徐永琳

(西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，甘肅蘭州 730030)

AHP問(wèn)題的研究及應(yīng)用*

徐永琳

(西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，甘肅蘭州 730030)

層次分析法(AHP)是經(jīng)典的多屬性決策方法，在很多領(lǐng)域得到了應(yīng)用.研究AHP的基本理論，給出了確定權(quán)重的AHP方法，描述了采用AHP解決多目標(biāo)決策問(wèn)題的方法和步驟，通過(guò)具體消費(fèi)者購(gòu)房的實(shí)例，為消費(fèi)者的實(shí)際消費(fèi)決策提供科學(xué)合理的方法.

AHP;判斷矩陣;標(biāo)度;多目標(biāo)決策;權(quán)重

層次分析法(Analytic Hierarchy Process，簡(jiǎn)稱(chēng)AHP)是由美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家，匹茲堡大學(xué)T.L.Saaty教授于20世紀(jì)70年代初期提出的，它通過(guò)構(gòu)造層次結(jié)構(gòu)和比率分析可以將各屬性上決策者定性的判斷與定量的方向結(jié)合起來(lái)，將各種因素層次化，并逐層比較多種關(guān)聯(lián)因素，為分析和預(yù)測(cè)事物的發(fā)展提供可定量依據(jù)，提供了人類(lèi)決策思維活動(dòng)的有效性和機(jī)動(dòng)性.AHP的原理基于矩陣論和實(shí)驗(yàn)心理學(xué)研究，結(jié)構(gòu)明確、簡(jiǎn)單易懂，能被各個(gè)領(lǐng)域的人快速掌握，使用AHP的關(guān)鍵點(diǎn)是使決策者形象化地使用屬性層次結(jié)構(gòu)來(lái)構(gòu)造復(fù)雜的多屬性決策問(wèn)題成為可能，對(duì)于復(fù)雜和較大的遞階層次結(jié)構(gòu)問(wèn)題，使用AHP更具有魯棒性［1］.

1 基本概念

定義1(有序集)若集合E中所有的元素都滿足自反性、對(duì)稱(chēng)性和傳遞性，則稱(chēng)E為有序集;若還滿足完備性，則稱(chēng)為整體有序集，否則稱(chēng)為局部有序集.

定義2E為有序集，?x，y∈E，記

定義3設(shè)H是帶有惟一最高元素c的有限的局部有序集，若它滿足如下條件，則稱(chēng)H為一個(gè)遞階層次:

(1)存在H的一個(gè)劃分{Lk}(k=1，2，…，m)，其中L1={c}，每個(gè)劃分Lk稱(chēng)為一個(gè)層次;

(2)對(duì)于每個(gè)x∈Lk(1≤k≤m-1)，X-非空且X-?Lk+1;

(3)對(duì)于x∈Lk(2≤k≤m)，X+非空，且X+?Lk-1.

定義4以每2個(gè)方案(或子目標(biāo))的相對(duì)重要性為元素的矩陣稱(chēng)為判斷矩陣.判斷矩陣是層次分析法的核心.判斷矩陣的元素aij具有3條性質(zhì):(1)aii=1;(2)aij=1/aji;(3)aij=aik·akj.判斷矩陣的元素aij可以利用決策者的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)估計(jì)出來(lái).

定義6［2］對(duì)于正互反矩陣A=(aij)n×n，若滿足aij×ajk=aik，則稱(chēng)A為一致性矩陣.它滿足:

(1)若A一致，則AT也一致;

(2)A的每一行均為任意指定的另一行的正數(shù)倍，從而r(A)=1;

(3)A的最大特征根λmax=n，其余特征根皆為0;

(5)當(dāng)A為正互反判斷矩陣時(shí)，它的歸一化的右主特征向量w=(w1，w2，…，wn)T就是其排序權(quán)向量.

AHP的基本思想:將復(fù)雜問(wèn)題分解為若干層次，在最低層次通過(guò)兩兩對(duì)比得出各因素的權(quán)重，經(jīng)過(guò)由低到高的層層分析計(jì)算，最后計(jì)算出各方案對(duì)總目標(biāo)的權(quán)數(shù)，權(quán)數(shù)最大的方案即為最優(yōu)方案.

