趙懷東

(山西焦煤集團(tuán)有限責(zé)任公司 計(jì)劃發(fā)展部，山西 太原030024)

1 隧道工程結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)模型

地下工程的設(shè)計(jì)理論和方法經(jīng)歷了一個(gè)相當(dāng)長的發(fā)展過程。早在19 世紀(jì)初期，地下工程（包括隧道和地下洞室）對(duì)以磚石作為襯砌，用木支撐的分布開挖方法進(jìn)行施工， 這樣設(shè)計(jì)的襯砌結(jié)構(gòu)的厚度偏大。隨著社會(huì)的發(fā)展，科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，地下工程的科技人員提出了不同的設(shè)計(jì)計(jì)算方法。 如溫克爾提出了局部變形理論，假定了圍巖對(duì)襯砌結(jié)構(gòu)的抗力的大小與襯砌結(jié)構(gòu)本身的變形大小成正比；還有將襯砌和圍巖作為一體的連續(xù)介質(zhì)設(shè)計(jì)分析模型，用彈性力學(xué)的方法進(jìn)行分析。 20 世紀(jì)50 年代，在地下工程的修建中，噴射混凝土和錨桿作為初期支護(hù)得到了廣泛應(yīng)用，這樣的柔性支護(hù)使開挖后的洞室圍巖有一定的變形，圍巖內(nèi)部的應(yīng)力重新分布，但是圍巖能夠發(fā)揮自穩(wěn)性，這樣可以大大減小襯砌結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)厚度。 20 世紀(jì)60 年代，隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展和巖土本構(gòu)關(guān)系的建立，地下工程結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)分析進(jìn)入了以有限元為主的計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬分析時(shí)期。

國際隧道協(xié)會(huì)于1978 年成立了結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)模型研究小組， 收集了各會(huì)員國所采用的地下工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)模型[1-2]（如表1）。

表1 隧道及地下工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)模型

其中： NATM——新奧法（New Austria Tunneling Method）

FEM——有限元法（Finite Element Method）

2 隧道襯砌荷載效應(yīng)的隨機(jī)有限元原理

2.1 基本假定

假定襯砌為小變形梁，襯砌為足夠多個(gè)離散等厚度直梁?jiǎn)卧?/p>

用布置于模型各節(jié)點(diǎn)上的彈簧單元來模擬圍巖與結(jié)構(gòu)的相互作用性，彈簧單元不承受拉力，受拉力將自動(dòng)脫落，彈簧的彈性系數(shù)由Winkler 假定為基礎(chǔ)的局部變形理論確定， 一般采用地層的彈性抗力系數(shù)K 值，再計(jì)算得出模擬結(jié)構(gòu)與地層相互作用間彈簧的彈性系數(shù)。

拱底作用相同的豎向反力來平衡地面荷載、土壓以及結(jié)構(gòu)自重。

因?yàn)樗淼朗羌?xì)長結(jié)構(gòu)，采用平面應(yīng)變模式進(jìn)行分析[3]。

2.2 隨機(jī)有限元基本原理

在整體坐標(biāo)系下，有限元方法的基本公式如下：

其中K、U、F 分別為剛度矩陣、位移、荷載向量。

當(dāng)材料性質(zhì)、幾何尺寸和荷載作用具有隨機(jī)變化的性質(zhì)時(shí)上式就成為具有隨機(jī)性質(zhì)的矩陣位移分量的隨機(jī)有限元表達(dá)式

設(shè)具有隨機(jī)變化性質(zhì)的某一參數(shù)Z 用一個(gè)確定值Z0和一個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)動(dòng)量αZ0的和來表示，即Z=Z0(1+α)。 其中α 為均值為零的隨機(jī)場(chǎng)，反映了參數(shù)Z 的隨機(jī)性。 Z0一般為均值。 將α 離散化為隨機(jī)向量{α}，則函數(shù)K、U、F 為隨α 而變的隨機(jī)函數(shù)，將分別在α=0 處按泰勒級(jí)數(shù)展開，略去二階以上的項(xiàng)，則有：

式中：N 表示隨機(jī)變量的總數(shù)，上式帶入上上式，略去含有3、4 階項(xiàng)，并運(yùn)用二階攝動(dòng)法即可得到如下的遞推公式：

