朱維兵　晏靜江

摘要：有限元法已廣泛應(yīng)用于工程實(shí)際的各領(lǐng)域中，已成為強(qiáng)有力的數(shù)值計(jì)算工具。本文結(jié)合筆者在實(shí)踐教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)和思考，從教學(xué)目的、教學(xué)模式和教學(xué)內(nèi)容的選擇、教學(xué)方法的改進(jìn)以及考核方式等方面進(jìn)行了探討和總結(jié)，著力增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)有限元法課程的興趣，提高教學(xué)效果，培養(yǎng)采用有限元法解決實(shí)際工程設(shè)計(jì)問題的能力。

Abstract： Widely used in various fields of engineering practice， finite element method has become a powerful numerical tool. This article， combined with the practical teaching experience and thinking of the author， the teaching objective， the choice of teaching mode and teaching content， teaching method improvement， and the appraisal way are discussed and summarized. The course objective focuses on enhancing students interest in learning the finite element method， and improving the quality of teaching， training students ability of solving engineering problem with finite element software.

關(guān)鍵詞：有限元法；教學(xué)方法；工程實(shí)踐

Key words： finite element method；teaching method；engineering practice

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1006-4311（2016）30-0111-03

0 引言

有限元法起源于50年代中期，是求解各種復(fù)雜數(shù)學(xué)問題最有效的數(shù)值計(jì)算方法之一，是在求解彈性力學(xué)問題的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，可以分析固體力學(xué)、流體力學(xué)、傳熱學(xué)、電磁學(xué)等領(lǐng)域的復(fù)雜工程問題[1]。目前，有限元法已經(jīng)發(fā)展成為一種在工程設(shè)計(jì)中廣泛應(yīng)用的分析方法。有限元法課程是為西華大學(xué)機(jī)械類專業(yè)碩士研究生開設(shè)的一門重要專業(yè)選修課，主要介紹有限元法的起源、基本思想和應(yīng)用領(lǐng)域；有限元分析軟件的發(fā)展歷程、功能和計(jì)算分析步驟，用有限元法分析的工程問題；利用彈性力學(xué)求解平面問題原理，介紹有限元法的基本原理，包括單元插值函數(shù)的構(gòu)造、單元分析、整體分析、載荷施加與約束簡化；軸對稱問題的有限元法；等參單元的優(yōu)缺點(diǎn)及應(yīng)用；基于穩(wěn)態(tài)傳熱原理的加權(quán)余量有限元法；同時結(jié)合工程結(jié)構(gòu)實(shí)際分析應(yīng)用，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)或?qū)嶋H應(yīng)用及參加科研項(xiàng)目工作打下基礎(chǔ)。經(jīng)過多年的教學(xué)實(shí)踐，積累了一些體會和認(rèn)識，現(xiàn)就課程的教學(xué)目的、教學(xué)模式和教學(xué)內(nèi)容的選擇、教學(xué)方法的改進(jìn)以及考核方式等方面進(jìn)行了探討和總結(jié)。

1 明確教學(xué)目的

西華大學(xué)機(jī)械類碩士生有限元法課程的教學(xué)目的，是從數(shù)學(xué)力學(xué)基礎(chǔ)、有限元軟件、工程應(yīng)用幾個方面開展教學(xué)工作，使學(xué)生從較高層次（數(shù)力原理）上掌握有限元方法的基本原理，熟練使用有限元分析軟件，具備初步分析工程設(shè)計(jì)問題的能力；給學(xué)生提供一個自主建模分析的優(yōu)良環(huán)境；以培養(yǎng)研究生的綜合素質(zhì)和創(chuàng)新能力。結(jié)合工程實(shí)際，精選和設(shè)計(jì)具有代表性的課堂Project，在國際上先進(jìn)的有限元分析軟件平臺（如ANSYS）上，進(jìn)行幾何建模、單元劃分、約束處理、外載處理、參數(shù)設(shè)定、計(jì)算設(shè)定以及結(jié)果分析等環(huán)節(jié)的教學(xué)。

2 選擇合理的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)模式

開設(shè)有限元法課程，在介紹抽象的有限元分析理論和方法的同時，必須與實(shí)際工程問題分析相結(jié)合。教學(xué)效果取決于在教學(xué)過程中如何找到平衡點(diǎn)，提高教學(xué)效果的關(guān)鍵在于教學(xué)內(nèi)容的廣度、深度和適應(yīng)度的把握。

