田管鳳，湯連生

(1.中山大學(xué)地球科學(xué)系，廣州 510275;2.中山大學(xué)應(yīng)用力學(xué)與工程系，廣州 510275;3.廣東省地質(zhì)過程與礦產(chǎn)資源探查重點實驗室，廣東廣州 510275)

學(xué)者Cheung Y K［1］曾首先提倡采用有限層模型去逼近夾層板對全三維問題進行分析。之后，有限層法被應(yīng)用于一般力系作用下的層狀橫向各向同性彈性連續(xù)地基的分析［2－3］。對于層狀地基的良好適應(yīng)性使有限層法得到進一步發(fā)展并應(yīng)用于地基基礎(chǔ)工程的分析。例如，在有限元法的基礎(chǔ)上［4］，結(jié)合有限層法分析豎向荷載或傾斜荷載下的樁土共同作用以及箱形基礎(chǔ)與橫向同性土的共同作用［5－7］;建立三維橫觀各向同性土體固結(jié)的有限層法分析地基參數(shù)對地基沉降和固結(jié)性狀的影響［8－9］;運用彈性黏彈性對應(yīng)原理及拉氏變換給出黏彈性地基比奧固結(jié)有限層格式，分析地基蠕變變化規(guī)律［10］。在以上文獻相關(guān)有限層法的計算理論中，選擇的層元位移函數(shù)基本都是采用一次多項式與雙重級數(shù)相乘的模式，本文暫且稱之為傳統(tǒng)有限層法。相關(guān)算例也表明了傳統(tǒng)有限層法在求解多薄層 (薄層，指層元寬度與厚度的比值大于15;反之，為厚層)地基問題中得到比較滿意的結(jié)果。然而，對于多厚層地基問題的有限層法分析暫未見有文獻討論。

本文著重從解決多厚層彈性地基問題出發(fā)，改進有限層元的位移模式，建立相應(yīng)的一般有限層法。在此基礎(chǔ)上，引入超級有限元思想，建立超級有限層法，以更好地適用于求解層狀地基問題。

圖1 有限層法計算模型Fig.1 Calculation model of finite layer method

1 6參數(shù)一般有限層法

1.1 物理模型

如圖1坐標(biāo)系中，有限體域的層狀地基采用N層彈性均勻有限層元計算模型，矩形層元的平面尺寸a×b，圖中所示為1/4層元。第i層元厚度為ci，i=1，2，….n。層元的四邊采用簡支約束，x= ±a/2邊界上，y向水平位移v=0，豎向位移w=0;y= ±b/2邊界上，x向水平位移u=0，豎向位移w=0。底板約束條件可按自由無支承、剛性光滑支承和剛性粗糙支承等情況分別考慮。

1.2 層元分析

1.2.1 6參數(shù)位移模式 結(jié)合有限層法基本原理［3］，考慮層元四邊簡支的邊界條件，x、y、z三向位移u、v、w分別采用雙重級數(shù)函數(shù)形式:

式中，a1i，mn、a2i，mn、a3i，mn(i=1，2，…，6)分別是位移u、v、w沿z方向變化的多項式系數(shù)。系數(shù)向 量 {aj}mn= {aj1，mn，aj2，mn，aj3，mn，aj4，mn，aj5，mn，aj6，mn}T，j=1，2，3。

在有限元法中選擇位移模式時，常采用多項式的形式，其項數(shù)通常等于單元邊界上的外結(jié)點的自由度數(shù)，過多過少都是不合適的。同樣，在有限層法中，層元的自由度包含上下節(jié)點的三向位移共6個，因此式 (2)的豎向位移函數(shù)選擇了包含6項的5次完全多項式?；谑?(1)、(2)建立的有限層法稱之為6參數(shù)有限層法。

1.2.2 多項式系數(shù)的相關(guān)性分析 設(shè)層元應(yīng)力向量 {σ}={σx，σy，σz，τxy，τyz，τzx}T;應(yīng)變向量為{ε}={εx，εy，εz，γxy，γyz，γzx}T;則剛度矩陣［11］

式中，d1=E(1 － μ)/［(1+ μ)(1 － 2μ)］，d2=Eμ/［(1+ μ)(1 － 2μ)］，d3=E/［2(1+ μ)］，E 和μ為層元彈性模量和泊松比。

依據(jù)彈性體的靜力平衡方程［12］，在暫時不考慮體力的條件下，有

將彈性層元的位移、應(yīng)變、應(yīng)力關(guān)系代入式(4)，整理得到

由于式 (4)及式 (5)對于任意x、y、z都必須成立，因此式 (6－1) ～ (6－3)對x、y一階導(dǎo)數(shù)必然為零。將式 (6－1)(6－2)分別對x、y求導(dǎo)可得