2 AHP的基本步驟

2.1 分析系統(tǒng)中各因素間的關(guān)系，建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)模型

首先將決策系統(tǒng)中各因素之間的關(guān)系條理化、層次化，在深入分析的基礎(chǔ)上按目標(biāo)層、準(zhǔn)則層、方案層劃分出各層次，建立一個(gè)有效合理的遞階層次結(jié)構(gòu)模型，對(duì)于成功解決問(wèn)題具有決定性意義.

2.2 構(gòu)造正互反矩陣

構(gòu)造正互反矩陣是將每一層元素針對(duì)上一層因素所涉及的相互之間的重要性做出比較，將比較的數(shù)值直接用矩陣形式表示出來(lái).正互反矩陣可以清楚地表示上一層因素支配的下層有關(guān)因素之間的相對(duì)重要性.構(gòu)造兩兩比較的判斷矩陣.選定上一層次中某個(gè)確定的準(zhǔn)則，對(duì)本層次的各個(gè)元素關(guān)于這個(gè)準(zhǔn)則的相對(duì)重要性進(jìn)行兩兩比較，選用合適的標(biāo)度對(duì)這些重要性程度進(jìn)行合理的賦值，從而構(gòu)造出一個(gè)階數(shù)與被比較元素?cái)?shù)目相同的判斷矩陣;在進(jìn)行兩兩比較時(shí)，假設(shè)專(zhuān)家組能夠比較在遞階結(jié)構(gòu)同一層次的任意2個(gè)元素Bi和Bj，并提供它們重要性比率的數(shù)值bij(這一層有n個(gè)元素).若元素Bi優(yōu)于Bj則bij＞1;相應(yīng)地，反過(guò)來(lái)的性質(zhì)也成立.根據(jù)判斷矩陣的互反性，對(duì)于一個(gè)由n個(gè)元素構(gòu)成的判斷矩陣只需給出其上(或下)三角的n(n-1)/2個(gè)判斷即可.判斷矩陣中的每個(gè)元素可通過(guò)表1給出的絕對(duì)數(shù)標(biāo)度產(chǎn)生［3］，從而計(jì)算出元素重要性的比率.表1中量化等級(jí)時(shí)所用1～9標(biāo)度的描述性解釋表示等級(jí)的級(jí)差是等間隔的，選擇1～9之間的整數(shù)及其倒數(shù)作為量化標(biāo)度的主要原因是它符合人們進(jìn)行判斷時(shí)的心理習(xí)慣.許多實(shí)驗(yàn)心理學(xué)研究亦表明，普通人在對(duì)一組事物的某種屬性同時(shí)作比較，并使判斷保持滿意的一致性時(shí)，所能正確辨別屬性的等級(jí)或事物的個(gè)數(shù)一般在5～9個(gè)之間［4］.

Saaty等取1～9且級(jí)差為1的離散數(shù)作為定性等級(jí)的量化值，并基本獲得社會(huì)認(rèn)同，得到廣泛應(yīng)用.

表1 絕對(duì)數(shù)標(biāo)度的基礎(chǔ)

2.3 計(jì)算元素相對(duì)權(quán)重并做一致性檢驗(yàn)

根據(jù)所得到的正互反矩陣，計(jì)算對(duì)于上一層因素而言的本層次各因素間的相對(duì)權(quán)重，通常采用和法、特征值法、方根法等求解相對(duì)權(quán)重.

(1)和法.對(duì)于一個(gè)一致的正互反矩陣A，它的每一列歸一化后就是相應(yīng)的權(quán)重向量.當(dāng)A不一致時(shí)每一列歸一化后近似于權(quán)重向量，和法就是采用這n個(gè)列向量的算術(shù)平均作為權(quán)重向量.

(2)幾何平均法.將A的每個(gè)列向量采用幾何平均，然后歸一化，得到的列向量就是權(quán)重向量.其公式是

(3)特征根法.它是用來(lái)求解A的特征根，Aw=λmaxw(λmax是A的最大特征根，w是相應(yīng)的特征向量)，得到的w經(jīng)歸一化后就可作為權(quán)重向量.

