陸龍釗，李 成，余向陽(yáng)

(中山大學(xué)光電材料與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東廣州 510275）

在非均勻展寬介質(zhì)中，兩個(gè)相隔一定時(shí)間的強(qiáng)短激光脈沖與共振吸收介質(zhì)相互作用后，經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間后會(huì)自發(fā)輻射出一個(gè)光脈沖，這個(gè)光脈沖就是所謂的光子回波。光子回波是強(qiáng)短激光脈沖與物質(zhì)近共振相互作用所產(chǎn)生的相干瞬態(tài)效應(yīng)［1－2］。隨著超短激光脈沖技術(shù)和量子光學(xué)理論處理方法的發(fā)展，人們對(duì)光子回波進(jìn)行了深入的研究，并將其應(yīng)用到了許多方面［3－4］。激光脈沖與物質(zhì)的相互作用，在半經(jīng)典理論框架下，可用 Maxwell－Bloch(MB)耦合方程描述［5］，其中Bloch方程描述在光場(chǎng)作用下的體系性質(zhì)，Maxwell方程則描述了光場(chǎng)在體系中的特性。用Bloch矢量模型可對(duì)光子回波現(xiàn)象作出清晰的經(jīng)典的唯象解釋［2］，由此，可以較好地理解光子回波的物理機(jī)制。但要完全描述和理解光子回波物理圖像并定量地給出光子回波信號(hào)的強(qiáng)度，則需要求解非均勻展寬體系的MB方程。MB只在某些特定的條件下，才能求得解析解，通常情形需要采用數(shù)值求解的方法，均勻和非均勻展寬體系MB方程數(shù)值算法都已經(jīng)得到了很好的研究［6－11］。本文在非均勻展寬體系 MB方程數(shù)值解

1 基本理論

在薄樣品近似下，可只考慮光場(chǎng)對(duì)體系的作用，而忽略光場(chǎng)在介質(zhì)中的傳播效應(yīng)，因此光場(chǎng)不再隨時(shí)間變化，這就可將坐標(biāo)轉(zhuǎn)到入射光場(chǎng)前進(jìn)的坐標(biāo)系中，由式 (1－d)可得薄樣品后邊界的光場(chǎng)為

由上式可見，對(duì)已知線型函數(shù)g(Δ)的介質(zhì)，求出v后，便可求出光作用于介質(zhì)后的光場(chǎng)強(qiáng)度，顯然該光場(chǎng)強(qiáng)度與樣品的厚度L成正比。v可由方程 (1－a)～(1－c)，即Bloch方程求得，這是一組非線性常微分方程，這里采用文獻(xiàn) ［7］所建立的校正四階龍格－庫(kù)塔 (RK4)法進(jìn)行數(shù)值求解。這樣，由 (2)式就可計(jì)算薄樣品近似下光子回波信號(hào)的強(qiáng)度。而光子回波的唯象解析也是基于薄樣品近似在Bloch矢量模型上得出的。

通常，實(shí)現(xiàn)光子回波的實(shí)驗(yàn)樣品都是有一定厚度的吸收介質(zhì)，光場(chǎng)在通過(guò)吸收介質(zhì)時(shí)，介質(zhì)厚度必然會(huì)強(qiáng)烈影響光場(chǎng)的傳播特性［11－12］。因而對(duì)實(shí)際實(shí)驗(yàn)條件下的光子回波的特性而言，薄樣品近似雖然可以解析一些現(xiàn)象，但顯然不是一個(gè)很好的近似。當(dāng)考慮樣品的厚度時(shí)，求解 MB耦合方程(1)，才能得到體系與光場(chǎng)的性質(zhì)，方程 (1)是一組非線性偏微分－積分方程，其求解是復(fù)雜的，這里我們?cè)谇捌诠ぷ鞯幕A(chǔ)上，采用文獻(xiàn) ［10］所建立的“預(yù)報(bào) －校正四階龍格 －庫(kù)塔(PCRK4)”法建立了厚樣品光子回信號(hào)強(qiáng)度的求解方案。當(dāng)初邊界條件已知時(shí)，就可計(jì)算厚樣品中光子回波信號(hào)的強(qiáng)度。

