梁模型，裂紋位于梁一端L1處，相對(duì)無量綱變量為lc=L1/L。模型中采用無質(zhì)量轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧模型模擬裂紋，該模型會(huì)引起位移一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，且不連續(xù)度與位移二階導(dǎo)數(shù)成比例。自由彎曲振動(dòng)情況下，相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧的轉(zhuǎn)角，縱向位移可忽略，因此，x=L1處轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧轉(zhuǎn)角的無量綱形式為［13］:

式中:kMM為彈性常數(shù)，表示裂紋開裂程度。

于是，裂紋梁的模態(tài)振動(dòng)方程為:

相應(yīng)方程的通解為:

式中:λ4=(B3+);C1，C2，C3，C4，C5，C6，C7，C8為待定常數(shù)，由裂紋梁邊界條件及相容條件確定，即:

將式(15)代入方程(14)可導(dǎo)出一個(gè)線性系統(tǒng)方程組，它的行列式即系統(tǒng)特征方程，最終可確定系統(tǒng)的固有頻率。

1.3 裂紋微梁受迫振動(dòng)分析

由微梁的振動(dòng)方程(5)可知，微梁的受迫振動(dòng)微分方程為:

采用與自由振動(dòng)分析相同的方法，得到微梁的振型方程與自由振動(dòng)時(shí)相同，動(dòng)態(tài)響應(yīng)方程為:

式中，B1、B2的表達(dá)式與式(9)中相同，B4=

1.4 靜電吸合效應(yīng)

吸合電壓可以表示為梁與固定電極之間間隙d0、梁的厚h和長度L的函數(shù)［17］，將轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I=bh3/12代入函數(shù)，可得吸合電壓與梁剛度EI、間隙d0、梁的寬度b和長度L的關(guān)系為:

式中:ε為介電常數(shù)。

由此，可得裂紋梁的吸合電壓為:

式中:EIc是裂紋梁的抗彎剛度;對(duì)于懸臂梁，常數(shù)c=0.28［17］。

對(duì)于裂紋位于L1，深度為a的梁，在任意x處梁的剛度為［18］:

式中:C=(I－Ic)/Ic，Ic=b(h－a)3/12。Christides等［18］通過實(shí)驗(yàn)得到常數(shù)α的值為0.667。

結(jié)合式(18)，(19)，(20)可得，正則化吸合電壓為:

2 數(shù)值仿真及結(jié)果分析

本文中梁的材料為硅，梁的尺寸和材料參數(shù)如下:L=200 μm，h=4.5 μm，b=80 μm，E=190 GPa，ρ=2 500 kg/m3。定義梁的正則化固有頻率為ωc/ωn，其中ωc和ωn分別為裂紋梁和非裂紋梁的固有頻率。

2.1 自由振動(dòng)分析

裂紋開裂程度和無量綱裂紋位置對(duì)梁在x－y方向上的前兩階正則化固有頻率的影響如圖2和圖3所示，圖中 ωc1/ωn1和 ωc2/ωn2分別為一階、二階正則化固有頻率。

圖 2 反映了裂紋位置 lc=0.25，0.5，0.75 時(shí)，梁的前兩階正則化固有頻率隨開裂程度的變化。由圖2(a)可知，當(dāng) lc=0.25時(shí)，ωc1/ωn1隨 K 的增加下降最為劇烈。由圖2(b)可知，當(dāng) lc=0.5 時(shí)，ωc2/ωn2下降最為劇烈;而當(dāng)lc=0.25時(shí)，二階頻率變化最小。

圖 3 反映了裂紋開裂程度 K=0.5，1.0，1.5 時(shí)，梁的前兩階正則化固有頻率隨裂紋位置的變化。由圖3(a)可知，K越大，裂紋越靠近懸臂梁根部，一階固有頻率越小。由圖3(b)可知，當(dāng)裂紋越靠近lc=0.22時(shí)，固有頻率變化越小，開裂程度對(duì)固有頻率的影響也越小;當(dāng)裂紋越靠近lc=0.55時(shí)，固有頻率變化越大，開裂程度對(duì)固有頻率的影響也越大，lc=0.22和lc=0.55分別是第二節(jié)模態(tài)的節(jié)點(diǎn)和反節(jié)點(diǎn)。

由圖2～圖3知，裂紋位置和開裂程度對(duì)梁的固有頻率都有很大的影響。對(duì)于一階模態(tài)，隨著K增加以及l(fā)c的減小，固有頻率逐漸減小。對(duì)于高階模態(tài)，開裂程度對(duì)梁固有頻率的影響與裂紋位置離相應(yīng)模態(tài)節(jié)點(diǎn)和反節(jié)點(diǎn)的遠(yuǎn)近程度有較大的關(guān)系。特別是，當(dāng)裂紋位于模態(tài)節(jié)點(diǎn)時(shí)，固有頻率不隨開裂程度的變化而變化;當(dāng)裂紋位于模態(tài)反節(jié)點(diǎn)時(shí)，固有頻率對(duì)開裂程度最敏感，受開裂程度的影響最大。而Hasheminejad等［15］的研究中也有相似的結(jié)論，即當(dāng)裂紋位于相應(yīng)模態(tài)的振動(dòng)節(jié)點(diǎn)時(shí)，開裂程度對(duì)系統(tǒng)自然頻率沒有影響。

