楊 軍，劉勇瓊，艾春安，張 菲

(1.第二炮兵工程大學(xué)，西安 710025;2.中國(guó)航天科技集團(tuán)公司四院四十三所，西安 710025;3.中國(guó)航天科技集團(tuán)公司四院四十一所，西安 710025)

0 引言

導(dǎo)彈氣動(dòng)問(wèn)題具有高度非線(xiàn)性，且受限于CFD計(jì)算效率。因此，在其氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究中，無(wú)論是基于梯度信息的直接優(yōu)化法，還是遺傳算法等現(xiàn)代智能非梯度優(yōu)化方法，算法的收斂難度和速度均不滿(mǎn)足工程實(shí)際需要［1］。

近似優(yōu)化技術(shù)本質(zhì)上將便于計(jì)算的近似函數(shù)耦合到優(yōu)化算法中，代替復(fù)雜的學(xué)科分析進(jìn)程，多次迭代循環(huán)后，得到實(shí)際問(wèn)題的近似最優(yōu)解。Kriging模型由于適用于擬合高度非線(xiàn)性、多峰值的問(wèn)題而廣泛用于飛行器氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中。Shinkyu J等［2］將Kriging模型和遺傳算法相結(jié)合，對(duì)二維翼型進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。張科施等［3］將Kriging模型和其他近似模型進(jìn)行比較后，建立了基于近似技術(shù)的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化框架，并用于高亞聲速運(yùn)輸機(jī)機(jī)翼氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。許瑞飛等［1］將超立方抽樣試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法、EI方法、不斷更新的Kriging模型與優(yōu)化方法結(jié)合，發(fā)展了基于改進(jìn)Kriging模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)算法，并用于RAE2822翼型優(yōu)化設(shè)計(jì)中。孫美建等［4］采用改進(jìn)的量子粒子群算法，對(duì)Kriging模型的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，并與具有雙層結(jié)構(gòu)的粒子群算法相結(jié)合，對(duì)高維度、多目標(biāo)、多約束的跨聲速機(jī)翼進(jìn)行了優(yōu)化。目前，國(guó)內(nèi)還沒(méi)有將Kriging模型用于沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)導(dǎo)彈氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，且對(duì)該近似模型的擬合精度研究也不夠深入。

本文在深入研究相關(guān)參數(shù)θ對(duì)導(dǎo)彈氣動(dòng)學(xué)科Kriging近似模型擬合精度影響的基礎(chǔ)上，基于最優(yōu)相關(guān)參數(shù)將均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法、Kriging模型與遺傳算法結(jié)合，提出了一種基于改進(jìn)Kriging模型優(yōu)化設(shè)計(jì)框架。將該方法用于固沖發(fā)動(dòng)機(jī)導(dǎo)彈氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，優(yōu)化后導(dǎo)彈的升阻比得到了極大提高，表明本文方法是可行的。

1 Kriging模型

Kriging模型中響應(yīng)值與設(shè)計(jì)變量之間的關(guān)系可表示為

式中 y(x)為未知函數(shù);f(x)為設(shè)計(jì)空間的全局模擬;z(x)為局部偏差。

式中 pT(x)為多項(xiàng)式基函數(shù)組;β為系數(shù)向量。

z(x)為隨機(jī)過(guò)程的實(shí)現(xiàn)，其統(tǒng)計(jì)特性為

式中 R為相關(guān)矩陣;R(xi，xj)是任意兩樣本點(diǎn)xi、xj的相關(guān)函數(shù)。

R是n×n階對(duì)稱(chēng)矩陣(n為樣本點(diǎn)個(gè)數(shù))，相關(guān)函數(shù)的形式常用的有指數(shù)函數(shù)、高斯函數(shù)、樣條函數(shù)等，本文選取的高斯相關(guān)函數(shù)表達(dá)式為

式中 ndv為設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù);θk為未知的相關(guān)參數(shù);xik、xjk是樣本點(diǎn) xi、xj的第 k維元素。

式中 Y為樣本點(diǎn)響應(yīng)量矩陣;f為全1列向量;r(x)為樣本點(diǎn)和預(yù)測(cè)點(diǎn)之間的相關(guān)向量。

r(x)滿(mǎn)足:

方差由式(8)求得:

式(4)中的相關(guān)參數(shù)θk可由極大似然估計(jì)得到:

任意一組θk都能生成一個(gè)插值模型，但最優(yōu)的θk能使得Kriging模型的預(yù)測(cè)精度最高，這需要求解式(9)的無(wú)約束非線(xiàn)性?xún)?yōu)化問(wèn)題得到。

2 基于遺傳算法的最優(yōu)相關(guān)參數(shù)