關(guān)于有限元法課程的教學(xué)模式，一般有兩種：側(cè)重于分析理論的教學(xué)和學(xué)習(xí)，目的是培養(yǎng)理論研究能力；側(cè)重于工程實(shí)際應(yīng)用的教學(xué)和學(xué)習(xí)，目的是培養(yǎng)工程技術(shù)應(yīng)用能力，教學(xué)內(nèi)容偏重于有限元分析模型的建立、單元類型選擇及網(wǎng)格劃分、載荷施加、邊界條件簡化處理、收斂方法選擇及計(jì)算結(jié)果分析和應(yīng)用等[2]。第一種模式比較適合研究型或研究教學(xué)型大學(xué)采用，可在本科高年級或研究生基礎(chǔ)知識學(xué)習(xí)階段開設(shè)此課程，而第二種模式則適合教學(xué)研究型或教學(xué)型大學(xué)的本科和碩士生。西華大學(xué)機(jī)械類碩士生的培養(yǎng)目標(biāo)是培養(yǎng)具有較強(qiáng)工程實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力的高層次、復(fù)合型工程技術(shù)和工程管理人才，所以我們選用第二種教學(xué)模式。無論選擇哪種教學(xué)模式都必須注意，有限元法課程要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，處理好理論教學(xué)與工程實(shí)踐應(yīng)用的輕重關(guān)系。鑒于西華大學(xué)大多數(shù)機(jī)械類碩士生沒有彈性力學(xué)的基礎(chǔ)知識，因此課程的教學(xué)主要從以下幾個方面使學(xué)生得到訓(xùn)練。

2.1 有限元法基本原理及計(jì)算步驟

有限元法的基本思想，用簡單問題代替復(fù)雜問題：首先將連續(xù)分布結(jié)構(gòu)離散成數(shù)目有限的有限單元。各單元僅在有限個結(jié)合點(diǎn)處相聯(lián)，用單元組合體近似代替原來的連續(xù)結(jié)構(gòu)。在結(jié)點(diǎn)上引入等效結(jié)載荷代替作用在單元上的實(shí)際動載荷。對每個單元，選擇簡單的位移模式來近似地表達(dá)單元位移的分布規(guī)律，并按彈性力學(xué)的變分原理建立單元結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，即單元分析，最后把所有單元的這種關(guān)系集合起來，得到以所有結(jié)點(diǎn)位移為未知量的動力學(xué)方程組。給定初始條件和邊界條件，就可求解動力學(xué)方程。

對于不同數(shù)學(xué)模型和物理性質(zhì)問題，具有相同的基本分析步驟，但是具體公式和運(yùn)算求解方法是不相同的?；静襟E一般為：定義問題及求解域；離散求解域；狀態(tài)變量及控制方法的確定，將微分方程轉(zhuǎn)化為等價的泛函形式；構(gòu)造單元合適的近似解，即建立單元矩陣；整體總裝求解；求解聯(lián)立方程組和結(jié)果分析、應(yīng)用。

2.2 有限元軟件的使用

早在60年代，國內(nèi)外眾多機(jī)構(gòu)就開始開發(fā)有限元算法和分析程序，但真正比較成熟的有限元軟件誕生于70年代初期，而近30年則是有限元軟件商品化的快速發(fā)展階段。目前有通用有限元分析軟件（如ANSYS、MARC、ADINA等）、專用有限元分析軟件（如ADAMS等）和嵌套在CAD/CAE/CAM系統(tǒng)中的有限元分析模塊（如嵌套在I-DEAS、Pro/ENGINEER、UNIGRAPHICS等系統(tǒng)中的有限元分析模塊）。目前主流有限元軟件的發(fā)展特點(diǎn)主要表現(xiàn)在：與CAD三維建模軟件無縫集成，強(qiáng)大的自動網(wǎng)格劃分能力，由求解線性問題領(lǐng)域發(fā)展到非線性領(lǐng)域，由求解結(jié)構(gòu)場發(fā)展到多耦合場，程序具有二次開發(fā)功能。ANSYS有限元分析軟件通用性好，是融結(jié)構(gòu)、流體、電場、磁場、溫度場、聲場和醫(yī)學(xué)工程分析于一體的通用分析軟件，擅長于多物理場、線性和非線性問題的工程問題分析，在機(jī)械、材料成型、汽車、橋梁和建筑等領(lǐng)域應(yīng)用最廣。

