保正玉

（江蘇省南通市平潮高級中學，南通 226311）

在中學數(shù)學中蘊含著許多可以拓廣或推廣的材料，可用來讓學生在探究中提出問題。有意識地組織學生進行探究學習,定能有效地提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

1.深入研究教材例題，適時對教材例題進行拓展延伸，一題多問，活躍思維

一題多問是訓練學生串聯(lián)解題能力的邏輯推理方法，通過多問訓練，可使學生對某一概念或規(guī)律逐漸深化、升華發(fā)展，它是活躍和的最好的形式。教材中的例習題對數(shù)學問題的解決起著示范啟迪的作用，將例習題設(shè)計成探究問題進行課堂教學,對學生的做法進行歸類分析,從單一的求解過程提升到類型問題的思考方法和步驟,可以形成思維定勢的正遷移,從而發(fā)揮例習題的問題探究效能。

案例1：《蘇教版》選修2—1，第3.1.4節(jié)“空間向量的坐標表示”教材設(shè)置的例2：已知空間四點 A（-2，3，1），B（2，-5，3）,C(1 0,0,1 0)和 D（8，4，9），求證：四邊形 A B C D是梯形。

筆者有幸聽了江蘇省宿遷市泗陽致遠中學顏老師的一堂課，顏老師在處理例2時首先引導(dǎo)學生探索出證明空間四點構(gòu)成梯形的思路，然后巧妙的借助多媒體，利用幾何畫板在空間直角坐標系中作出了四點A B C D構(gòu)成的四邊形，讓學生直觀的認識了這四點構(gòu)成圖形的特征，加深了學生對該題的印象。然后，顏老師充分發(fā)掘例題的價值，在例2的基礎(chǔ)上提出了三個引人入勝的探究問題：

（1）已知空間三點A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(1 0,0,1 0)，若平行四邊形A B C E是平行四邊形，如何求點E的坐標？

（2）在梯形A B C D中如何求直線A D和B C的交點坐標？

（3）試判斷原點O是否在平面A B C D內(nèi)？

這三個探究一環(huán)扣一環(huán)，馬上引起了學生的熱烈討論，學生的探究熱情高漲，而且這三個探究問題不僅鞏固了本節(jié)課的坐標表示的定義，同時也復(fù)習鞏固了之前學習的空間向量共線定理和共面定理，達到了知識點前后呼應(yīng)，實現(xiàn)課堂教學的高效率。

2.對課堂例題的解題過程進行研究，利用一題多解，開闊學生思路

在數(shù)學解題過程中，我們可以根據(jù)不同層次學生的智能水平，進行一題多解的訓練，達到拓寬學生思路的目的。許多問題都可以通過一題多解的訓練，幫助學生挖掘問題與問題間內(nèi)在聯(lián)系，提高學生求異思維的能力。

案例2：蘇教版必修5，第2.2.3節(jié)“等差數(shù)列的前n項和”教材設(shè)置的例5：某種卷筒衛(wèi)生紙繞在盤上，空盤時盤芯直徑4 0 m m，滿盤時直徑1 2 0 m m.已知衛(wèi)生紙的厚度為0.1 m m，問：滿盤時衛(wèi)生紙的總長度大約是多少米（精確到1 m）？

該題書本是利用等差數(shù)列的求和公式給出解答的，在2 0 1 1屆高三復(fù)習模擬試卷中也出現(xiàn)了相同的問題，但是，發(fā)現(xiàn)很多學生已經(jīng)忘記了如何利用等差數(shù)列去解決這道題，很多學生雖然知道應(yīng)該用等差數(shù)列去解決，卻無法正確的構(gòu)造出相應(yīng)等差數(shù)列的首項與公差，從而導(dǎo)致最終結(jié)果的錯誤。

不過，在評講的過程中，學生卻提出了更好的解決辦法：

將整盤時的衛(wèi)生紙沿著一條母線剪開，將所有的衛(wèi)生紙平鋪開，設(shè)紙筒高度為h m m,衛(wèi)生紙的總長度為x m m，則此時可將衛(wèi)生紙視為以x m m、0.1 m m、h m m分別為長、寬、高的長方體，其體積等于剪開前衛(wèi)生紙的體積。于是，利用等積法可以很快的得出求衛(wèi)生紙的總長度l的計算式：0.1 h x=π6 02h-π2 02h，從而可以很快的計算出衛(wèi)生紙的總長度。