2.1 問(wèn)題分析

本文基準(zhǔn)導(dǎo)彈方案采用整體式固沖發(fā)動(dòng)機(jī)、雙下側(cè)二元進(jìn)氣道，2個(gè)彈翼和4個(gè)操縱尾翼呈X-X型正常式氣動(dòng)布局。其典型縱向彈道可分為爬升段、巡航段和俯沖段。導(dǎo)彈巡航馬赫數(shù)為3，巡航高度10 km。根據(jù)不同外形參數(shù)對(duì)導(dǎo)彈氣動(dòng)力系數(shù)的不同程度的影響，本文選取下述7個(gè)變量作為導(dǎo)彈氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)變量:導(dǎo)彈頭部長(zhǎng)細(xì)比λn、彈翼展弦比λw、彈翼梢根比ηw、尾翼梢根比 ηT、彈翼后掠角 χw、尾翼后掠角 χT、進(jìn)氣道唇口寬高比kn，各變量的取值范圍如表1所示。

2.2 遺傳算法(GA)求解

在Matlab下開(kāi)發(fā)遺傳搜索算法源程序，求解導(dǎo)彈氣動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)相關(guān)參數(shù)θ。同樣，用上述的21組數(shù)據(jù)作為構(gòu)造Kriging模型的初始樣本點(diǎn)。遺傳算法主要參數(shù):θ取值空間為［0，15］，初始種群規(guī)模為100，最大進(jìn)化代數(shù)40。源程序模塊包括GA主程序、適應(yīng)值函數(shù)計(jì)算模塊、優(yōu)化結(jié)果輸出模塊。程序獨(dú)立運(yùn)行10次，每一次均收斂良好且結(jié)果統(tǒng)一。圖2為升阻力系數(shù)最優(yōu)相關(guān)參數(shù)θ的GA迭代收斂曲線(xiàn)。

表1 優(yōu)化變量取值范圍Table 1 Range of the optimization variables

圖1 Kriging近似模型相關(guān)系數(shù)曲線(xiàn)Fig.1 The correlated parameters of Kriging approximate model

圖2 相關(guān)參數(shù)GA優(yōu)化迭代歷史Fig.2 Correlated parameter＇s iterative history of GA

由上述結(jié)果可知，升力系數(shù)相關(guān)參數(shù)θ穩(wěn)定收斂到最優(yōu)解3.08，阻力系數(shù)相關(guān)參數(shù)收斂到最優(yōu)解12.002，即對(duì)于本文的導(dǎo)彈氣動(dòng)學(xué)科 Kriging近似模型，在上述21組初始樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，最優(yōu)的相關(guān)參數(shù) θ分別取3.08、12.002。

2.3 Kriging近似模型精度預(yù)測(cè)

為了驗(yàn)證在最優(yōu)θ取值條件下，Kriging近似模型對(duì)導(dǎo)彈氣動(dòng)特性的預(yù)測(cè)能力，這里對(duì)氣動(dòng)問(wèn)題的擬合能力做了進(jìn)一步檢驗(yàn)。在隨機(jī)產(chǎn)生的20組預(yù)測(cè)樣本點(diǎn)條件下，分別用所建立的Kriging近似模型和Missile datcom精確分析模型計(jì)算導(dǎo)彈的氣動(dòng)力系數(shù)，2種模型下升力系數(shù)、阻力系數(shù)比較如圖3所示，對(duì)應(yīng)的該近似模型精度如表2所示，其中，e－為相對(duì)誤差均值，σe為相對(duì)誤差標(biāo)準(zhǔn)差，二者的具體定義可參考文獻(xiàn)［5］。

圖3 預(yù)測(cè)樣本點(diǎn)處氣動(dòng)力系數(shù)比較Fig.3 Comparson of aerodynamic coefficients on predicted sample points

表2 預(yù)測(cè)樣本點(diǎn)處Kriging近似模型精度評(píng)估Table 2 Accuracy of Kriging approximate model on predicted sample points

綜上結(jié)果可見(jiàn)，盡管初始樣本點(diǎn)較少，但本文構(gòu)造的用于固沖發(fā)動(dòng)機(jī)導(dǎo)彈氣動(dòng)優(yōu)化的Kriging近似模型精度滿(mǎn)足要求，該模型能夠在一定精度范圍內(nèi)替代比較耗時(shí)的氣動(dòng)分析程序，并完成相關(guān)的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)工作。

3 導(dǎo)彈氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 基于改進(jìn)的Kriging模型優(yōu)化設(shè)計(jì)算法框架

本文在遺傳算法每次迭代中，都將上一代的最優(yōu)個(gè)體信息加入到原有樣本集中，然后重新生成Kriging模型，這樣樣本點(diǎn)數(shù)量將隨著優(yōu)化迭代不斷增加并更新，同時(shí)不斷接近最優(yōu)解的臨域。圖4為基于不斷更新的Kriging模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)算法框架。