對比式 (7－1)、(7－2)、(6－3)，由于x、y、z的任意性，三式中均含有相同的cos kmxcos kny項，則［kmF1(z)］、［knF2(z)］、［F3(z)］中的對應(yīng)zi－1(i=1，2，…，6)項系數(shù)必需分別對應(yīng)相同，才能保證三個方程的一致性收斂能夠同時成立。從而推導(dǎo)得到系數(shù)向量{a1}mn、{a2}mn、{a3}mn間存在以下關(guān)系:

式中，矩陣 ［A2］mn、 ［A3］mn為多項式系數(shù)向量間的關(guān)系矩陣?？梢?，在層元位移模式的18個多項式系數(shù)中，由于其間存在相關(guān)性，實際獨立的系數(shù)只有6個，正好與層元上下節(jié)面位移數(shù)目相同。

1.2.3 層元節(jié)面位移向量 設(shè)層元厚度為c，取其上下界面i、j節(jié)面的位移向量 {δ}mn=

為基本未知量，則其 中， 矩 陣 ［R1］mn=， ［R2］mn=［A2］mn，［R3］mn= ［A3］mn，j=1，2，…，6。

1.2.4 層元剛度矩陣 據(jù)應(yīng)變向量的定義可推導(dǎo)層元應(yīng)變矩陣 ［B］mn，以及層元剛度矩陣 ［S］mnmn=［D］［B］mndV 的表達式。 ［S］mnmn的求解采用高斯－勒讓德積分法。

1.2.5 層元等效荷載向量 以層元表面局部作用豎向均布力p為例，矩形面積形心位置 (x0，y0)，分布長度和寬度分別為l1、l2。則層元的等效荷載向量為

1.3 整體分析

設(shè)多層地基有限域中包含N個層元，可將層元剛度矩陣 ［S］mnmn順序依次組裝成3N+3階整體剛度矩陣 ［K］mnmn和整體荷載向量 {F}mn。依據(jù)第N層元底面約束條件修改剛度矩陣［2］。如果底部采用自由條件，可作不處理。求解體系平衡方程即可得到各層元的節(jié)點位移參數(shù)向量 {δ}mn，經(jīng)過m、n級數(shù)循環(huán)計算r×s次后疊加得到最后結(jié)果。當(dāng)計算變量值的第三位有效數(shù)字不再隨m、n值的增大發(fā)生變化而保持穩(wěn)定作為級數(shù)收斂標(biāo)準(zhǔn)。

2 超級有限層法

2.1 超級有限層元模型

將層狀地基作為單個或多個超級有限層元，單個超級層元包含多個小層元。如圖2，在此超級層元內(nèi)，第k小層元的界面分別為k和k+1，所在超級元內(nèi)豎向局部坐標(biāo)分別為 ξk和ξk+1。超級層元位移函數(shù)、節(jié)面位移向量、形函數(shù)等同2.2。

圖2 超級有限層法計算模型Fig.2 Calculation model of super finite layer method

2.2 小層元與超級有限層元間的運算矩陣轉(zhuǎn)換

設(shè)小層元k的上下節(jié)面位移

則根據(jù)超級有限層元的位移計算式，可得

式中，N'ij=Nij|z=ξk;N″ij=Nij|z=ξk+1，i=1，2，3;j=1，2，…，6。［A］mn為小層元與超級層元間的節(jié)面位移轉(zhuǎn)換矩陣。

據(jù)超級有限元法的基本原理［13］，小層元相應(yīng)于超級層元的轉(zhuǎn)換剛度矩陣

轉(zhuǎn)換荷載向量

式中，［Se］mnmn和［Fe］mn分別為小層元的一般有限層剛度矩陣和荷載向量。

2.3 超級有限層元的集合與計算

單個超級有限層元的剛度矩陣和荷載向量是所含所有小層元的相應(yīng)轉(zhuǎn)換剛度矩陣和荷載向量}的依次迭加［13］。整個系統(tǒng)的運算矩陣按照所包含的超級有限層元在系統(tǒng)中的位置，按一般有限層法集合。根據(jù)整個系統(tǒng)平衡方程計算出超級有限層元的位移參數(shù)向量 {δ}mn后，小層元的位移、應(yīng)變、應(yīng)力可再經(jīng)過矩陣轉(zhuǎn)換求解得到。

