唐保祥，任 韓

(1.天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅天水 741001;2.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海 200062)

一類廣義格路的計(jì)數(shù)*

唐保祥1，任 韓2

(1.天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅天水 741001;2.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海 200062)

連結(jié)m×n的棋盤上一對(duì)對(duì)角頂點(diǎn)的路稱為廣義格路.利用限位排列計(jì)數(shù)方法，得到m×n的棋盤上長為m+ n+2的廣義格路的計(jì)數(shù)公式.

棋盤;廣義格路;字符序列;雙射

1 基本概念

通常2維平面上的格路是平面棋盤上沿著方格的邊向右、向上行進(jìn)的一條路.格路計(jì)數(shù)的方法和已有結(jié)果，在組合計(jì)數(shù)和組合恒等式的證明中有一定應(yīng)用［1-9］.文中所指的廣義格路，是平面棋盤上沿著方格的邊向左、向右、向上和向下4個(gè)方向都可以行進(jìn)且不相交的格路.

為了研究問題不產(chǎn)生歧義，給出下面精確定義.

定義1將寬和長分別為m和n個(gè)單位的矩形的長和寬分別m和n等分，再依次分別連結(jié)對(duì)邊上的等分點(diǎn)，所得圖形稱為一個(gè)m×n的棋盤，記作Qm×n.

定義2設(shè)A和B是m×n的棋盤Qm×n上最大矩形的一對(duì)對(duì)角頂點(diǎn)，棋盤Qm×n上一條沿著小方格的邊向左、向右、向上和向下4個(gè)方向都可以行進(jìn)且不相交的由A到B的路，稱為Qm×n上A到B的一條廣義格路.

對(duì)任意正整數(shù)m和n，棋盤Qm×n上A到B的所有廣義格路有多少條，至今未見到相關(guān)結(jié)果的文獻(xiàn).筆者用限位排列計(jì)數(shù)方法，得到了m×n的棋盤Qm×n上一對(duì)對(duì)角頂點(diǎn)間長為m+n+2的廣義格路的顯式計(jì)數(shù)公式.

設(shè)S1是由字符x，y和y-1形成的滿足下列3個(gè)條件的字符序列的集合:

定理1設(shè)有i個(gè)字母a，j個(gè)字母b，k個(gè)字母c，1≤i＜j.將這些字母排成字符串，要求若i＞1，每2個(gè)相距最近的a之間至少有1個(gè)b，且最左邊的字母a的左邊和最右邊的字母a的右邊至少各有1個(gè)b.設(shè)f(i，j，k)表示滿足上述要求的所有字符串的個(gè)數(shù)，則

在如今電動(dòng)網(wǎng)聯(lián)化的大趨勢(shì)下，輕量化顯得尤其的重要。減輕汽車車身的質(zhì)量能在一定程度上增加電動(dòng)車的里程，降低能耗。由于在汽車零部件的結(jié)構(gòu)件中，常用的材料是玻纖增強(qiáng)型的復(fù)合材料，將振動(dòng)力場(chǎng)引入復(fù)合材料注塑的全過程，能夠增強(qiáng)和優(yōu)化玻纖的取向，降低剪切力場(chǎng)對(duì)玻纖的破壞，從而達(dá)到提高制品力學(xué)性能的目的，給結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)師提供了對(duì)制品進(jìn)行優(yōu)化的空間，實(shí)現(xiàn)制品的輕量化。

證明顯然集合S1和S2都是有限集合，且只有m=n=1時(shí)，S1=S2=?，結(jié)論成立.下面假設(shè)m= n≥2.做集合S1到S2的對(duì)應(yīng)法則f如下:?l1∈S1，將序列l(wèi)1中的每個(gè)x換成y，每個(gè)y換成x，將y-1換成x-1，將上述變換所得的新字符序列記為l2，即f(l1)=l2，則l2∈S2.易知f是集合S1到S2的雙射，所以

(2)字符串xy-1x在S1的每個(gè)字符序列中都以整體形式恰出現(xiàn)1次(在S1的字符序列中算3個(gè)字符);

對(duì)于中國農(nóng)民而言，“糾紛寶塔理論”所刻畫的由下至上的糾紛解決層級(jí)結(jié)構(gòu)并非是一個(gè)需要“攀爬”的實(shí)體[14]，而是一個(gè)可以靈活選擇而跳躍達(dá)至的扁平結(jié)構(gòu)。鄉(xiāng)土正義系統(tǒng)是糾紛解決過程中以農(nóng)民的法律資源選擇為主的法律秩序公共品集合體。就本文的分析所及，鄉(xiāng)土正義供給系統(tǒng)看似具有層級(jí)性，但在農(nóng)民進(jìn)行法律資源選擇的過程中，正義系統(tǒng)中的部件結(jié)構(gòu)卻是扁平化的，農(nóng)民既可以找村干部調(diào)解糾紛，也可以向派出所尋求幫助，也可以綜合利用鄉(xiāng)鎮(zhèn)政府的熟人關(guān)系網(wǎng)絡(luò)來促成糾紛的解決。

(1)S1的每個(gè)字符序列的長度均為m+n+2，其中恰有1個(gè)y-1，m+1個(gè)y，n個(gè)x;

(3)S1的每個(gè)字符序列中，xy-1x作為一個(gè)整體，在其之前和之后至少各出現(xiàn)1個(gè)字符y.

