耿克達，周 軍，林 鵬

(西北工業(yè)大學精確制導與控制研究所，西安 710072)

0 引言

現(xiàn)代反導攔截系統(tǒng)對再入飛行器突防生存能力提出了更高要求，作為一種新型的飛行器變軌技術，變質(zhì)心控制成為近年來研究的熱點問題之一。它通過改變飛行器系統(tǒng)質(zhì)心位置，利用飛行器高速運動產(chǎn)生的氣動力和力矩，對飛行器進行姿態(tài)控制。與傳統(tǒng)控制方式(主要指氣動舵和RCS方式)相比，它具有以下優(yōu)點［1－6］:變質(zhì)心機構位于飛行器內(nèi)部，保證了飛行器良好的氣動外形;無需特殊解決機構的燒蝕問題;節(jié)省系統(tǒng)工質(zhì)消耗，結(jié)構簡單。

雖然變質(zhì)心控制有許多優(yōu)點，但在實際應用中也存在其不足。例如:為了實現(xiàn)對飛行器三通道的有效控制，需采用三維變質(zhì)心控制。這一方面，導致系統(tǒng)非線性、耦合性以及不確定性非常嚴重，控制器設計非常復雜;另一方面，又增加了執(zhí)行機構的設計難度;同時，由于飛行器軸向過載較大，使得軸向質(zhì)量塊所需驅(qū)動功率很大［7］。因此，本文采用一種變質(zhì)心/氣動舵復合控制再入飛行器構型，其中飛行器俯仰和偏航通道采用變質(zhì)心控制，滾轉(zhuǎn)通道采用差動舵控制。這種方式減小了變質(zhì)心控制帶來的各種耦合與干擾，同時又盡可能地保證了飛行器良好的氣動外形。

由于變質(zhì)心控制導致慣性主軸偏移，同時質(zhì)量塊運動引入干擾力矩和控制耦合，使得變質(zhì)心再入飛行器具有更強的耦合性、非線性以及模型不確定性。因此，對變質(zhì)心再入飛行器，需采用先進控制方法設計其控制律［1，8－12］。退步控制由于其獨特的構造性設計過程和對非匹配不確定性的處理能力，在飛機及導彈控制系統(tǒng)設計得到了成功應用［7，13－14］。

本文擬將自適應滑模與退步控制相結(jié)合，研究變質(zhì)心復合控制飛行器在不確定干擾下的非線性控制系統(tǒng)設計方法。本文首先對變質(zhì)心/氣動舵復合控制再入飛行器進行了數(shù)學建模;在此基礎上，將系統(tǒng)質(zhì)心移動導致的慣性主軸偏移和慣性力矩作為不確定項，對飛行器參數(shù)攝動和變質(zhì)心控制引起的各類不確定性進行分析，并得到系統(tǒng)的仿射模型;最后，利用反饋線性化和退步控制技術，設計了飛行器三通道自適應滑模魯棒控制器。

1 變質(zhì)心再入飛行器數(shù)學模型

變質(zhì)心復合控制再入飛行器構型如圖1所示，將其看作為多剛體系統(tǒng)。其中，飛行器本體(不含滑動質(zhì)量塊)質(zhì)心為C，質(zhì)量為mC;2個滑動質(zhì)量塊質(zhì)心分別為A和B，質(zhì)量為mA和mB，初始安裝位置在飛行器本體質(zhì)心處，可分別沿飛行器y軸和z軸運動;系統(tǒng)總質(zhì)量 ms=mA+mB+mC，質(zhì)量比 μA=mA/ms，μB=mB/ms。

圖1 變質(zhì)心/氣動舵復合控制再入飛行器結(jié)構示意圖Fig.1 Structure of moving mass/rudder compound control reentry vehicle

采用矢量力學法，直接給出飛行器的動力學方程。其中，系統(tǒng)質(zhì)心平動方程在再入系下描述，繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動方程在本體系下描述。

質(zhì)心平動方程:

繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動方程:

其中

式中 VC為飛行器本體相對慣性系的速度矢量在再入系下的投影;F、MC為飛行器本體所受氣動力和力矩;G為系統(tǒng)所受地球引力;Fa、Fb分別為兩質(zhì)量塊運動引起的慣性力;MA為兩質(zhì)量塊運動引起的慣性力矩;ωe為地球自轉(zhuǎn)角速度矢量;ωb為飛行器相對慣性系姿態(tài)角速度;IC為飛行器本體的轉(zhuǎn)動慣量矩陣;Mδx為差動舵產(chǎn)生的滾轉(zhuǎn)控制力矩;rCA和rCB分別為兩滑塊相對飛行器本體質(zhì)心的矢徑。