本課程先介紹ANSYS有限元分析軟件的基本使用方法，然后通過后續(xù)的工程實(shí)例分析練習(xí)，使學(xué)生掌握軟件的基本使用及分析問題簡化、三維建模、單元劃分、載荷施加、約束的簡化、分析、感興趣結(jié)果的輸出、結(jié)果的理解判斷與應(yīng)用的一般步驟，熟悉有限元分析的整個過程。

2.3 典型工程分析案例剖析

近年來，隨著工程設(shè)計(jì)、科學(xué)研究等要求的不斷提高以及計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力的快速發(fā)展，有限元分析方法已成為解決復(fù)雜工程問題的重要分析手段，主要表現(xiàn)在：提高設(shè)計(jì)產(chǎn)品和工程的可靠性；在產(chǎn)品設(shè)計(jì)階段發(fā)現(xiàn)潛在的問題并加以改進(jìn)；經(jīng)過模擬分析計(jì)算，采用優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，降低產(chǎn)品設(shè)計(jì)成本；縮短產(chǎn)品開發(fā)周期；模擬物理試驗(yàn)，減少試驗(yàn)次數(shù)，從而降低試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)。

結(jié)合實(shí)際工程問題，介紹典型的工程分析案例，加深學(xué)生對有限元方法在實(shí)際工程應(yīng)用中的感性認(rèn)識。工程案例主要包括：結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)分析，主要包括靜、動態(tài)分析，結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，振動模態(tài)分析，齒輪接觸應(yīng)力分析，液壓單體沖激振動分析，曲屈和失穩(wěn)分析等；熱分析，主要包括柱塞密封摩擦副熱傳導(dǎo)分析、對流散熱分析和熱輻射分析等；流體分析，主要包括機(jī)械密封端面流場分析、熱固耦合分析等。

3 改進(jìn)教學(xué)方法

3.1 學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)

西方教育家夸美紐斯說：“興趣是創(chuàng)造一個歡樂光明的教學(xué)途徑之一。”激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，是“以學(xué)生為主體”的現(xiàn)代教學(xué)理念的落腳點(diǎn)[3]。我們在講授有限元法課程緒論時，通過公元3世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家劉徽提出的用割元法求圓周長的方法即是有限元基本思想的體現(xiàn)，以及“曹沖稱象”典故所反應(yīng)的離散逼近思想等，使學(xué)生對“有限元法”有感性認(rèn)知，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。同時，對發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題也有感性認(rèn)識。

有限元法在實(shí)際工程分析中的典型應(yīng)用，也可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。例如，1952年，Clough建立了由一維梁與桁架組拼成的delta翼模型來模擬結(jié)構(gòu)的振動和顫振分析；1990年，波音公司對新型客機(jī)B-777進(jìn)行無紙化設(shè)計(jì)，僅用三年多時間，就成功開發(fā)了新一代波音客機(jī)，這是設(shè)計(jì)、制造史上劃時代的成就，有限元分析起了相當(dāng)重要的作用。此外，利用有限元分析軟件，可以建立人體三維骨骼和肌肉等器官模型，并能夠模擬其生物力學(xué)特性。對模型進(jìn)行仿真，可模擬拉伸、彎曲、扭轉(zhuǎn)和疲勞等力學(xué)性能，從而掌握在不同工況下的變形、應(yīng)力、應(yīng)變分布及極限破壞等情況。這些都是“有限元法”的典型工程應(yīng)用案例。

3.2 注重實(shí)踐

有限元法涉及彈性力學(xué)、泛函分析、矩陣運(yùn)算和數(shù)值計(jì)算方法等，其中不乏有抽象、復(fù)雜晦澀的公式。因此，單純講解有限元分析理論，就會因?yàn)榉爆嵉墓酵茖?dǎo)，使學(xué)生對其有“望而生畏”的感覺。通過介紹有限元法在實(shí)際工程分析中的應(yīng)用，不但可加深其對基本原理的理解，而且可使其真正體會到有限元法解決工程分析問題的能力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，從而培養(yǎng)其利用有限元法分析具體問題的能力，提高課教學(xué)質(zhì)量。以往在教學(xué)過程中會花絕大部分課時講解理論基礎(chǔ)知識。