具體步驟:

成立時(shí)，則w=wq+1為所求A矩陣最大特征根λmax對(duì)應(yīng)的權(quán)重特征向量w，且

這幾種權(quán)重計(jì)算方法各有特點(diǎn)且可以相互轉(zhuǎn)化，最簡(jiǎn)單易用的方法是矩陣行和歸一化方法，從擬合角度出發(fā)得到的最小二乘法、對(duì)數(shù)最小二乘法等也各具優(yōu)點(diǎn)，對(duì)數(shù)最小二乘法計(jì)算簡(jiǎn)便，在模糊決策、群組判斷和殘缺判斷等問(wèn)題中得到了應(yīng)用.在精確程度不高的情況下，和法、幾何平均法均可用來(lái)近似計(jì)算w和λmax［5］.由于相互比較矩陣可能具有不一致性，特征根法產(chǎn)生的結(jié)果考慮了這種因素，它較早被提出并得到廣泛應(yīng)用，Saaty建議使用特征根法［5-6］，它對(duì)AHP的發(fā)展有重要作用，對(duì)于具有模糊性的定性指標(biāo)的準(zhǔn)確量化和指標(biāo)權(quán)重的準(zhǔn)確賦值至今仍有較大的難度［7］.除此之外，其他權(quán)重計(jì)算方法還有最小偏差法(LDM)、梯度特征向量法(GEM)、非線性特征根法等.

2.4 一致性檢驗(yàn)

在構(gòu)造正互反判斷矩陣時(shí)，由于客觀事物的復(fù)雜性，主體認(rèn)識(shí)的局限性和多樣性，判斷經(jīng)常伴隨有誤差判斷矩陣一般不可能具有完全一致性，因此AHP方法要求對(duì)n階判斷矩陣作n(n-1)/2次兩兩比較，最終導(dǎo)出一個(gè)比較合理的反映決策者判斷的排序.Saaty等［5］總結(jié)出下述一致性檢驗(yàn)的方法步驟.

(ⅰ)計(jì)算一致性指標(biāo)CI(consistency index).

(ⅱ)查找相應(yīng)n的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI(random index).

RI是平均一致性指標(biāo)(通過(guò)查RI系數(shù)表可得).如果有CI偏差，那么偏差是否在滿意的一致性范圍，還需要引進(jìn)平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI.RI值見(jiàn)表2.

表2 平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI數(shù)值

(ⅲ)計(jì)算一致性比例CR(consistency ratio)，

當(dāng)正互反矩陣滿足CR＜0.1時(shí)，認(rèn)為正互反矩陣具有滿意的一致性.若檢驗(yàn)通過(guò)，特征向量(歸一化后)即為權(quán)向量;反之，當(dāng)CR≥0.1時(shí)，需要對(duì)正互反矩陣作適當(dāng)修正，以保持一定程度的一致性.

2.5 計(jì)算各層組合權(quán)重

決策最終需要各層元素對(duì)總準(zhǔn)則的相對(duì)權(quán)重，以便于對(duì)備選方案進(jìn)行抉擇.計(jì)算同一層次所有因素對(duì)于最高層(總目標(biāo))相對(duì)重要性的排序權(quán)值，稱(chēng)為層次總排序，這一過(guò)程是由高層次到低層次逐層進(jìn)行的.最低層(方案層)得到的層次總排序，就是n個(gè)被評(píng)價(jià)方案的總排序.若上一層A包含m個(gè)因素A1，A2，…，Am，其層次總排序權(quán)值分別為a1，a2，…，am，下一層次B包含n個(gè)因素B1，B2，…，Bn，它們對(duì)于因素Aj的層次單排序的權(quán)重分別為b1j，b2j，…，bnj(當(dāng)Bk與Aj無(wú)關(guān)時(shí)，取bkj為0)，此時(shí)B層次的總排序由表3給出.若B層次某些因素對(duì)于Aj的一致性指標(biāo)為CIj，相應(yīng)地平均一致性指標(biāo)為RIj，則B層次總排序一致性比例為

AHP最終得到方案層各決策方案相對(duì)于總目標(biāo)的權(quán)重，并給出這一組合權(quán)重所依據(jù)整個(gè)遞階層次結(jié)構(gòu)所有判斷的總一致性指標(biāo)，從而決策者可以做出決策.