忽略地球自轉(zhuǎn)和質(zhì)量塊運動產(chǎn)生的慣性力矩，并假設飛行器俯仰與偏航通道姿態(tài)角及角速度均為小量，可對飛行器姿態(tài)方程進行簡化。同時，考慮到飛行器氣動角α、β在實際中難以測量。因此，將其替換為實際中容易獲得的法向過載ny與側(cè)向過載nz。對于三通道穩(wěn)定飛行器，其速度傾斜角γv很小，有:

因此，可得簡化后的姿態(tài)方程:

式中 ai(i=1，2，…，17)為與質(zhì)量塊質(zhì)量、飛行器本體總體參數(shù)、氣動參數(shù)以及姿態(tài)角相關的自定義系數(shù)。

對上述MIMO系統(tǒng)，取狀態(tài)變量x1、x2，控制變量u，定義:

可得變質(zhì)心再入飛行器標稱仿射模型:

2 變質(zhì)心再入飛行器攝動分析

與傳統(tǒng)飛行器相似，變質(zhì)心再入飛行器同樣存在氣動參數(shù)、質(zhì)量參數(shù)及總體參數(shù)的攝動;同時，由于在模型簡化中采用了小角度假設，因此式(6)中f1、f2、B1及B2均存在參數(shù)不確定性。

此外，由于變質(zhì)心機構的引入，使得模型具有獨特的不確定性。

(1)變質(zhì)心機構運動引入的干擾力矩

由式(3)可知，變質(zhì)心機構的位移、速度和加速度都會對系統(tǒng)產(chǎn)生干擾力，并通過系統(tǒng)質(zhì)心偏移引入到飛行器姿態(tài)方程中。由于在有限的飛行器空間內(nèi)，變質(zhì)心機構的位移、速度和加速度均為時變有界量，由此引入的干擾力矩也為時變有界量。

(2)變質(zhì)心機構引入的轉(zhuǎn)動慣量偏差

由于變質(zhì)心機構改變了飛行器總質(zhì)心位置，使得飛行器轉(zhuǎn)動慣量發(fā)生改變。忽略質(zhì)量塊自身轉(zhuǎn)動慣量，變質(zhì)心再入飛行器轉(zhuǎn)動慣量矩陣為

由式(7)可知，質(zhì)量塊運動一方面改變了主轉(zhuǎn)動慣量，另一方面改變了飛行器慣性主軸，產(chǎn)生了慣量積，對模型引入了慣性耦合干擾。

(3)變質(zhì)心機構安裝位置偏差引入的不確定項

不失一般性，假設變質(zhì)心機構安裝位置偏差為lCA=(lCAx，lCAy，lCAz)T和 lCB=(lCBx，lCBy，lCBz)T(實際設計中，為了實現(xiàn)機構的正常運動，該偏差是必然存在的，且 lCAx≠lCBx≠0［7］)。因此，在設計控制器時，必須考慮該偏差引入的干擾力矩:

其中

(4)飛行器質(zhì)心偏差引入的不確定項

相比傳統(tǒng)控制方式，變質(zhì)心控制受飛行器重壓心距影響更為嚴重。因此，將質(zhì)心偏差引入的不確定項特殊考慮。由于測量和氣動燒蝕的不確定性，飛行器質(zhì)心必然存在偏差。假設飛行器質(zhì)心偏差lC=(lCx，lCy，lCz)T，該偏差為一緩慢變化量，可忽略其動態(tài)特性。則質(zhì)心偏差引入的不確定項包括3部分:

a.飛行器本體轉(zhuǎn)動慣量不確定項，其形式與式(7)類似。

b.飛行器氣動力矩系數(shù)不確定項，其表達式為

式中 L為飛行器參考長度。

由文獻［5］可知，ΔCm對變質(zhì)心機構的控制能力影響很大。

c.與變質(zhì)心機構相對位置不確定項，其引入的干擾力矩形式與式(8)類似。

綜上，可將變質(zhì)心再入飛行器仿射攝動模型寫為

式中 Δf1、Δf2為飛行器本體氣動參數(shù)和總體參數(shù)引起的攝動項;ΔB1、ΔB2為輸入不確定項;d為式(1)～式(4)所討論的變質(zhì)心不確定項。

3 自適應滑模退步控制系統(tǒng)設計

由前文分析可知，與傳統(tǒng)再入飛行器相比，變質(zhì)心再入飛行器具有更強的模型不確定性。因此，必須對其設計高性能魯棒控制器。

本文基于反饋線性化原理和標準退步控制思想，分別設計了其過載和姿態(tài)角速度雙回路控制器。同時，為了更好地克服系統(tǒng)不確定性，在不確定性上界未知的情況下，采用滑模控制方法，并通過自適應算法對滑模參數(shù)進行更新，最終將其綜合為一種三通道自適應滑模退步控制系統(tǒng)設計方法?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構框圖如圖2所示。