2 計(jì)算結(jié)果與討論

數(shù)值計(jì)算求解方程 (1)的初始條件為:

邊界條件為初始入射脈沖，假定脈沖為高斯型的，則有

介質(zhì)的非均勻展寬線型g(Δ)假定為高斯型，其歸一化的形式為

式中，Δd為半高寬。

2.1 二脈沖光子回波

兩個(gè)相隔時(shí)間為t1=t02－t01的強(qiáng)短激光脈沖與共振吸收介質(zhì)相互作用后，經(jīng)過(guò)t1的時(shí)間后會(huì)觀測(cè)到由介質(zhì)自發(fā)輻射出的一個(gè)光脈沖，這就是二脈沖的光子回波。薄樣品近似下雙脈光子回波信號(hào)，在特定條件下，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕?，可得到回波信?hào)的解析解［13］，雖然解析解可以很好解釋光子回波形成的物理機(jī)制，但只能給出半定量的結(jié)果。為了定量給出光子回波信號(hào)的強(qiáng)度，就需要采用數(shù)值方法進(jìn)行求解，以便更深入而全面地描述光子回波的形成機(jī)制及影響信號(hào)強(qiáng)度的因素。

圖1顯示了共振 (Δ=0)且忽略了馳豫時(shí)間(Γ1=0、Γ2=0)時(shí)，薄樣品近似下二脈沖光子回波信號(hào)的強(qiáng)度。計(jì)算時(shí)各參數(shù)為:L=1，tp1=tp2=1，Δd=3，t01=5，t02=15，S01=π/2，S02=π。圖1中點(diǎn)線是輸入光脈沖 (z=0)的強(qiáng)度，實(shí)線是樣品后邊界處 (z=L)光場(chǎng)的強(qiáng)度。從圖中可以看出:在第二個(gè)脈沖作用后，經(jīng)過(guò)t1時(shí)間間隔，出現(xiàn)了光子回波。這個(gè)結(jié)果與解析解及矢量模型［5］分析是一致，也說(shuō)明了所建立的數(shù)值算法是可靠性。

圖1 光學(xué)薄樣品中的二脈沖光子回波Fig.1 A two－pulse photon echo in optically thin media

雖然解析解的結(jié)果可以得到二脈沖光子回波強(qiáng)度以及退相時(shí)間對(duì)光子回波強(qiáng)度的影響，但MB方程中的其它參數(shù)，諸如失諧量、馳豫時(shí)間、非均勻展寬線寬以及激發(fā)脈沖的強(qiáng)度等，對(duì)光子回波信號(hào)強(qiáng)度的影響是解析解所不能完全給出的，而用數(shù)值求解的方法，可以計(jì)算各種參數(shù)對(duì)光子回波信號(hào)強(qiáng)度的影響。

圖2(a)顯示了退相時(shí)間T2對(duì)光子回波信號(hào)強(qiáng)度的影響。從圖中可以看出光子回波信號(hào)的強(qiáng)度隨著T2的增大而迅速增大，當(dāng)T2大過(guò)一定值后光子回波強(qiáng)度增加變慢，最后趨向于平緩。這是由于T2越小，退相過(guò)程就越快，經(jīng)過(guò)第二個(gè)脈沖作用后偶極矩相位能夠反向趨于一致的數(shù)目越少，因此光子回波的強(qiáng)度就較小;反過(guò)來(lái)，T2越大，退相過(guò)程越慢，偶極矩相位能夠反向趨于一致的數(shù)目越多，因此光子回波強(qiáng)度就較大。當(dāng)T2≥t1時(shí)，在t1時(shí)間內(nèi)T2對(duì)退相過(guò)程的影響可以忽略，光子回波強(qiáng)度趨于定值。光場(chǎng)載波頻率與共振頻率的失諧也會(huì)影響光子回波的強(qiáng)度。圖2b給出了失諧量對(duì)光子回波強(qiáng)度的影響。從圖中可以看出:失諧量絕對(duì)值越大，光子回波信號(hào)的強(qiáng)度越低，整個(gè)曲線以Δ=0為對(duì)稱分布，說(shuō)明正、負(fù)失諧的影響是相同的。