圖2 正則化固有頻率隨裂紋開裂程度變化圖(d0=3 μm，Vp=60 N)Fig.2 Normalized natural frequencies as a function of crack severity for selected crack positions(d0=3 μm，Vp=60 N)

圖3 正則化固有頻率隨裂紋位置變化圖(d0=3 μm，Vp=60 N)Fig.3 Normalized natural frequencies as a function of crack position for selected crack severities(d0=3 μm，Vp=60 N)

圖4 不同參數(shù)下正則化固有頻率隨裂紋位置變化圖(K=0.5)Fig.4 Normalized natural frequencies as a function of crack position for selected initial gaps and crack severity(K=0.5)

圖4為當(dāng)K=0.5時(shí)，不同參數(shù)情況下正則化固有頻率隨裂紋位置變化圖。由圖4(a)可知，固有頻率隨懸臂梁與固定電極之間的間隙減小而減小，特別地，當(dāng)d0=2 μm時(shí)，固有頻率明顯減小。由圖4(b)可知，隨著加載電壓的增加，固有頻率也將逐漸減小。

2.2 受迫振動(dòng)分析

圖5為在裂紋位于不同位置時(shí)，微梁受迫振動(dòng)幅值隨直流偏置電壓和交流電壓變化的響應(yīng)曲線。從圖中可以看出，當(dāng)激勵(lì)電壓頻率與結(jié)構(gòu)固有頻率之比ωe/ω0→1時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)幅值達(dá)到最大，即出現(xiàn)共振現(xiàn)象;隨著直流偏置電壓和交流電壓幅值的增大，系統(tǒng)的振幅也隨之增大;在相同電壓情況下，裂紋越靠近懸臂梁根部，系統(tǒng)的振幅越大。

圖6(a)和(b)分別為在裂紋位于lc=0.2和lc=0.5時(shí)，無壓膜阻尼與不同壓膜阻尼時(shí)裂紋微梁振動(dòng)幅值之比。從圖中可以看出，壓膜阻尼對(duì)系統(tǒng)振幅有著較大的影響。無壓膜阻尼時(shí)裂紋微梁振動(dòng)幅值較大;隨著氣體動(dòng)力粘度的逐漸增大，系統(tǒng)所受的壓膜阻尼力也逐漸增大，系統(tǒng)振幅逐漸減小，幅值比逐漸增大。從圖中還可以看出，在氣體動(dòng)力粘度相同的情況下，裂紋越靠近懸臂梁根部，系統(tǒng)的振幅越大。

圖7為裂紋位于lc=0.5，不同裂紋深度時(shí)，正則化吸合電壓隨位置的變化曲線。由圖可見，裂紋越深吸合電壓越小。

圖5 不同電壓下裂紋微梁的幅頻特性曲線(K=0.5)Fig.5 Frequency response curves of cracked microbeam for different voltages and selected crack positions(K=0.5)

圖6 壓膜阻尼對(duì)裂紋微梁幅值的影響(K=0.5，Vp=60 V，Vt=6V)Fig.6 The effects of squeeze film damping on amplitude of cracked microbeam(K=0.5，Vp=60 V，Vt=6V)

圖7 正則化裂紋梁吸合電壓的變化(裂紋位置 lc=0.5)Fig.7 Variation of normalized pull-in voltage(lc=0.5)

3 結(jié)論

以靜電驅(qū)動(dòng)裂紋微懸臂梁為研究對(duì)象，采用無質(zhì)量轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧模型模擬裂紋，考慮壓膜阻尼效應(yīng)，建立了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)系統(tǒng)的自由振動(dòng)、受迫振動(dòng)以及吸合電壓進(jìn)行了研究。得到以下幾點(diǎn)結(jié)論:

(1)一階模態(tài)時(shí)，開裂程度越大，裂紋越靠近懸臂梁根部，固有頻率越小。高階模態(tài)時(shí)，開裂程度對(duì)梁固有頻率的影響與裂紋位置離相應(yīng)模態(tài)節(jié)點(diǎn)和反節(jié)點(diǎn)的遠(yuǎn)近程度有較大的關(guān)系。特別是，當(dāng)裂紋位于模態(tài)節(jié)點(diǎn)時(shí)，開裂程度對(duì)固有頻率沒有影響;而當(dāng)裂紋位于模態(tài)反節(jié)點(diǎn)時(shí)，固有頻率受開裂程度的影響最大。隨加載電壓的增加以及電極間隙減小，固有頻率逐漸減小。

(2)隨著直流偏置電壓和交流電壓幅值的增大以及氣體動(dòng)力粘度的減小，系統(tǒng)的振幅隨之增大。在相同情況下，裂紋越靠近懸臂梁根部，系統(tǒng)的振幅越大。

(3)對(duì)靜電驅(qū)動(dòng)裂紋微懸臂梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性進(jìn)行分析，有助于微器件的設(shè)計(jì)、性能改進(jìn)及健康檢測(cè)。

［1］Bing G，Quate C F，Gerber C.Atomic force microscope［J］.Physic Review Letter，1986，56:930 －934.