目前“有限元法”的教學(xué)資源比較缺乏，常用簡單平面問題及桿梁結(jié)構(gòu)很難讓學(xué)生掌握結(jié)構(gòu)簡化、有限單元選擇與網(wǎng)格劃分、邊界約束處理與載荷施加、計(jì)算結(jié)果分析等具體環(huán)節(jié)，缺少利用有限元技術(shù)解決實(shí)際工程問題的例子。為此，筆者結(jié)合承擔(dān)的多項(xiàng)項(xiàng)目的研究，對所研究的典型機(jī)械密封、鉆井篩箱、液壓單體以及機(jī)載設(shè)備安裝架等結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化處理，將案例分析引入到教學(xué)環(huán)節(jié)。通過介紹分析問題的來源及工程背景、篩箱動態(tài)特性分析、液壓單體沖激振動分析、安裝架拓?fù)鋬?yōu)化、機(jī)械密封流固耦合分析等，激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲。同時，通過后續(xù)的實(shí)際工程分析操作，讓學(xué)生掌握有限元分析的基本步驟，初步具備利用有限元軟件分析實(shí)際工程問題的能力。

3.3 多種教學(xué)手段結(jié)合

利用網(wǎng)絡(luò)資源、引進(jìn)多媒體和現(xiàn)代利用信息技術(shù)進(jìn)行教學(xué)手段和教學(xué)方法的改革，進(jìn)行多媒體課件的研制工作，完成了《有限元法分析》課程的多媒體課件，所用素材內(nèi)容豐富、經(jīng)典生動，學(xué)生反映良好，使用方便省時高效；使教師授課空間由二維的黑板擴(kuò)展到了更真實(shí)、自然的多維空間，為改革傳統(tǒng)的教學(xué)方法和教學(xué)手段提供了新的發(fā)展機(jī)遇。利用校園網(wǎng)提供的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺，為學(xué)生提供了教學(xué)課件、學(xué)習(xí)指導(dǎo)、復(fù)習(xí)思考題、練習(xí)題等大量的學(xué)習(xí)資源，節(jié)省了學(xué)時，提高了教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量，也培養(yǎng)了學(xué)生的自學(xué)能力。最后通過完成簡單工程問題的實(shí)際分析以達(dá)到熟練操作軟件的目的。

3.4 改革考核方式

本課程考核的重點(diǎn)是有限元基本原理及其在實(shí)際工程分析中的應(yīng)用?？紤]到課程教學(xué)內(nèi)容的應(yīng)用性強(qiáng)，課程的考核力求體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性和多樣性，重點(diǎn)考核學(xué)生運(yùn)用所學(xué)有限元原理、分析方法解決實(shí)際工程問題的能力。結(jié)合西華大學(xué)機(jī)械類研究生專業(yè)特點(diǎn)，精選出難度適中、具有代表性的實(shí)際工程分析問題，要求學(xué)生利用ANSYS軟件自主完成有限元建模和分析計(jì)算，并撰寫簡單的工程分析報告。此部分內(nèi)容側(cè)重考核學(xué)生獨(dú)立思考、工程分析和動手等綜合能力，單純依靠筆試難以實(shí)現(xiàn)。另外，課程考核中還包含要求學(xué)生根據(jù)所學(xué)專業(yè)、專長或根據(jù)導(dǎo)師科研的要求，選擇實(shí)際工程問題，撰寫出利用有限元軟件分析的初步技術(shù)路線。學(xué)生最終成績的評定將根據(jù)大作業(yè)、上機(jī)操作以及筆試等情況并按一定比例綜合評定。

4 結(jié)語

課程教學(xué)改革的關(guān)鍵在于更新教學(xué)理念。實(shí)踐新的教學(xué)理念，就必須從精選教學(xué)內(nèi)容，改革教學(xué)方法和手段以及注重工程實(shí)際應(yīng)用等方面著手。針對有限元法課程應(yīng)用性強(qiáng)的特點(diǎn)，筆者根據(jù)西華大學(xué)機(jī)械類碩士生的培養(yǎng)目標(biāo)，結(jié)合承擔(dān)的多項(xiàng)項(xiàng)目的研究成果，探索將最新分析成果融入教學(xué)內(nèi)容，通過典型機(jī)械密封、鉆井篩箱、液壓單體以及機(jī)載安裝架等實(shí)際的工程分析案例剖析，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，增強(qiáng)了學(xué)生對有限元方法在實(shí)際工程應(yīng)用中的感性認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生具備初步分析工程設(shè)計(jì)問題的能力，為后續(xù)的專業(yè)課程學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]王勖成.有限單元法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2003.

[2]安治國.機(jī)械有限元分析課程教學(xué)方法研究[J].青春歲月，2010（18）：56.

[3]吳翊.啟發(fā)式教學(xué)再認(rèn)識[J].中國大學(xué)教學(xué)，2011（1）：67-68.