何郁波，王 亞，羅思雯，彭 麗

(1.懷化學(xué)院數(shù)學(xué)系，湖南懷化 418008;2.湖南省岳陽(yáng)縣楊林中學(xué)，湖南岳陽(yáng) 414115)

應(yīng)用含參量定積分證明Wallis公式*

何郁波1，王 亞1，羅思雯1，彭 麗2

(1.懷化學(xué)院數(shù)學(xué)系，湖南懷化 418008;2.湖南省岳陽(yáng)縣楊林中學(xué)，湖南岳陽(yáng) 414115)

利用一個(gè)含參量的定積分，給出了Wallis公式的一個(gè)新的證明方法.

Wallis公式;含參量定積分;迫斂性

Wallis公式為

引理1設(shè)J(m，n)

證明因?yàn)?/p>

類似可證得

證明令x=sint，由引理1有

所以由定理1可知，當(dāng)n=2m(m=1，2，…)時(shí)，有

當(dāng)n=2m+1(m=0，1，2，…)時(shí)，有

另一方面，根據(jù)定積分的保不等式性質(zhì)知，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，有

由(3)，(4)式即得

從而由(5)式可得

此即Wallis公式.

此定理1的證明也可以采用如下證明方法:

［1］ 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))［M］.北京:高等教育出版社，2001.

［2］ 劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義(上冊(cè))［M］.北京:高等教育出版社，2008.

［3］ 劉 證.Wallis公式的一個(gè)新證明［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2005，8(1):14-17.

(責(zé)任編輯 向陽(yáng)潔)

Applying Definited Integral with a Parameter to Prove the Wallis Formula

HE Yu-bo1，WANG Ya1，LUO Si-wen1，PENG Li2
(1.Department of Mathematics，Huaihua Uvinersity，Huaihua 418008，Hunan China; 2.Yanglin Middle School of Yueyang County，Yueyang 414115，Hunan China)

A definite integral with a parameter is applied to design a new way to prove Wallis Formula.

Wallis formula;definite integral with a parameter;squeeze theorem

O178

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2013.02.004

1007-2985(2013)02-0019-03

2012-10-23

懷化學(xué)院教改項(xiàng)目(201031)

何郁波(1979-)，男，湖南岳陽(yáng)人，懷化學(xué)院數(shù)學(xué)系講師，碩士，主要從事非線性互補(bǔ)問(wèn)題與微分方程數(shù)值解研究.