張雄偉

陜西榆林學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用系，陜西 榆林 719000

現(xiàn)實(shí)世界是復(fù)雜以至于人們不能及時(shí)、直接地理解，于是人們創(chuàng)造了實(shí)際的“模型”，對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的某些方面進(jìn)行簡(jiǎn)化。于是在1999年，Molodtsov D在文獻(xiàn)[1]介紹了軟集的概念，開(kāi)始發(fā)展一種新的方法作為研究不確定性模型的理論。最近，Shabir和Naz在文獻(xiàn)[2]中提出了軟開(kāi)集、軟閉集、軟閉包、軟內(nèi)點(diǎn)、點(diǎn)的軟鄰域和軟分離公理，并介紹了它們的基本性質(zhì)，對(duì)軟拓?fù)淇臻g上軟Ti(i=1,2,3,4)，軟正規(guī)空間和軟正則空間作了詳細(xì)闡述。在文獻(xiàn)[3]，Min W K指出了文獻(xiàn)[2]中的注4是錯(cuò)誤的，并且給出了具體的例子闡述這一問(wèn)題，基于文獻(xiàn)[2-3]，本文提出了軟Urysohn空間和軟T5空間的概念，給文獻(xiàn)[2]中的注4提供一個(gè)正確的例子，研究了諸軟分離公理之間的關(guān)系。

1 預(yù)備知識(shí)

下面給出一些關(guān)于軟集的有關(guān)知識(shí)。

定義1.1[1]X上的一個(gè)軟集是一個(gè)偶對(duì)（這里E是一個(gè)非空參數(shù)集），且M:E→2X是一個(gè)映射，X上的軟集的全體記為：(2X)E。

定義1.2[2]每一個(gè) A∈2X，定義 (?,E)∈(2X)E如下(i)=A?(?e∈ E)；把和?認(rèn)為是一樣的 ?(?x∈X)。每一個(gè) (M,E)∈(2X)E,定 義 (M′,E)∈(2X)E如 下 ：M′(e)=XM(e)?(?e∈ E) ；有 時(shí) 使 用 (M,E)′（resp.?）代 替 (M′,E)（resp.(?,E)）。

定義1.3[2]設(shè) X是一個(gè)集合，T?(2X)E。(X,T,E)稱(chēng)為X的一個(gè)軟拓?fù)淇臻g，若T對(duì)任意并運(yùn)算和有限非空交元算關(guān)閉，T稱(chēng)為X的一個(gè)軟拓?fù)?，T中的成員稱(chēng)為軟開(kāi)集，對(duì)每一個(gè)(M,E)∈T,(M′,E)稱(chēng)為一個(gè)軟閉集。={(M,E)?(N,E(N,E)∈T′}，明顯地對(duì)每一個(gè) e∈E ，集族Te={M(e)|(M,E)∈T}是 X上的一個(gè)拓?fù)?。?duì)每一個(gè)(M,E)∈(2X)E，有 (ˉ,E。這里(e)=，對(duì)每一個(gè)e∈E，指 M(e)在 Te中的閉包。

定理1.1[3]（1）設(shè)(X,T,E)是一個(gè) X上的軟拓?fù)淇臻g。若 (X,T,E)是一個(gè)軟T3空間，則對(duì)每一個(gè) x∈X,(x?,E)是軟閉的。

（2）軟T3空間是軟T2空間。

在下文，若沒(méi)有提到和解釋的概念，有關(guān)軟拓?fù)淇臻g的一些概念和性質(zhì)可以在文獻(xiàn)[2]中找到。

2 軟Urysohn空間和軟T5空間

本章先給出軟Urysohn空間和軟T5空間的概念。

定義2.1設(shè)(X,T,E)是X上的軟拓?fù)淇臻g，?x,y∈X且 x≠y，若存在軟開(kāi)集(M,E)和(N,E)使得 x∈(M,E),y∈(N,E)(X,T,E)稱(chēng)為是一個(gè)軟Urysohn空間。

定義2.2設(shè)(X,T,E)是X上的軟拓?fù)淇臻g，?(M,E),(N,E,X)∈(2X)E滿足下面條件：，若存在軟開(kāi)集 (P,E,X)和 (Q,E,X)使得T,E)稱(chēng)為是一個(gè)軟完全正規(guī)空間。(X,T,E)稱(chēng)為是一個(gè)軟T5空間，若它是一個(gè)軟完全正規(guī)空間且是一個(gè)軟T1空間。

本章的主要結(jié)果如下：

定理2.1設(shè)(X,T,E)是一個(gè)軟拓?fù)淇臻g。

（1）若(X,T,E)是一個(gè)軟T5空間，則(X,T,E)是一個(gè)軟T4空間。

（2）若 (X,T,E)是一個(gè)軟Urysohn空間，則 (X,Te)是一個(gè)Urysohn空間 ?(?e∈ E)。

（3）若(X,T,E)是一個(gè)軟Urysohn空間且Y是 X上的一個(gè)非空子集，則(X,TY,E)是一個(gè)軟Urysohn空間。

（2）?x,y∈Y且 x=y，由于(X,T,E)是一個(gè)軟Urysohn空間，存在軟開(kāi)集(M,E)∈T和(N,E)∈T使得 x∈(M,E),一個(gè)Urysohn空間 (?e∈E)。（3）?x,y∈Y 且 x=y，則存在軟開(kāi)集 (M,E)∈T 和是一個(gè)Y上的軟閉集，記(MY,E)和所以(X,TY,E)是一個(gè)軟Urysohn空間。