圖4 基于Kriging模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)算法框架Fig.4 Improved algorithmic framework based on Kriging approximate model

3.2 固沖發(fā)動(dòng)機(jī)導(dǎo)彈氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)

根據(jù)圖4算法框架進(jìn)行導(dǎo)彈氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)，采用遺傳算法尋找目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值。以彈翼和尾翼面積作為約束條件，彈身最大橫截面面積保持不變，進(jìn)行全彈最大升阻比優(yōu)化設(shè)計(jì)。導(dǎo)彈飛行工況取巡航狀態(tài):攻角2°，馬赫數(shù) 3.0，雷諾數(shù) Re=5 172 612.76，優(yōu)化問(wèn)題可描述為

式中 K為升阻比;AW、AT分別為彈翼和尾翼面積;AW0、AT0分別為優(yōu)化前導(dǎo)彈彈翼和尾翼面積;xiL和 xiU分別為設(shè)計(jì)變量取值上下限。

控制遺傳算法最大進(jìn)化代數(shù)100，初始種群規(guī)模取300，GA迭代歷史如圖5所示。表3給出了優(yōu)化前后導(dǎo)彈各氣動(dòng)外形參數(shù)(即各設(shè)計(jì)變量)和升力系數(shù)、阻力系數(shù)、升阻比(即狀態(tài)變量)相對(duì)于原基準(zhǔn)值的變化。

圖5 遺傳算法氣動(dòng)優(yōu)化迭代歷史Fig.5 Optimized iterative history of GA

表3 導(dǎo)彈氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果Table 3 Results of aerodynamic optimization

由上述結(jié)果可見(jiàn)，本文采用的氣動(dòng)優(yōu)化算法穩(wěn)定收斂。優(yōu)化后彈翼和尾翼橫截面形狀均變化明顯，彈翼后緣掠角明顯增加，尾翼前后緣掠角均有很大增加，但梢根比有減小。另外，導(dǎo)彈頭部更加細(xì)長(zhǎng)，這對(duì)減阻和氣動(dòng)防熱設(shè)計(jì)均有利，進(jìn)氣道本身相當(dāng)于一個(gè)升力面，其入口寬高比也有增加。優(yōu)化設(shè)計(jì)最終得到的方案下，全彈阻力系數(shù)下降了13.9%，而升力系數(shù)上升了4.92%，最終的升阻比上升達(dá)21.9%，且優(yōu)化前后導(dǎo)彈彈翼、尾翼面積保持不變，優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果較好。

另外，隨著遺傳算法迭代次數(shù)的增加，越來(lái)越多的樣本點(diǎn)被加入到樣本集中，Kriging模型的近似精度也得到很大提高。同時(shí)，針對(duì)在最優(yōu)解附近可能有多個(gè)相近峰值，GA求解獲得的最優(yōu)群體一般分布于各個(gè)峰值附近，以上算法通過(guò)多次更新Kriging模型，也可避免漏選全局最優(yōu)解。

4 結(jié)束語(yǔ)

(1)本文通過(guò)求解最優(yōu)相關(guān)參數(shù)，對(duì)Kriging模型的擬合精度進(jìn)行了詳細(xì)研究。結(jié)果表明，在樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)受限條件下，通過(guò)搜索算法求得最優(yōu)相關(guān)參數(shù)，可保證Kriging模型具有足夠的擬合精度。

(2)提出一種基于不斷更新Kriging模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)算法框架，并用于固沖發(fā)動(dòng)機(jī)導(dǎo)彈氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究中，實(shí)現(xiàn)了導(dǎo)彈氣動(dòng)性能的較大提高，對(duì)實(shí)際工程設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義。

［1］許瑞飛，宋文萍，韓忠華.改進(jìn)Kriging模型在翼型氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用研究［J］.西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，28(4):503-510.

［2］Shinkyu J M M，K Y.Efficient optimization design method using Kriging［R］.AIAA 2004-118.

［3］張科施，韓忠華，李為吉，等.基于近似技術(shù)的高亞聲速運(yùn)輸機(jī)機(jī)翼氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.航空學(xué)報(bào)，2006，27(5):810-815.

［4］孫美建，詹浩.Kriging模型在機(jī)翼氣動(dòng)外形優(yōu)化中的應(yīng)用［J］.航空動(dòng)力學(xué)學(xué)報(bào)，2011，29(6):759-764.

［5］于劍橋，文仲輝，梅躍松，等.戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈總體設(shè)計(jì)［M］.北京:北京航空航天大學(xué)出版社.2010.