鄭均杰

（解放軍92785部隊(duì)，秦皇島066000）

0 引 言

波束形成是陣列信號處理的重要組成部分，在雷達(dá)、聲納、無線通信等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。其主要目的是有效地提取信號，同時可以最大限度地抑制干擾和噪聲。對于經(jīng)典理論而言，Capon波束形成在一定條件下有較好的性能，但在實(shí)際工程中，由于陣列天線并非理想化，陣元之間的誤差、互耦等影響都會導(dǎo)致模型失配，致使Capon波束形成的性能下降。為此，穩(wěn)健波束形成技術(shù)已逐漸成為理論和工程界關(guān)心的重要課題［1－4］。

1 Capon波束形成

對于一個具有M個陣元的陣列，R是陣列采樣協(xié)方差矩陣，設(shè)R＞0，且有：

式中：ak，k＝0，1，…K為第k個信號的方向向量；為第k個信號的功率；（·）＊為共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算；Q為噪聲項(xiàng)。

假設(shè)式（1）中第1項(xiàng)為信號。對于經(jīng)典Capon波束形成算法就是期望信號的方差最小且無畸變。其可以描述為：

應(yīng)用Lagrange乘數(shù)法，很容易得到以上問題的解：

另外，Capon波束形成也可以表示為協(xié)方差擬合的形式，即：

可以驗(yàn)證2種Capon波束形成的等價性。

協(xié)方差擬合Capon波束形成算法可以描述為：給定R和信號方向a0，將最大的σ2作為信號功率的估計，且滿足協(xié)方差矩陣的殘差非負(fù)定，即R－

2 穩(wěn)健接收波束形成

穩(wěn)健接收波束形成方法主要由A.B Gershman，R.Lorenz等提出，其優(yōu)化目標(biāo)是最不利情況下的信干噪比。下面介紹在DOA失配情況下穩(wěn)健接收波束形成方法［2］。

設(shè)信號的真實(shí)方向?yàn)閍0，期望方向?yàn)?，失配向量δ為：

通常認(rèn)為失配向量δ是有界的，即：

式中：ε為一常數(shù)，它表示了DOA估計可能出現(xiàn)的最大失配。

把經(jīng)典Capon波束形成做一些推廣：

把不失真約束拓展到真實(shí)信號方向所在的集合A上等價于對A中最不利情況下的方向進(jìn)行無失真約束［4－6］。

對式（8）進(jìn)行等價變形：

可以證明以上問題（10）可以轉(zhuǎn)化為：

將式（10）做一等價轉(zhuǎn)化：

式（12）可以看成一個二次錐規(guī)劃的問題。首先，把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，對R做Cholesky分解［6－7］：

利用上式，有：

優(yōu)化問題（12）可以改寫為：

為了方便運(yùn)算，需要把以上問題轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)形式，令：

式（15）可以表示為實(shí)值向量和矩陣形式：

顯然，上式是一個二次錐規(guī)劃，可以直接用凸優(yōu)化工具求解，則最優(yōu)權(quán)值可以由下式計算得到：

為了更加深入地分析問題的本質(zhì)，現(xiàn)在考慮等價的等式約束問題：

借助Lagrange方法，構(gòu)造Lagrange函數(shù)：

式中：v為Lagrange乘子。

可以得到：

由：

式中：Rs為信號協(xié)方差矩陣；Ri＋n為干擾加噪聲協(xié)方差矩陣。

由于信號干擾加噪聲比（SINR）是權(quán)向量的任意尺度變換的不變量，因此，上式可以轉(zhuǎn)化為：

從而有：

從式（24）可以看到，對于穩(wěn)健Capon波束形成問題可以歸結(jié)為對角加載問題。但與傳統(tǒng)的固定系數(shù)對角加載不同，穩(wěn)健Capon波束形成問題的加載系數(shù)是ε／‖w‖，其直接與ε相關(guān)，可以認(rèn)為，這樣的對角加載是與信號的DOA失配相匹配的。因此，穩(wěn)健Capon波束形成就成了如何求得加載系數(shù)，即歸結(jié)到如何求得‖w‖，則：

對式（25）兩邊取范數(shù)平方，可以得到：

令τ＝‖w‖＞0，式（26）可以轉(zhuǎn)化為：

為了簡化上式，對R做特征分解R＝UΓU＊，代入到以上等式中，可得：

考慮到τ＞0，這樣τ的求解問題就轉(zhuǎn)化為：

方程f（τ）＝0的根就在上，其中：

應(yīng)用牛頓迭代算法，可以直接求得‖w‖，根據(jù)式（25）可以求得信號DOA失配與干擾加噪聲的權(quán)值。

3 仿真

以均勻線陣進(jìn)行仿真。信號和噪聲設(shè)為零均值復(fù)高斯過程，對于第k個信號，其信噪比為：

最優(yōu)信噪比由下式給出：

仿真中對比的算法如下：經(jīng)典Capon波束形成算法，縮寫為 “Standard CB”；穩(wěn)健接收波束形成算法［8－9］，縮寫為 “Ellip－Uncertainty RCB”。