定理2.2（1）若(X,T,E)是一個(gè)軟T3空間，則(X,T,E)是一個(gè)軟Urysohn空間。

（2）若 (X,T,E)是一個(gè)軟Urysohn空間，則 (X,T,E)是一個(gè)軟T2空間。

證明（1）設(shè)(X,T,E)是一個(gè)軟T3空間。首先，對(duì)每一個(gè) x∈X和每一個(gè)開(kāi)軟集(M,E)滿足 x∈(M,E)，存在開(kāi)軟集(N,E)滿足 x∈(N,E)使得。事實(shí)上，設(shè) x∈X 和 (F,E)∈T 滿足 x∈(F,E)，則 x∈(F,E)′∈T′，因此(X,T,E)是一個(gè)軟T3空間，存在軟集(M,E)和(N,E)滿足 x∈(M,E)和其次，由定理2.1可知(X,T,E)是軟T2空間，設(shè) x≠y，則存在軟開(kāi)集(M,E)和 (N,E)滿足 x∈(M,E)和 y∈(N,E)使得因此，存在開(kāi)軟集 (P,E)滿足 x∈(P,E)使得且存在開(kāi)軟集 (Q,E)滿足 y∈，因此(X,T,E)是一個(gè)軟Urysohn空間。

（2）容易證明，略。

注1（1）若(X,T,E)是一個(gè)軟正規(guī)空間，則(X,T,E)不一定是一個(gè)軟正則空間。

（2）若(X,T,E)是一個(gè)軟正規(guī)空間，且Y是 X的一個(gè)非空子集，則(X,TY,E)不一定是一個(gè)軟正規(guī)空間。事實(shí)上，設(shè) (Y,TY,E)不是一個(gè)軟正規(guī)空間，∞?Y，設(shè) X=可以證明(X,T,E)是一個(gè)軟拓(F,E,X)和 (G,E,X)是 X上的軟閉集滿足(G,E,X)=?，則其中之一不含∞，不妨設(shè)為(F,E,X)，所以 (F′,E,X)=?，因此 (F,E,X)=?，則存在軟開(kāi)集 ??和T,E)是一個(gè)軟正規(guī)空間。

（3）文獻(xiàn)[2]中注5①一個(gè)軟T4空間不一定是軟T3空間。

②若(X,T,E)是一個(gè)軟T4空間，則對(duì)每一個(gè)e∈E，(X,Te)不一定是T4空間。

③若(X,T,E)是一個(gè)軟T4空間，且Y是 X的一個(gè)非空子集，則(X,TY,E)不一定是一個(gè)軟T4空間。

可以證明文獻(xiàn)[2]中注5的陳述是正確的，但是它的例子是不正確的，即文獻(xiàn)[2]中例10是不正確的。因?yàn)榇嬖谲涢_(kāi)集?滿足 h4∈?，但 hi∈=1,2,3)，因此 (X,T,E)不是一個(gè)軟T1空間，所以(X,T,E)不是一個(gè)軟T4空間。

下面給出正確的例子：

例2.1設(shè)X={1 ,2,3,4},E={e1,e2},T={?,?,(F1,E),(F2,E),…,(F22,E)},這里的

則可以證明(X,T,E)是軟正規(guī)空間且是軟T1空間。即(X,T,E)是一個(gè)軟T4空間，但不是T3空間，因?yàn)?∈?和(F3,E)′是 X的一個(gè)軟集滿足1?(F3,E)′，所有軟開(kāi)集(Fi,E)?(i=1,2,3,19,20,21,22) 和滿 足 1∈(Fi,E) 和1∈?, 所 有 軟 開(kāi) 集 (Fj,E)?(j=8,17) 和?滿 足，即不存在軟開(kāi)集 (F,E)和(G,E)滿足,因此每一個(gè)軟T4空間不必是一個(gè)軟T3空間。

現(xiàn)在由于 Te2={?,X,{1,2,3},{1,4},{2,3},{1}}，因?yàn)?≠3，所有的開(kāi)集{2,3},{1,2,3}和 X滿足 2∈{2,3},2∈{1,2,3}且2∈X也包含元素3，所以(X,Te2)不一定是一個(gè)T1空間，因此(X,Te2)不一定是一個(gè)T4空間。

取 Y={1,2,3},則 TY={?,?(FY1,E),(FY2,E),…,(F12,E)}。這里的

則容易證明(X,T,E)是一個(gè)軟T1空間，但不一定是一個(gè)軟正規(guī)空間，因?yàn)?FY2,E)′和(FY5,E)′是Y上的兩個(gè)軟閉集，使得所有軟開(kāi)集 (FYi,E)(i=1,4,5,8,10)和?滿足i和和存在軟開(kāi)集 (FY,E)和?滿足2和但是,即不存在 Y 上的軟開(kāi)集 (F,E)和 (G,E)滿足(F,E)和使得因此一個(gè)軟T4的子空間不一定是軟T4空間。

3 軟分離性的各種關(guān)系

在本章，作為本文的結(jié)束，將給出幾種分離關(guān)系如下：

定理3.1 T5?T4?T3? 軟Urysohn空間?T2?T1?T0；T5?軟完全正規(guī)空間?軟正規(guī)空間?軟正則空間。

證明由定理1.1、定理2.1～2.2、注2.1以及文獻(xiàn)[2]，易知定理3.1是成立的。

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