表3 權(quán)重合成方法

3 實(shí)例分析

欲購(gòu)買(mǎi)一商品房，現(xiàn)有4個(gè)小區(qū)A，B，C，D可供選擇，主要考察房屋價(jià)格、周?chē)h(huán)境、學(xué)區(qū)、單位距離對(duì)消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)房屋的影響，不考慮其他影響因素.采用AHP層次分析，其層次結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 商品房層次結(jié)構(gòu)

3.1 模型的建立與求解

圖1的思維過(guò)程可分為以下幾個(gè)步驟:

(ⅰ)建立層次分析結(jié)構(gòu)模型.將決策問(wèn)題分解為3個(gè)層次，最上層為目標(biāo)層，即購(gòu)買(mǎi)房屋，最下層為方案層，有小區(qū)A，B，C，D4個(gè)供選擇的小區(qū)，中間層為準(zhǔn)則層，有學(xué)區(qū)、房?jī)r(jià)、周?chē)h(huán)境、單位距離4個(gè)準(zhǔn)則，各層間的聯(lián)系用相連的直線表示，而層內(nèi)各因素基本上相對(duì)獨(dú)立.

(ⅱ)構(gòu)造成正互反矩陣.通過(guò)相互比較確定各準(zhǔn)則對(duì)于目標(biāo)的權(quán)重，以及各方案對(duì)于每一準(zhǔn)則的權(quán)重.

(ⅲ)將方案層對(duì)準(zhǔn)則層的權(quán)重及準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重進(jìn)行綜合，最終確定方案層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重.

假設(shè)要比較某一層n個(gè)因素C1，C2，…，Cn對(duì)上一層某個(gè)因素O的影響，如房屋購(gòu)買(mǎi)決策問(wèn)題中比較學(xué)區(qū)等4個(gè)準(zhǔn)則在購(gòu)買(mǎi)房屋這個(gè)目標(biāo)中的重要性.每次取2個(gè)因素Ci和Cj，用aij表示Ci和Cj對(duì)O的影響之比，全部比較結(jié)果可用正互反矩陣

表示，例如用C1，…，C4依次表示學(xué)區(qū)、房?jī)r(jià)、周?chē)h(huán)境、單位距離4個(gè)準(zhǔn)則，則得如表4所示的矩陣.

在矩陣Z-C(表4)中，a12=3表示學(xué)區(qū)C1與房?jī)r(jià)C2，對(duì)選擇購(gòu)買(mǎi)房屋這個(gè)目標(biāo)O的重要性之比為3∶1，a13=2表示學(xué)區(qū)C1與周?chē)h(huán)境C3之比為2∶1，a14=5，a23=2，a34=2.可以得出準(zhǔn)則層的重要性排列為C1，C2，C3，C4，即學(xué)區(qū)因素最重要，房?jī)r(jià)次之，周?chē)h(huán)境再次之，權(quán)重最小者為單位距離.

表4 矩陣Z－C

在矩陣C1-P(表5)中，考慮學(xué)區(qū)這一因素對(duì)于方案層的影響程度.由數(shù)據(jù)可得:a43=2表示學(xué)區(qū)這一因素對(duì)小區(qū)D與C的影響之比為2∶1;a12=2表示對(duì)小區(qū)A與B的影響之比為2∶1;a24=3表示對(duì)小區(qū)B與D的影響之比為3∶1.由此可知，學(xué)區(qū)因素對(duì)小區(qū)的影響為P1，P2，P4，P3，即對(duì)小區(qū)A影響最大，B次之，D再次之，C最小.

表5 矩陣C1-P

在矩陣C2-P(表6)中，考慮房?jī)r(jià)這一因素對(duì)于方案層的影響程度.由數(shù)據(jù)可得:a23=5表示房?jī)r(jià)這一因素對(duì)小區(qū)B與C的影響之比為5∶1;a34=1/7表示對(duì)小區(qū)C與D的影響之比為1∶7;a14=1/2表示對(duì)小區(qū)A與D的影響之比為1∶2;a13=5表示對(duì)小區(qū)A與C的影響之比為5∶1;a24=1/2表示對(duì)小區(qū)B與D的影響之比為1∶2.由此可知，房?jī)r(jià)這一因素對(duì)小區(qū)的影響為P4，P1，P2，P3，即對(duì)小區(qū)D影響最大，A次之，B再次之，C最小.

