邱 華，姚正安

(1.華南農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系，廣東廣州510642;

2.中山大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東廣州 510275)

在本文，我們考慮如下三維廣義Boussinesq方程的柯西問題:

其中u=(u1，u2，u3)表示流體速度，P為壓力，θ為溫度，μ為黏性系數(shù)，κ為熱擴(kuò)散系數(shù)，e3=(1，0，0)T，u=(u1，u2，u3)，u0與θ0分別為在t=0給定的流體初始速度與初始溫度，且滿足▽·u0=0。

Boussinesq方程不僅在大氣科學(xué)中有著重要應(yīng)用［1］，而且在地球物理科學(xué)中亦有著廣泛應(yīng)用［2］。廣義Boussinesq方程是將通常的Boussinesq方程中的拉普拉斯算子－Δ用分?jǐn)?shù)次拉普拉斯算子(－Δ)α替換得到，這種研究分?jǐn)?shù)次方程的方法可參見Wu等［3］對廣義MHD方程的研究。若α=β=1，廣義Boussinesq方程 (1)即為通常的 Boussinesq方程。在二維情形，Cannon與 DiBenedetto［4］得到了在α=β=1和μ，κ＞0關(guān)于整體時間的正則性解;然而，當(dāng)μ=κ=0時，該方程解的正則性問題仍然是數(shù)學(xué)流體力學(xué)中的公開問題［5－6］。最近，眾多學(xué)者考慮了當(dāng)α=β=1無黏性或者無擴(kuò)散情形下的解的整體正則性問題，相關(guān)文獻(xiàn)可參見文獻(xiàn) ［7－9］。另外，對于通常的三維 Boussinesq方程，Ishimura和Morimoto［10］給出了如下光滑解的正則性準(zhǔn)則

最近，邱華，杜毅與姚正安［11］得到了三維 Boussinesq方程的 Serrin類正則性準(zhǔn)則。而對于廣義Boussinesq方程的柯西問題，許孝精得到了二維廣義Boussinesq方程在1≤α+β≤2條件下解的存在唯一性，并給出了正則性準(zhǔn)則。

本文，我們考慮三維廣義Boussinesq方程的正則性問題，給出了該類方程的兩個正則性準(zhǔn)則。本文的第一個主要結(jié)論是三維廣義Boussinesq方程在Sobolev空間意義下的正則性準(zhǔn)則，結(jié)果如下:

則解(u，θ)在時刻t=T處仍然是光滑的，其中

進(jìn)一步地，我們給出了在Morrey空間意義下三維廣義Boussinesq方程的正則性準(zhǔn)則，結(jié)果陳述如下:

定理2 假設(shè)0＜α=β≤1，流體的初始速度與溫度(u0，θ0)∈H1(R3)，且(u，θ)為問題 (1)在0≤t＜T時的光滑解。若

則解(u，θ)在時刻t=T處仍然是光滑的，其中

注1 當(dāng)α=1時，定理1的條件變?yōu)?/p>

這包含了Ishimura與 Morimoto［10］的結(jié)果 (2)。

進(jìn)一步地，根據(jù)Biot-Savart定律與Lp(R3)間上Riesz變換的有界性 (這里1＜p＜+∞ )(參見文獻(xiàn) ［13］)，我們有

于是，我們可得如下推論:

則解(u，θ)在時刻t=T處仍然是光滑的，其中

推論2 假設(shè)0＜α=β≤1，流體的初始速度與溫度 (u0，θ0)∈H1(R3)，ω0=curlu0∈L2(R3)，且(u，θ)為問題 (1)在0≤t＜T時的光滑解。若

則解(u，θ)在時刻t=T處仍然是光滑的，其中

本文第二節(jié)給出一些基本定義與定理。第三節(jié)證明定理1。第四節(jié)證明定理2。

1 預(yù)備

在本小節(jié)，我們給出 Morrey空間的相關(guān)定義以及證明過程中需要的引理。

其中B(x，R)是R3中以x為中心且半徑為R的球。

這里dk=diam(supp gk)＜∞ ，(R3)為R3中所有具有緊支集的Lp′(R3)函數(shù)構(gòu)成的空間。

2018年1-9月，全省規(guī)模以上中小工業(yè)企業(yè)盈利好轉(zhuǎn)。截至9月底，納入統(tǒng)計(jì)的全省規(guī)模以上中小工業(yè)企業(yè)共有4153戶，資產(chǎn)合計(jì)11660.5億元，同比增長3.4%；主營業(yè)務(wù)收入5602.4億元，增長20.0%；利潤總額336.2億元，同比增長6.0%；利稅總額660.6億元，增長33.9%。從業(yè)人員61.2萬人，減少0.3%。

另外，在證明過程中我們需要如下插值不等式:

2 定理1的證明

本小節(jié)給出定理1的證明。不失一般性，在本小節(jié)以及下一小節(jié)，我們均假設(shè)μ=κ=1。首先，(1)的第一個方程與第二個方程兩端分別乘以Δu與Δθ，并將所得方程在R3上積分，得

注意到

利用不可壓條件▽·u=0，可得

因而有

將 (5)與 (6)相加，并將 (7)－(9)代入，得

下面分兩種情況來討論:q＜+∞與q=+∞。

第一種情況:當(dāng)q＜+∞時。對第一項(xiàng)I1應(yīng)用H¨older不等式，

由 (11)－(13)及Young不等式，可得

根據(jù)上面證明過程可知

對于第二項(xiàng)I2，類似討論可得，

其中指標(biāo)σ與 (15)相同。

對于第三項(xiàng)I3，應(yīng)用H¨older不等式及Young不等式，得

將 (14)，(16)，(17)代入 (10)，有

于是，對于不等式 (18)，應(yīng)用Gronwall不等式可知當(dāng)q＜+∞ 時，光滑解(u，θ)在時刻t=T處仍然是光滑的。

第二種情形:當(dāng)q=+∞時。對式 (10)最右端第一項(xiàng)I1應(yīng)用H¨older不等式，得

對第二項(xiàng)I2，應(yīng)用H¨older不等式，有

將上述不等式與式 (10)以及式 (17)聯(lián)立，得

成立，則光滑解(u，θ)在時刻t=T處仍然是光滑的。定理1證畢。

3 定理2的證明

在本小節(jié)，我們給出定理2的證明。在式(10)中，對于第一項(xiàng)I1，應(yīng)用引理1，引理2，引理3以及Young不等式，有

類似討論可得，對于第二項(xiàng)I2，

對于第三項(xiàng)I3，應(yīng)用H¨older不等式及Young不等式，得

聯(lián)立式 (10)，(22)，(23)與 (24)，有

對式 (25)應(yīng)用 Gronwall不等式，可知在假設(shè)(4)條件下光滑解(u，θ)在時刻t=T處仍然是光滑的。定理2證畢。

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