圖2 自適應滑模退步控制結(jié)構框圖Fig.2 Structure of adaptive sliding mode backstepping control

3.1 外環(huán)控制器設計

根據(jù)退步設計思想，首先對外環(huán)設計自適應滑模控制器。根據(jù)式(6)，取 x2=(ωx，ωy，ωz)T為虛擬控制量。

定義1:對任意向量ξ∈rn，記:

定義 2:向量 ζ，ζ∈rn，若:

則記為

由前文分析可知，外環(huán)不確定項是由飛行器本體氣動及總體參數(shù)攝動引起的，且為一連續(xù)有界函數(shù)向量，根據(jù)式(11)、式(12)，有

基于反饋線性化原理，設計外環(huán)動態(tài)逆控制律為

對于文中變質(zhì)心再入飛行器，det(B1)≠0，故存在。將式(14)代入式(10)，外環(huán)模型可寫為

定義外環(huán)跟蹤誤差:

式中 x1d為外環(huán)姿態(tài)指令，通常為階躍信號。

為實現(xiàn)系統(tǒng)的無靜差跟蹤，設計如下積分形式的滑模面:

結(jié)合式(15)，對式(17)進行微分，有

根據(jù)滑模面能達條件，采用如下指數(shù)趨近律:

可得:

式中 sgn(s1)=diag(sgn(s11)，sgn(s12)，sgn(s13));C11、C12、K1為待設計控制參數(shù)正定對角陣，由于對模型采用了反饋線性化處理，所以各通道控制參數(shù)可獨立設計。

由于系統(tǒng)不確定項Δf1、ΔB1不可測且上界未知，故將式(20)修正為如下自適應滑模控制律:

式中 Π1為更新率參數(shù)正定對角陣。

式(22)的推導見3.3節(jié)證明。于是，虛擬滑模控制律可設計為

3.2 內(nèi)環(huán)控制器設計

對于內(nèi)環(huán)不確定項，根據(jù)式(3)，考慮到質(zhì)量塊位移二階導數(shù)為非連續(xù)瞬時有界干擾。于是，內(nèi)環(huán)不確定項仍為一有界函數(shù)向量，即:

與外環(huán)控制回路類似，設計內(nèi)環(huán)動態(tài)逆控制律為

由于 det(B2)≠0，故 B－12恒存在。定義內(nèi)環(huán)誤差向量:

式中 x2d外環(huán)虛擬控制量。

設計內(nèi)環(huán)滑模面，使內(nèi)環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)x2跟蹤虛擬控制量x2d。取

采用指數(shù)趨近律，直接給出內(nèi)環(huán)自適應滑?？刂坡蔀?/p>

式中K2為待設計控制參數(shù)正定對角陣為虛擬控制量的變化率，可通過對x2d進行一階濾波獲得。

式中 Π2為更新率參數(shù)正定對角陣，其推導見3.3節(jié)證明。

于是實際控制指令為

由于外環(huán)虛擬控制量x2d與實際狀態(tài)量x2存在偏差e2，于是式(18)可修正為

根據(jù)退步控制思想，偏差C11B1e2需通過實際控制量u在內(nèi)環(huán)控制中消除，以保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。因此，將控制律式(30)修正為

3.3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

定理:對仿射攝動模型(10)，在系統(tǒng)不確定性滿足式(13)、式(24)的條件下，采用式(23)和式(32)所設計的控制律，以及自適應律式(22)、式(29)，則閉環(huán)系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的。

證明:選取如下Lypunov函數(shù):

對式(33)求導，結(jié)合式(23)、式(31)和式(32)，有

由于系統(tǒng)不確定項滿足式(13)和式(24)，并將自適應律式(22)和式(29)代入式(34)，有

由式(35)可知，閉環(huán)控制系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的。為了消除滑?？刂频念澱瘳F(xiàn)象，將符號函數(shù)替換為如下連續(xù)函數(shù):

4 仿真驗證

以某變質(zhì)心再入飛行器為對象，驗證本文方法所設計的自適應滑模退步控制器性能。

飛行器質(zhì)量及總體參數(shù)為:mC=100 kg，L=1.2 m，S=0.5 m2，IC=diag(20，100，100)。變質(zhì)心機構參數(shù)為 mA=mB=5 kg，|lymax|=|lzmax|=0.2 m。飛行器氣動力拉偏值為20%，殼體質(zhì)心偏差為lC=(0.001，0.001，0)Tm，變質(zhì)心機構安裝位置偏差 lCA=(0.1，0，0)Tm，lCB=(－0.101，0，0)Tm。