其二，英國國內(nèi)以牛津?yàn)橹行?，掀起了轟轟烈烈的天主教復(fù)興運(yùn)動(dòng)，力圖洗滌生活在工業(yè)文明塵埃下的國人日益模糊的信仰，喚醒他們心中的純潔本質(zhì)。此項(xiàng)運(yùn)動(dòng)為拉斐爾前派的誕生做好了精神鋪墊。

(3)S2的每個(gè)字符序列中，yx-1y作為一個(gè)整體，在其之前和之后至少各出現(xiàn)1個(gè)字符x.

(2)字符串yx-1y在S2的每個(gè)字符序列中都以整體形式恰出現(xiàn)1次(在S2的字符序列中算3個(gè)字符);

(1)S2的每個(gè)字符序列的長度均為m+n+2，其中恰有1個(gè)x-1，n+1個(gè)x，m個(gè)y;

2 主要結(jié)果及其證明

廢了拋光技術(shù)我還混個(gè)逑？除了拋光，我啥也不會(huì)。我在大發(fā)廠打了六年工，天天戴口罩，戴手套，和拋光機(jī)打交道。多復(fù)雜的異型產(chǎn)品，再多的瑕疵，到了我手里，往拋光機(jī)上一拋，麻子也能放光彩。林老板是賞識(shí)我的，有意栽培我，去年剛提我當(dāng)了拋光課長。誰知才一年，我就提出辭工了。其實(shí)我也沒料到，要不是阿花三番五次地催我，我不會(huì)考慮辭工。

RC4目前應(yīng)用范圍十分的廣泛，它被應(yīng)用在SSL/TLS(安全套接字協(xié)議/傳輸層安全協(xié)議)標(biāo)準(zhǔn)中，以及作為無線局域網(wǎng)標(biāo)準(zhǔn)的一部分，還被應(yīng)用在無線系統(tǒng)以保證無線鏈路的安全。從各種各樣的應(yīng)用，我們可以看出來RC4算法是目前網(wǎng)絡(luò)通信的重要組成部分，這個(gè)算法非常的重要。

設(shè)S2是由字符x，y和x-1形成的滿足下列3個(gè)條件的字符序列的集合:

定理2對(duì)上述字符集合S1和S2，若m=n，則有

科技查新事實(shí)型數(shù)據(jù)應(yīng)用的重點(diǎn)是：基于數(shù)據(jù)庫圍繞查新人員或機(jī)構(gòu)、研究領(lǐng)域以及創(chuàng)新主題，開展數(shù)據(jù)的挖掘和信息統(tǒng)計(jì)分析服務(wù)，為政府決策提供參考，為科研人員的課題選擇提供信息服務(wù)。研究的側(cè)重點(diǎn)在于將科技查新數(shù)據(jù)應(yīng)用到企業(yè)技術(shù)創(chuàng)新研究中，從科技查新事實(shí)型數(shù)據(jù)庫來推演分析企業(yè)的技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，尤其是基于湖北省科技查新數(shù)據(jù)庫，從企業(yè)的產(chǎn)品創(chuàng)新出發(fā)，識(shí)別出全省的新興產(chǎn)業(yè)、前沿產(chǎn)業(yè)和重點(diǎn)產(chǎn)業(yè)，并通過關(guān)聯(lián)分析，找出技術(shù)創(chuàng)新、企業(yè)發(fā)展和產(chǎn)業(yè)升級(jí)的痛點(diǎn)，精準(zhǔn)推演政策需求，并通過實(shí)證研究，為科技企業(yè)培育工程的精準(zhǔn)施策提供更有價(jià)值的參考。

定理3設(shè)A和B是m×n的棋盤Qm×n上最大矩形的一對(duì)角頂點(diǎn)，P是棋盤Qm×n上由A到B長為m +n+2的廣義格路的集合，對(duì)上述字符序列集合S1和S2，令S=S1∪S2，