在求出對(duì)α 的二階微分后，便可以求出節(jié)點(diǎn)位移的均值和方差：

其中um和un分別為U 的第m 個(gè)和第n 個(gè)分量。 同樣，由內(nèi)力與位移的關(guān)系可求得內(nèi)力得均值和協(xié)方差[4]。

3 隨機(jī)有限元法計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度的步驟

利用隨機(jī)有限元計(jì)算襯砌結(jié)構(gòu)可靠度的步驟如下：

1）建立功能極限函數(shù)

對(duì)于隧道結(jié)構(gòu)可靠度而言，采用最大抗拉強(qiáng)度，單元極限狀態(tài)方程為：

g(x)=R(x)-S(x)=σL-σ1

其中，σL—為材料的抗拉強(qiáng)度

σ1—為單元的最大拉應(yīng)力

2）劃分網(wǎng)格，建立離散化模型

隨機(jī)有限元法分析結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)的可靠度，需要將隨機(jī)場(chǎng)離散化為隨機(jī)場(chǎng)單元，其劃分網(wǎng)格的方法和要求與有限元計(jì)算類似，除了需要考慮物體內(nèi)部應(yīng)力變化的劇烈程度以外，還要考慮物體內(nèi)部隨機(jī)場(chǎng)（或隨機(jī)變量）的變異性和相關(guān)結(jié)構(gòu)。一般來說，隨機(jī)場(chǎng)單元與有限單元可以共享一套網(wǎng)格，一個(gè)隨機(jī)場(chǎng)單元可以包含若干個(gè)有限單元，以便減少計(jì)算工作量。

3）準(zhǔn)備數(shù)據(jù)信息。 輸入基本變量的均值、標(biāo)準(zhǔn)差等。

4）進(jìn)行隨機(jī)變量抽樣。

5）代入上述計(jì)算公式，計(jì)算安全余量。

6）迭代計(jì)算可靠指標(biāo)。

4 計(jì)算實(shí)例

設(shè)混凝土襯砌隧洞的橫截面如圖1 所示，其內(nèi)半徑ri=3.0m，襯砌厚度0.5m，埋深25m，承受0.5MPa 的荷載作用，各隨機(jī)變量及其統(tǒng)計(jì)特征見表2。

表2 隨機(jī)變量及其統(tǒng)計(jì)特征

泊松比取為定植，圍巖取值0.25。在邊界荷載下，計(jì)算隧洞周邊各單元的可靠指標(biāo)。

圖1 混凝土襯砌單元圖

采用四節(jié)點(diǎn)等參隨機(jī)有限元法計(jì)算，由于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，左邊算得的結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)列于表3：

表3 混凝土襯砌單元的結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)

由表中的計(jì)算結(jié)果可以看出：隧洞頂部、底部單元的可靠指標(biāo)較低，中部單元的可靠指標(biāo)較高；隧道周邊單元的可靠指標(biāo)均在3.6 以上，能滿足一般工程的要求。

5 結(jié)論

本文利用荷載結(jié)構(gòu)原理和隨機(jī)有限元基本原理，建立了隧道可靠度的功能函數(shù)， 以某混凝土襯砌為例， 采用ANSYS 軟件進(jìn)行編程計(jì)算，利用四節(jié)點(diǎn)等參隨機(jī)有限元法計(jì)算了該隧道襯砌單元抗拉強(qiáng)度的可靠指標(biāo)。 計(jì)算結(jié)果表明，利用該方法計(jì)算隧道結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)是可行的。

［1］武清璽.結(jié)構(gòu)可靠性分析及隨機(jī)有限元法[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005.

［2］李權(quán).ANSYS 在土木工程中的應(yīng)用[M].北京：人民郵電出版社，2005.

［3］畢忠偉，丁德馨，饒龍.工程可靠度的隨機(jī)模擬次數(shù)[J].水利水運(yùn)工程學(xué)報(bào)，2005（1）：44-46.

［4］畢忠偉，丁德馨，宋會(huì)蓮.地下工程可靠度的研究進(jìn)展及趨勢(shì)[J].礦業(yè)開發(fā)與研究，2004（3）：27-30.