以上基于6參數(shù)一般有限層法推導(dǎo)得到的超級有限層法，稱之為6參數(shù)超級有限層法。

3 算例

有限層法的提出是為了解決豎向不均勻的層狀地基問題。但是，為了驗證本文中提出的6參數(shù)一般有限層法以及超級有限層法的有效性和準(zhǔn)確性，有必要先將均勻彈性地基在不同情形下的位移或應(yīng)力值與已有文獻的解析解或數(shù)值解進行比較。

3.1 不同厚度的有限域地基單層計算

有限域單層地基采用均勻彈性的四邊簡支方板模擬，材料剪切模量G，彈性模量E，泊松比μ=0.3;方板邊長a，板厚h=0.01 m，板的上表面滿布均勻豎向荷載q=1 kPa，底面自由無約束。通過改變板的平面尺寸a，計算不同厚寬比h/a條件下板的上表面中心豎向位移w0及板底部中心的水平應(yīng)力σx0。分別采用本文6參數(shù)一般有限層法與其他文獻計算結(jié)果比較，見表1。

3.2 有限域地基的單層與多層計算

仍采用均勻彈性板模擬單層與多層有限域地基，板的各物理參數(shù)同3.1。將板厚h分單層和多層等不同情形，分別采用6參數(shù)一般有限層法、6參數(shù)超級有限層法計算w0及σx0，并與有限元法結(jié)果比較，見表2。

表1 不同厚度的有限域地基單層計算結(jié)果Table 1 Results of the finite single layer ground with different thickness

表2 有限域地基的單層與多層計算結(jié)果Table 2 Results of the finite ground of single-layer and multi-layer

3.3 半無限體地基計算

當(dāng)采用有限層法計算的體域足夠大時，可以近似為半無限體，用于求解半無限彈性地基的應(yīng)力和位移。參考文獻 ［2］，體域尺寸取水平方向L=B=20 m，厚H=12 m，底部采用剛性粗糙支承約束。彈性體材料常數(shù)E=5000 kPa，μ=0.3。均布方形荷載作用在體域表面中心，邊長LQ=1 m，荷載集度p=1 kPa。分別采用分層和單層計算，結(jié)果見表3。

表3 半無限空間體表面中心的豎向位移Table 3 Vertical displacement of the surface centre of semi-infinite body

4 討論

4.1 一般有限層法計算單層地基的合理性

據(jù)表1，對作用均布荷載的四邊簡支單層板中心處的表面豎向位移和底面水平應(yīng)力值計算表明，6參數(shù)一般有限層法與已有文獻的改進厚板解析解有良好的一致性［14］，位移和應(yīng)力的誤差范圍分別小于2.5%、5.8%。說明6參數(shù)有限層法在用于計算厚層和薄層的單層地基具有合理性，為下文多層地基計算提供理論依據(jù)。然而，改進厚板解析解則只能對單板進行計算，顯然不具備該優(yōu)點。

根據(jù)有限層法層元分析，上下節(jié)面位移參數(shù)共有6個。本文提出的6參數(shù)位移模式，共含18個未知系數(shù)，即 a1i，mn、a2i，mn、a3i，mn(i=1，2，…，6)。但是，在應(yīng)用彈性體靜力平衡方程整理后發(fā)現(xiàn)，系數(shù)間存在如式 (8－1)(8－2)的相關(guān)性。這樣，實際上獨立的系數(shù)只有6個，其數(shù)目與層元節(jié)面位移數(shù)目完全對應(yīng)，從而保證了有限層位移參數(shù)的完備性。據(jù)式 (1)，6參數(shù)位移模式包含了層元的剛體位移和常應(yīng)變，即常數(shù)項和一次項;并且層元內(nèi)位移連續(xù)，層元之間位移協(xié)調(diào)。這些條件保證了有限層法在雙重級數(shù)計算時的收斂性?？梢?參數(shù)有限層法這一半解析半數(shù)值法在彈性板分析中的有效性。

4.2 超級有限層法計算多層地基的合理性

據(jù)表2，采用單層和多層的不同方式，分別應(yīng)用6參數(shù)一般有限層法和6參數(shù)超級有限層法，計算均布荷載下簡支方板中心處的表面豎向位移和底面中心水平應(yīng)力。通過將各種不同厚寬比的情形進行比較發(fā)現(xiàn)，在單層計算時，基于一般有限層原理推導(dǎo)得到的超級有限層法與一般有限層法的結(jié)果是完全一致的，除了計算程序中數(shù)值計算的些許誤差之外。板表面中心位移計算結(jié)果與有限元法相比有很好的一致性，誤差在0.12%～2.78%之間，進一步說明了6參數(shù)有限層法的合理性和準(zhǔn)確性。然而，相比有限元法，超級有限層法不僅具有半解析法的計算數(shù)值準(zhǔn)確的特點，而且具有層元網(wǎng)格簡潔、計算快捷的優(yōu)點。