圖2 退相時(shí)間 (a)失諧量 (b)對(duì)光子回波強(qiáng)度的影響Fig.2 Peaks of echo power for different transverse

圖3顯示了厚樣品的光子回波強(qiáng)度的三維圖，計(jì)算的參數(shù)與圖1相同。從圖中可以看出，兩個(gè)入射脈沖的強(qiáng)度隨介質(zhì)厚度的增加而減小，光子回波信號(hào)的強(qiáng)度則隨介質(zhì)厚度的增加先增大后減小，這意味著實(shí)現(xiàn)最強(qiáng)的光子回波與介質(zhì)的厚度的選取有關(guān)。在時(shí)間坐標(biāo)上，光子回波出現(xiàn)的位置與薄樣品近似下是相同的。

圖3 光學(xué)厚樣品中的二脈沖光子回波Fig.3 A two－pulse photon echo in optically thick media

2.2 三脈沖光子回波

在三脈沖作用下，光子回波的特性變得復(fù)雜，已無(wú)二脈沖光子回波那樣清晰的物理圖像。三脈沖光子回波也被稱為受激光子回波。其中，第一個(gè)輸入脈沖稱為“寫”脈沖，它的作用是實(shí)現(xiàn)介質(zhì)中原子基態(tài)與激發(fā)態(tài)間的相干;隨后輸入的第二個(gè)脈沖稱為“數(shù)據(jù)”脈沖，它的作用是將相干性傳遞給基態(tài)與激發(fā)態(tài)間頻率依賴的“數(shù)據(jù)”脈沖，此時(shí)“數(shù)據(jù)”脈沖的信息也被存儲(chǔ)在介質(zhì)中;然后在某個(gè)時(shí)刻輸入第三個(gè)脈沖，稱之為“讀”脈沖，這個(gè)脈沖的作用是激發(fā)光子回波［14］。

圖4是在薄樣品近似下，三脈沖光子回波的計(jì)算結(jié)果。三個(gè)脈沖的入射脈沖面積分別為S01=π/2、S02=0.1π和S03=π/2，脈沖的時(shí)間間隔為t1=t02－t01=10和t2=t03－t02=20，其他計(jì)算參數(shù)與圖1相同。從圖中可以看出，在第三個(gè)入射脈沖作用后，經(jīng)過(guò)時(shí)間t1后會(huì)出現(xiàn)一個(gè)脈沖，這個(gè)脈沖稱為受激光子回波。

圖4 光學(xué)薄樣品中受激光子回波Fig.4 A stimulated photon echo in optically thin media

圖5給出了厚樣品中的受激光子回波強(qiáng)度的三維圖，除樣品空間參數(shù)外，所選其它參數(shù)與圖4同。從圖中可以看出，三個(gè)入射脈沖的強(qiáng)度隨介質(zhì)厚度的增加而逐漸變小，光子回波強(qiáng)度隨介質(zhì)厚度的增加先增大后減小，其它性質(zhì)與薄樣品近似下受激光子回波的特性是一致的。受激光子回波攜帶了第二個(gè)輸入脈沖，即數(shù)據(jù)脈沖的信息，這一點(diǎn)在多脈沖光子回波中會(huì)體現(xiàn)的更明顯。