［2］AlbrechtT R， Akamine S， Carver T E， etal.Microfabrication of cantilever styli for atomic force microscope［J］.Journal of Vacuum Science and Technology，1990，8(4):3386－3389.

［3］Sayanu P，Robert P，Kris B，et al.Pull-in voltage analysis of electrostatically actuated beam structures with fixed fixed and fixed free end conditions［J］.Journal of Micromechanics and Microengineering，2002，12(4):458－464.

［4］Slava K，Ronen M.Pull-in dynamics of an elastic beam actuated by continuously distributed electrostatic force［J］.Journal of Vibration and Acoustics，2004，126:332 －342.

［5］Fadi M A，Mohammad I Y，Hassen M Q.On the nonlinear resonances and dynamic pull-in of electrostatically actuated resonators［J］. Journal of Micromechanics and Microengineering，2009，19:1－14.

［6］Zhang W H，Baskaran R，Turner K L.Effect of cubic nonlinearity on auto-parametrically amplified resonant MEMS mass sensor［J］.Sensors and Actuators A:Physical，2002，102(1－2):139－50.

［7］李 普，胡如夫，尹 垚.彈性懸臂微梁諧振系統(tǒng)擠壓模阻尼新解析模型［J］.振動(dòng)與沖擊，2008，27(3):5－14.LI Pu，HU Ru-fu，YIN Yao.A new analytical model of squeeze film damping for resonance system of flexible microcantilever beam［J］.Journal of Vibration and Shock，2008，27(3):5－14.

［8］Fernandez-Saez J，Navarro C.Fundamental frequency of cracked beams in bending vibrations:an analytical approach［J］.Journal of Sound and Vibration，2002，256(1):17－31.

［9］Zhong S C，Oyadiji S O.Analytical predictions of natural frequencies ofcracked simplysupported beamswith a stationary roving mass［J］.Journal of Sound and Vibration，2008，311:328－352.

［10］Andreaus U，Casini P，Vestroni F.Non-linear dynamics of a cracked cantilever beam under harmonic excitation［J］.International Journal of Non-Linear Mechanics，2007，42(3):566－575.

［11］劉文光，陳國平.含裂紋懸臂梁的振動(dòng)與疲勞耦合分析［J］.振動(dòng)與沖擊，2011，30(5):140－144.LIU Wen-guang，CHEN Guo-ping. Coupling analysis for vibration and fatigue of a cracked cantilever beam［J］.Journal of Vibration and Shock，2011，30(5):140－144.

［12］Loutridis S，Douka E，Hadjileontiadis L J.Forced vibration behaviour and crack detection ofcracked beamsusing instantaneous frequency［J］.NDT＆E International，2005，38(5):411－419.

［13］Loya J，Lopez-Puente J，Zaera R，et al.Free transverse vibrations of cracked nanobeams using a nonlocal elasticity mode［J］.Journal of Applied Physics，2009，105:044309 －1－044309－9.

［14］Ke L L，Yang J，Kitipornchai S，et al.Flexural vibration and elastic buckling of a cracked timoshenko beam made of functionally graded materials［J］.Mechanics of Advanced Materials and Structures，2009，16(6):488－502.

［15］Hasheminejad S M，Gheshlaghi B，Mirzaei Y，et al.Free transverse vibrations of cracked nanobeams with surface effects［J］.Thin Solid Films，2011，519:2477 －2482.

［16］Armstrong D E J，Haseeb A S M A，Roberts S G，et al.Nanoindentation and micro-mechanical fracture toughness of electrodeposited nanocrystalline Ni W alloy films［J］.Thin Solid Films，2012，520:4369 －4372.

［17］Osterberg P M， Gupta R K， Gilbert J R， et al. A quantitative model for the measurement of residual stress using electrostatic pull-in of beams Proc［R］.Solid-State Sensor and Actuator Workshop，1994:184－188.

［18］Christides S，Barr A D S.One-dimensional theory of cracked Bernoulli-Euler beams［J］.Journal of Mechanical Sciences，1984，26(11－12):639－648.

［19］孟 光，張文明.微機(jī)電系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)［M］.北京:科學(xué)出版社，2008.