采用10陣元線性陣列，陣元間距為半波長。期望信號（SOI）位于0°，信噪比10dB；2個干擾位于25°和50°，信噪比為20dB，噪聲方差為1。

（1）無角度失配

信號DOA精確已知情況下各波束形成器的接收方向圖（N＝1 000）如圖1所示，各波束形成器輸出的SINR與數(shù)據(jù)長度之間的關(guān)系（100次獨(dú)立仿真的結(jié)果）如圖2所示，各波束形成器輸出的SINR與期望信號信噪比（SNR）之間的關(guān)系（100次獨(dú)立仿真的結(jié)果，N＝200）如圖3所示。

圖1 信號DOA精確已知情況下各波束形成器的接收方向圖

圖2 信號DOA精確已知情況下各波束形成器輸出的SINR與數(shù)據(jù)長度之間的關(guān)系

圖3 信號DOA精確已知情況下各波束形成器輸出的SINR與期望信號SNR之間的關(guān)系

（2）存在1°角度失配

信號DOA失配1°情況下各波束形成器的接收方向圖（N＝1 000）如圖4所示，各波束形成器輸出的SINR與數(shù)據(jù)長度之間的關(guān)系（100次獨(dú)立仿真）如圖5所示，各波束形成器輸出的SINR與期望信號SNR之間的關(guān)系（100次獨(dú)立仿真，N＝200）如圖6所示。

圖4 信號DOA失配1°情況下各波束形成器的接收方向圖

圖6 信號DOA失配1°情況下各波束形成器輸出的SINR與期望信號SNR之間的關(guān)系

從仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)信號DOA精確已知時，經(jīng)典Capon算法和圓約束下的穩(wěn)健波束形成算法均具有良好的波束，即在0°方向上形成主峰，在25°和50°方向上形成凹陷；當(dāng)信號DOA出現(xiàn)1°角失配時，經(jīng)典Capon算法在0°方向形成凹陷，這可能會造成信號的漏檢，而圓約束下的穩(wěn)健波束形成算法在失配情況下，依舊在0°信號方向形成主峰。另外，圓約束下的穩(wěn)健波束形成算法的各波束形成器輸出信噪比接近于理想情況，且隨觀測數(shù)據(jù)和輸入信噪比變化明顯優(yōu)于經(jīng)典Capon算法。

4 結(jié)束語

仿真驗(yàn)證了空域?yàn)V波穩(wěn)健Capon波束形成算法的性能。在實(shí)際環(huán)境中，精確測得期望信號DOA通常是不可能的，當(dāng)信號DOA出現(xiàn)失配、局部相干和非相干散射等情況時，穩(wěn)健接收波束形成算法的顯著優(yōu)于經(jīng)典的Capon波束形成算法。仿真說明，穩(wěn)健波束形成方法在陣列流型失配和少觀察數(shù)據(jù)量下具有穩(wěn)健的性能。

［1］Gershman A B，Sidropoulos N D，Shahbazpanahi S，Bengtsson M，Ottersten B.Convex optimization－based beamforming［J］.IEEE Signal Processing Magazine，2010，27（3）：62－75.

［2］Vorobyov S，Gershman A B，Luo Z Q.Robust adaptive beamforming using worst－case performance optimization：A solution to the signal mismatch problem［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2003，51（2）：313－324.

［3］Vorobyov S，Gershman A B，Luo Z Q，Ma N.Adaptive beamforming with joint robustness against mismathched signal steering vector and interference nonstationary［J］.IEEE Signal Processing Letter，2004，11（1）：108－111.

［4］Shahbazpanahi S，Gershman A B，Luo Z Q.Robust adaptive beamforming for general－rank signal models［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2003，51（5）：2257－2269.

［5］Vorobyov S，Chen H，Gershman A B.On the relationship between robust minimum variance beamformings with probablilistic and worse－case distortionless response constraints［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2008，56（3）：5719－5724.

［6］Lorenz R，Boyd S P.Robust minimum variance beamforming［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2005，53（2）：1684－1696.

［7］Stoica P，Wang Zhisong，Li Jian.Robust Capon beamforming［J］.IEEE Transactions on Signal Processing Letters，2003，10（6）：172－175.

［8］Li J，Stoica P，Wang Z.On robust Capon beamforming and diagonal loading［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2003，51（3）：1702－1715.

［9］Capon J.High resolution frequency－wavenumber spectrum analysis［J］.IEEE Signal Processing Magazine，1969，57（5）：1408－1418.