假設飛行器在高度25 km時飛行速度為2.5 km/s，初始姿態(tài)角為 γ0=10°，ny0=nz0=0。圖 3、圖 4 分別給出了跟蹤階躍過載指令和正弦過載指令的三通道控制曲線。部分控制參數(shù)如下:

圖3 變質(zhì)心再入飛行器階躍指令自適應滑模退步控制曲線Fig.3 Curves of adaptive sliding mode backstepping control for step command

圖4 變質(zhì)心再入飛行器正弦指令自適應滑模退步控制曲線Fig.4 Curves of adaptive sliding mode backstepping control for Sinusoidal command

分析圖3、圖4曲線，可得到以下結(jié)論:

(1)過載指令為階躍信號時，采用自適應滑模退步控制，對于標稱模型和攝動模型，滾轉(zhuǎn)通道調(diào)節(jié)時間小于0.5 s，法向和側(cè)向過載調(diào)節(jié)時間小于0.6 s，各通道穩(wěn)態(tài)誤差小于0.4%。

(2)過載指令為正弦信號時，采用自適應滑模退步控制，對于標稱模型和攝動模型，滾轉(zhuǎn)通道調(diào)節(jié)時間小于0.5 s，法向和側(cè)向過載跟蹤誤差減小到5%以內(nèi)的時間小于1 s，各通道跟蹤誤差小于0.7%。

(3)本文設計的自適應滑模退步控制，有效克服了變質(zhì)心再入飛行器各類不確定項的影響，控制系統(tǒng)具有較高的快速性、魯棒性及穩(wěn)定性。

5 結(jié)論

以變質(zhì)心/氣動舵復合控制再入飛行器為研究對象，選取工程中實際可測的過載與姿態(tài)角速度為狀態(tài)量，基于反饋線性化和退步控制技術，分別設計了過載回路與角速度回路的滑?？刂坡?，具有以下特點:

(1)針對氣動參數(shù)變化以及變質(zhì)心控制引入的慣性力矩、慣量耦合、機構安裝偏差等各類不確定因素，在其上界未知的情況下，通過自適應調(diào)節(jié)滑模趨近律符號項增益，來補償其對系統(tǒng)的影響;

(2)當系統(tǒng)存在較大不確定性時，所設計控制器仍具有較高的快速性、魯棒性及穩(wěn)定性。

［1］Woolsey C A.Reduced Hamiltonian dynamics for a rigid body coupled to a moving point mass［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2005，28(1):131-138.

［2］Vaddi S S.Moving mass actuated missile control using convex optimization techniques［C］//AIAA Guidance，Navigation and Control Conference and Exhibit.Colorado，2006-6575.

［3］Vaddi S S，Menon P K，Sweriduk G D.Muhistepping approachto finite-interval missile integraed control［J］.Joumal of Guidance，Control and Dynamics，2006，29(4):1015-1019.

［4］林鵬，周軍，周鳳岐.基于變質(zhì)心控制的再入飛行器機動能力分析［J］.航天控制，2009，27(1):7-9，40.

［5］徐國民，李天舒，張曉宇，等.質(zhì)量矩控制導彈的建模與運動分析［J］.哈爾濱工程大學學報，2011，32(12):1588-1593.

［6］魏鵬鑫，高長生，荊武興.質(zhì)量矩控制飛行器的壓心不確定性問題研究［J］.航天控制，2012，30(2):39-45.

［7］高長生，荊武興，于本水，等.質(zhì)量矩導彈構型及自適應控制律設計［J］.航空學報，2010，31(8):1593-1599.

［8］Jonathan Rogers，Mark Costello.Control authority of a projectile equipped with a controllable internal translating Mass［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2008，31(5):1323-1333.

［9］張曉宇，王子才.質(zhì)量矩攔截彈的H∞魯棒控制研究［J］.哈爾濱工程大學學報，2008，29(1):634-640.

［10］李瑞康，荊武興，高長生，等.再入彈頭質(zhì)量矩復合控制系統(tǒng)設計［J］.航天控制，2009，27(4):43-48，52.

［11］畢開波.旋轉(zhuǎn)質(zhì)量矩彈頭雙環(huán)滑模變結(jié)構姿態(tài)控制［J］.彈道學報，2009，21(4):51-55.

［12］趙紅超，王亭，范紹里.變質(zhì)心自旋彈頭的建模及自適應滑?？刂疲跩］.科技導報，2009，27(5):43-46.

［13］陳宇，董朝陽，王青，等.基于自適應模糊滑模退步控制的直接力/氣動力復合控制導彈自動駕駛儀設計［J］.航空學報，2007，28(增刊):141-145.

［14］高長生，荊武興，李君龍.基于自適應反演法的質(zhì)量矩導彈控制律設計［J］.兵工學報，2011，32(6):686-690.