圖5 光學(xué)厚樣品中受激光子回波Fig.5 A stimulated photon echo in optically thick media

2.3 多脈沖光子回波

圖6顯示了多脈沖入射時(shí)所產(chǎn)生的光子回波，寫脈沖的面積為0.5π，每個(gè)數(shù)據(jù)脈沖的面積為0.025π(組成編碼11101101)，讀脈沖的面積為0.5π，寫脈沖與第一個(gè)數(shù)據(jù)脈沖間的時(shí)間間隔為20，最后一個(gè)數(shù)據(jù)脈沖與讀脈沖間的時(shí)間間隔為70。從圖中可以看出，薄樣品近似下光子回波所攜帶的信號(hào)編碼與數(shù)據(jù)脈沖的編碼完全相同［15］，讀出時(shí)間間隔與寫入時(shí)間間隔一致。圖7給出了厚樣品中多脈沖入射的情況下的光子回波的計(jì)算結(jié)果。

圖6 光學(xué)薄樣品中多脈沖光子回波Fig.6 A multiple－pulse photon echoes in optically thin media

圖7 光學(xué)厚樣品中多脈沖光子回波Fig.7 A multiple－pulse photon echoes in optically thick media.

如果將二脈沖入射情況下的第一個(gè)脈沖改成多個(gè)數(shù)據(jù)脈沖 (每個(gè)“數(shù)據(jù)”脈沖的面積為0.025π， “讀”脈沖為 π)，組成編碼11101101，則得到的光子回波如圖8所示。此時(shí)最后一個(gè)“數(shù)據(jù)”脈沖與“讀”脈沖間距，與“讀”脈沖與第一個(gè)光子回波間距相同，這個(gè)性質(zhì)與二脈沖光子回波相同，并且光子回波所對(duì)應(yīng)的編碼為10110111，與數(shù)據(jù)編碼順序正好相反。

編碼數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)與讀取在時(shí)間軸上是滿足一定規(guī)律的:圖7顯示編碼數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)與讀取與受激光子回波脈沖間隔一致，而圖8給出的編碼數(shù)據(jù)存儲(chǔ)與讀取與二光子回波脈沖間隔一致，都可用于實(shí)現(xiàn)光脈沖信號(hào)的存取。編碼數(shù)據(jù)脈沖光子回波的這種特性，是實(shí)現(xiàn)光脈沖數(shù)據(jù)存儲(chǔ)與讀取的有效方式之一。

圖8 光學(xué)厚樣品中多脈沖光子回波Fig.8 A multiple－pulse photon echoes in optically thick media

3 結(jié)論

光子回波信號(hào)的數(shù)值解法是在非均勻展寬二能級(jí)體系MB耦合方程數(shù)值算法的基礎(chǔ)上建立的。在光學(xué)薄樣品近似條件下，數(shù)值計(jì)算了二脈沖光子回波與三脈沖光子回波，與解析解的結(jié)論是一致的，表明所建立數(shù)值解法是可靠性的，并討論了弛豫時(shí)間對(duì)光子回波信號(hào)的影響。進(jìn)一步計(jì)算了厚樣品情況光子回波信號(hào)，討論了介質(zhì)厚度對(duì)光子回波強(qiáng)度的影響，結(jié)果表明光子回波的強(qiáng)度隨介質(zhì)厚度的增加先增大后減小，這意味著有最佳的介質(zhì)厚度實(shí)現(xiàn)最強(qiáng)的光子回波信號(hào)。編碼數(shù)據(jù)脈沖的光子回波是實(shí)現(xiàn)光脈沖數(shù)據(jù)存儲(chǔ)與讀取的有效方式之一，并滿足一定的規(guī)律。本文就存取時(shí)間間隔、編碼順序等進(jìn)行了初步研究，對(duì)編碼數(shù)據(jù)脈沖光子回波的更深入的研究，諸如實(shí)現(xiàn)多比特編碼數(shù)據(jù)脈沖的有效可靠存取等，將在后續(xù)工作的進(jìn)行更深入的研究。

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