證明顯然S1∩S2由A到B的一條廣義格路，若在整個(gè)路途中共向右走了n步，向上走了m+1步，向下走了1步，稱之為p1類廣義格路;若在整個(gè)路途中共向右走了n+1步，向上走了m，向左走了1步，稱之為p2類廣義格路.對(duì)由A到B的一條廣義格路，每向右走1步，順次記1個(gè)字符x;向上走1步，順次記1個(gè)字符y;向左走1步，順次記1個(gè)字符x-1;向下走1步，順次記1個(gè)字符y-1.那么對(duì)?pi∈P，若i =1，就唯一得到S1的字符序列l(wèi)1;若i=2，就唯一得到S2中的字符序列l(wèi)2.反之，對(duì)?l1∈S1，則唯一對(duì)應(yīng)于P中一條p1類廣義格路;?l2∈S2，則唯一對(duì)應(yīng)于P中一條p2類廣義格路.所以集合P和S間存在一個(gè)雙射，從

定理4設(shè)A和B是m×n的棋盤Qm×n上最大矩形的一對(duì)角頂點(diǎn)，P是棋盤Qm×n上由A到B長為m +n+2的廣義格路的集合，令f(m，n)

消費(fèi)的轉(zhuǎn)型升級(jí)無形中提升了生活質(zhì)量，因此人們對(duì)高品質(zhì)生活的追求促進(jìn)了新電商的發(fā)展，大數(shù)據(jù)時(shí)代下能清晰了解消費(fèi)群體的喜好，因此商戶能夠相對(duì)科學(xué)判斷消費(fèi)者的需求，從而為特定人群匹配相應(yīng)產(chǎn)品，從而降低成本同時(shí)還提高了服務(wù)質(zhì)量。

證明由定理3知，對(duì)給定的m，n，需要求

情形1m，n≥2.

對(duì)于S1的字符序列，將xy-1x作為一個(gè)整體看成字母a，將y看成字母b，將x看成字母c，由S1的定義知，S1中的每個(gè)字符序列唯一對(duì)應(yīng)著一個(gè)滿足定理1條件的有1個(gè)a，m+1個(gè)b，n-2個(gè)c的字符串;對(duì)于S2的字符序列，將yx-1y作為一個(gè)整體看成字母a，將x看成字母b，將y看成字母c，由S2的定義知，S2中的每個(gè)字符序列唯一對(duì)應(yīng)著一個(gè)滿足定理1條件的有1個(gè)a，n+1個(gè)b，m-2個(gè)c的字符串.因此由定理1知，

例22×3的棋盤一對(duì)對(duì)角頂點(diǎn)間共有f(2，3)=13條長度為7的廣義格路，這13條廣義格路以及對(duì)應(yīng)的字符序列如圖1所示.

圖1 2×3棋盤一對(duì)對(duì)角頂點(diǎn)間的13條廣義格路

［1］ MOSER L，ZAYACHKOWSKY W.Lattice Paths With Diagonal Steps［J］.Scripta Math.，1963，26:223-229.

［2］ CHU Wen-chang.On the Lattice Path Methods in Convolution-Type Combinatorial Identities［J］.Chinese Quarterly Jounal of Mathematics，1988，3(4):1-5.

［3］ KAPARTHI S，RAO H R.Higher Dimensional Restricted Lattice Paths with Diagonal Steps［J］.Discrete Appl.Math.，1991，31:279-289.

［4］ 初文昌.格路計(jì)數(shù)與經(jīng)典分拆恒等式［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，1992，12(1):52-57.

［5］ 王天明，馬欣榮.格路與組合恒等式［J］.大連理工大學(xué)學(xué)報(bào)，1994，34(6):628-632.

［6］ 王天明，馬欣榮.格路與Vandermonde卷積恒等式［J］.大連理工大學(xué)學(xué)報(bào)，1996，36(6):639-644.

［7］ LU Qing-lin.A Note on Lattice Paths with Diagonal Steps in Three-Dimensional Space［J］.Journal of Mathematical Research and Exposition，2005，25(3):447-450.

［8］ 王恒亮，陳晶晶，王 燕.幾個(gè)格路計(jì)數(shù)問題的推廣［J］.天津城市建設(shè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，12(3):234-236.

［9］ 常海廷，盧青林，陳美娟.基于格路模型的組合恒等式及其證明［J］.徐州工程學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，24(2):7 -9.

(責(zé)任編輯 向陽潔)

Counting of One Kind of Generalized Lattice Path

TANG Bao-xiang1，REN Han2
(1.School of Mathematics and Statistics，Tianshui Normal University，Tianshui 741001，Gansu China; 2.Department of Mathematics，East China Normal University，Shanghai 200062，China)

The generalized lattice path is made by joining path which is on a pair of diagonal vertices on the chessboard ofm×n.The counting formula of the generalized lattice path whose length ism+n+2 on chessboard ofm×nhas been obtained by using the counting method of the spacing permutations.

chessboard;generalized lattice path;character sequence;bijection

O157

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2013.02.001

1007-2985(2013)02-0001-04

2012-12-02

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11171114)

唐保祥(1961-)，男，甘肅天水人，天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授，主要從事圖論和組合數(shù)學(xué)研究.