非常巧妙，兩種不同的解法運用兩種完全不同的知識點都能夠解決該題。所以在講解課堂例題時，應(yīng)該對解題過程進行研究，利用一題多解開拓學生的思路，激發(fā)學生學習數(shù)學的濃厚興趣。

3.充分利用典型例題，一題多變，激發(fā)學生學習興趣

在數(shù)學教學中，很多老師在課后給學生布置除書上練習題和習題以外的大量習題，使學生感到負擔很重。教師可以從書上的習題入手，進行演變，逐漸加深。讓學生有規(guī)律可尋，循序漸進。日積月累過后，學生解題能力自然提高，對于從未見過的新題也會迎刃而解。

案例3、已知圓O：x2+y2=4，求：斜率為1的切線方程；

變題①過點M（2，4）的切線方程。

②你會求切點弦A B的的方程嗎？

③若 M（x0，y0）為圓 x2+y2=r2外一點，你能模仿上例推出關(guān)于切點弦的一般性結(jié)論嗎？

以問題鏈的形式提出新的問題，注意到了結(jié)合學生的實際學情，立足顯示水平，挑戰(zhàn)學生的潛在能力。通過這種變式訓練，給教學注入了生機和活力，對發(fā)揮學生的主動性和參與性又起到了很好的促進作用，激發(fā)了學生的探究欲望和探究熱情。

4.對課堂例題深度挖掘，一題多編，引導(dǎo)學生“經(jīng)歷”數(shù)學

弗賴登塔爾認為:數(shù)學教育方法的核心是學生的“再創(chuàng)造”，數(shù)學實質(zhì)上是人們常識系統(tǒng)化，每個學生都可能在一定的指導(dǎo)下，通過自身實踐來獲得知識。學生自己“發(fā)現(xiàn)”數(shù)學就會學得更好，讓學生經(jīng)歷數(shù)學化的過程，這是教學的根本需要。

案例4、已知圓O：x2+y2=1，直線l：y=k x+2與圓O交于A、B兩點，若O→A·O→B=0，求直線的方程。

變題：若圓 O上存在點 C，使O→C=O→A+O→B，求直線的方程及對應(yīng)的點C的坐標。

在此基礎(chǔ)上，我們可以要求學生改變例3的條件或結(jié)論，自己編出相應(yīng)的問題，教師則把時間交給學生自主學習和討論，自己適時的給一些學生以指導(dǎo)。

學生很快編出下列問題：

（1）若O→A·O→B>0，求 k的范圍；

（2）若O→A與O→B的夾角為銳角，求k的取值范圍；

（3）當△A O B面積最大時，求直線l的方程；

（4）設(shè)直線l交y軸于點P，若A是P B中點，求直線l的方程；

（5）設(shè)直線 l交 y軸于點 P，若P→B=λP→A，求實數(shù) λ 的取值范圍等等。

由此，我們不能不感嘆學生的能力，學生具有豐富的想象力和創(chuàng)造力，我們不能總認為學生什么都無法自己解決，我們必須給學生展示自己的空間，為學生養(yǎng)成良好的學習習慣打下了基礎(chǔ)。

綜上，數(shù)學教師在教學過程中應(yīng)不斷轉(zhuǎn)變觀念，堅持以人為本的教育理念，給學生發(fā)展以最大的空間；克服教學過程過分強調(diào)知識傳承和技能訓練的傾向，將教學的重點更加側(cè)重于學生獲得知識的過程，讓學生主動參與、探究發(fā)現(xiàn)、合作交流，培養(yǎng)學生積極主動學習的愿望和能力，更深層次的激發(fā)學生學習數(shù)學、應(yīng)用數(shù)學的欲望，促進學生數(shù)學認知結(jié)構(gòu)和數(shù)學能力的發(fā)展。