表6 矩陣C2－P

在矩陣C3-P(表7)中，考慮周?chē)h(huán)境這一因素對(duì)于方案層的影響程度.由數(shù)據(jù)可得:a23=5表示周?chē)h(huán)境因素對(duì)小區(qū)B與C的影響之比為5∶1;a34=1/7表示對(duì)小區(qū)C與D的影響之比為1∶7;a14=1/3表示對(duì)小區(qū)A與D的影響之比為1∶3;a12=3表示對(duì)小區(qū)A與B的影響之比為3∶1.由此可知，周?chē)h(huán)境因素對(duì)小區(qū)的影響為P4，P1，P2，P3，即對(duì)小區(qū)D影響最大，A次之，B再次之，C最小.

表7 矩陣C3－P

在矩陣C4-P(表8)中，考慮單位距離這一因素對(duì)于方案層的影響程度.由數(shù)據(jù)可得:a23=1/5表示單位距離因素對(duì)小區(qū)B與C的影響之比為1∶5;a34=7/1表示對(duì)小區(qū)C與D的影響之比為7∶1;a14=2/1表示對(duì)小區(qū)A與D的影響之比為2∶1;a12=1表示對(duì)小區(qū)A與B的影響之比為1∶1;a13=1/5表示對(duì)小區(qū)A與C的影響之比為1∶5;a24=2表示對(duì)小區(qū)B與D的影響之比為2∶1.由此可知，單位距離因素對(duì)小區(qū)的影響為P3，P1，P2，P4，即對(duì)小區(qū)C影響最大，A和B次之，D最小.

表8 矩陣C4－P

3.2模型的結(jié)果分析

利用單一準(zhǔn)則獲得的權(quán)值和各準(zhǔn)則所占比重計(jì)算出每個(gè)方案總的得分(權(quán)數(shù))，如表9所示.

表9 各方案總得分

由表9可知:小區(qū)A在總目標(biāo)中的總得分為0.370 09;小區(qū)B在總目標(biāo)中的總得分為0.246 368;小區(qū)C在總目標(biāo)中的總得分為0.113 891;小區(qū)D在總目標(biāo)中的總得分為0.269 651.

從最終的排序結(jié)果可以看出，A，B，C，D這4個(gè)小區(qū)所占權(quán)重的大小為P1＞P2＞P4＞P3，即在購(gòu)買(mǎi)房屋時(shí)，最先考慮的是A小區(qū)，其次是B小區(qū)，再次是D小區(qū)，最后是C小區(qū).AHP定量結(jié)果計(jì)算出購(gòu)房時(shí)的各種影響因素，以及在評(píng)價(jià)時(shí)決策的權(quán)重，為消費(fèi)者的選擇提供了有效且可靠的依據(jù).

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(責(zé)任編輯 向陽(yáng)潔)

Some Problems of the AHP and Its Application

XU Yong-lin
(Mathematics and Computer College，North-Western Minorities University，Lanzhou 730030，China)

The analytic hierarchy process(AHP)is widely used in many fields as a classical multi attribute decision-making approach.Through studying the basic theory of AHP，the AHP method was given to determine weight.Method and procedure to solve multi-objective decision by AHP are described.Through the specific examples of property purchase，scientific methods to make consumption decision are presented.

analytic hierarchy process;judgment matrix;scale;multi-objective decision making;weight

C934

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2013.02.003

1007-2985(2013)02-0012-07

2012-12-11

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11161041);2011—2012年度校級(jí)中青年科研基金項(xiàng)目(12XB39);2013中央

高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金項(xiàng)目(31920130006)

徐永琳(1969-)，女，甘肅夏河人，西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院副教授，碩士，主要從事數(shù)學(xué)課程

與教學(xué)論、運(yùn)籌學(xué)研究.