在多層計算時，超級有限層法計算位移和應(yīng)力結(jié)果與單層解有很好的一致性，誤差都在0～1.26%之間。然而，一般有限層法的多層和單層計算比較發(fā)現(xiàn)，只有在h/a＜0.1時結(jié)果才一致;隨著h/a增大，結(jié)果發(fā)生較大變化;在h/a=0.4時，多層計算位移值竟然達到單層計算值的10倍。因此說明，6參數(shù)一般有限層法僅適合于多層薄板計算。

應(yīng)用有限層法的目的是為了適應(yīng)地基的層狀特點。如果將有限層法應(yīng)用于均勻材料，則不管是采用多層還是單層的形式，結(jié)果都能達到很好的一致性，這樣才能保證有限層法的有效性。

綜合表1、表2算例結(jié)果，無論地基是薄層還是厚層，6參數(shù)超級有限層法都能很好的適應(yīng);而6參數(shù)一般有限層法則只適合于薄層地基分析。究其原因在于對層元間高階變形的協(xié)調(diào)性要求的滿足程度不同。一般有限層法中，層元間節(jié)面位移可以保證層元在節(jié)面處位移的連續(xù)協(xié)調(diào)性，但無法進一步保證層元之間位移的斜率等高階變形的協(xié)調(diào)性，這樣只有在薄層條件下比較適合采用。而超級有限層法，將所有小層元疊加為一超級層元，具有統(tǒng)一的超級層元位移函數(shù)，從而可以保證超級元內(nèi)小層元間位移及其斜率等高階變形的協(xié)調(diào)性，因此可以適用于多種厚度層元的計算。

4.3 有限層法計算半無限空間體的合理性

在采用有限體域模擬計算半無限空間體時，可以相對荷載作用面積，將有限的體域擴大進行近似計算。據(jù)表3，應(yīng)用各種有限層法計算半無限空間體表面作用小面積荷載時的中心豎向位移與解析解比較。多層計算時，6參數(shù)超級有限層法接近Boussinesq解;而單層計算時，6參數(shù)有限層法和超級有限層法與Boussinesq解完全一致。說明6參數(shù)一般有限層法適用單層地基，而6參數(shù)超級有限層法則同時適用單層和多層地基。顯然，超級有限層法可以解決布氏解所未能解決的層狀地基問題。

4.4 級數(shù)收斂性確定

算例計算分析表明，達到收斂時的級數(shù)項m、n的取值主要受到荷載作用面積相對于體域尺寸大小不同的影響;而受層元的厚寬比h/a的影響較小。

在表1和表2中，表面滿布均載的單層或多層有限域地基的計算結(jié)果都是在m和n均小于20時達到收斂標(biāo)準(zhǔn)得到的。但如表3中的小面積分布力作用時則需要計算較多項，計算位移結(jié)果在m和n接近50時才達到收斂標(biāo)準(zhǔn)。

此外，在表1和表2計算時發(fā)現(xiàn)，層元越薄(h/a越小)，收斂時需要的級數(shù)項m、n值越小。有的薄層 (h/a＜0.1)計算甚至在m=n=2時已達收斂。但即使層厚增大，m、n也未超過20。說明層元h/a對級數(shù)收斂性影響較小。因此，收斂穩(wěn)定判斷應(yīng)以計算變量值相對穩(wěn)定為標(biāo)準(zhǔn)。

5 結(jié)論

1)提出6參數(shù)一般有限層法，位移模式不僅滿足了層元間的位移協(xié)調(diào)性，而且參數(shù)個數(shù)符合完備性要求。在用于單層地基分析時，位移和應(yīng)力計算值與有限元解或解析解一致。然而由于不能滿足層元間高階變形的連續(xù)性，故僅適用于單層或多薄層地基;用于分析多厚層地基則誤差較大。

2)提出6參數(shù)超級有限層法，既具有一般有限層法位移模式的完備性優(yōu)點;同時滿足超級層元內(nèi)小層元間高階變形的連續(xù)性，彌補了一般有限層法的不足。因此可以適用于各種厚度的單層和多層地基分析。

本文提出的超級有限層法對于層狀地基分析的層數(shù)、層厚具有很好的適應(yīng)性，將有利于層狀地基理論的深入研究。

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