王朝璇

求曲線的軌跡方程的過程中往往會(huì)產(chǎn)生“雜”點(diǎn)和“漏”點(diǎn)，下面就一些常見的問題說明如何剔“雜”補(bǔ)“漏”，保證軌跡方程的純粹性和完備性.

一、利用已知條件剔“雜”

例1 如圖，動(dòng)點(diǎn)[M]與兩定點(diǎn)[A（-1，0）]，[B（2，0）]構(gòu)成[ΔMAB]，且[∠MBA][=2∠MAB]，設(shè)動(dòng)點(diǎn)[M]的軌跡為[C].求軌跡[C]的方程.

解析 設(shè)[M]點(diǎn)的坐標(biāo)為[x，y]，

當(dāng)[∠MBA=90°]時(shí)，點(diǎn)[M]的坐標(biāo)為[2，±3].

當(dāng)[∠MBA≠900]時(shí)，[x≠2]，

由[∠MBA=2∠MAB]，

有[tan∠MBA=2tan∠MAB1-tan2∠MAB]，

即[-yx-2=2|y|x+11-（yx+1）2]，化簡后有[3x2-y2=3]，

而點(diǎn)[2，±3]也在曲線[3x2-y2=3]上.

點(diǎn)撥 剔“雜”：由已知條件[∠MBA=2∠MAB]有[x>0，y≠0].故軌跡[C]的方程為[3x2-y2=3x>1].

二、利用圖形剔“雜”

例2 如圖，橢圓[C0]：[x2a2+y2b2=1（a>b>0]，[a，b]為常數(shù)），動(dòng)圓[C1：x2+y2=t21]，[b

解析 設(shè)[Ax1，y1，]則[Bx1，-y1.]

又知[A1-a，0，A2a，0]，

則直線[A1A]的方程為[y=y1x1+ax+a]，①

直線[A2B]的方程為[y=-y1x1-ax-a]，②

①×②有，[y2=-y21x21-a2x2-a2]. ③

由點(diǎn)[Ax1，y1]在橢圓[C0]上，有[x21a2+y21b2=1]，

從而[y21=b21-x21a2]，代入③有[x2a2-y2b2=1].

點(diǎn)撥 剔“雜”：由圖形知，[xM<-a，yM<0]，故直線[AA1]與直線[A2B]交點(diǎn)[M]的軌跡方程為[x2a2-y2b2=1][x<-a，y<0].

三、利用曲線的定義剔“雜”

例3 動(dòng)圓[P]過點(diǎn)[N（-2，0）]，且與圓[M]：[（x-2）2+y2=8]外切，求點(diǎn)[P]的軌跡方程.

解析 設(shè)[P][（x，y）]，因?yàn)閳A[P]過點(diǎn)[N]，

所以[PN]是該圓的半徑，

又因?yàn)閯?dòng)圓[P]與圓[M]外切，

則[PM=PN+22]，即[PM-PN=22].

故所求的方程為[x22-y22=1].

點(diǎn)撥 剔“雜”：由定義知，點(diǎn)[P]的軌跡是以[M，N]為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為[22]的雙曲線的左支，其軌跡方程為[x22-y22=1（x-2）].

四、利用變量的取值范圍剔“雜”

例4 動(dòng)點(diǎn)[Px，y]滿足[x=1-t21+t2y=2t1+t2t∈R]，求點(diǎn)[P]的軌跡方程.

解析 聯(lián)想到三角中的萬能公式，顯然有[x2+y2=1].

點(diǎn)撥 剔“雜”：[x=1-t21+t2=-1+21+t2≠-1]，故點(diǎn)[P]的軌跡方程為[x2+y2=1x≠-1].

五、利用“[Δ]”剔“雜”

例5 已知雙曲線[x2-y22=1]，過點(diǎn)[A1，1]能否作直線[l]，使[l]與雙曲線交于[P，Q]兩點(diǎn)，并且[A]為線段[PQ]的中點(diǎn)？若存在，求出直線[l]的方程，若不存在，說明理由.

解析 假設(shè)符合條件的直線存在，設(shè)[Px1，y1]，[Qx2，y2]，

則[x21-y212=1]，[x22-y222=1].

兩式相減有[y1-y2x1-x2=2x1+x2y1+y2]，

又[A]為線段[PQ]的中點(diǎn)，

則[x1+x2=2]，[y1+y2=2].

所以直線[l]的斜率[k=y1-y2x1-x2=2].

故直線[l]的方程為[y-1=2x-1]，

即[2x-y-1=0].

點(diǎn)撥 剔“雜”： 聯(lián)立[y=2x-1x2-y22=1]，得[2x2-4x][+3][=0]，其[Δ=-8<0]，所求的直線不存在.

六、利用變量的制約條件剔“雜”

例6 在平面直角坐標(biāo)系[xOy]中，點(diǎn)[Pa，b][a>b>0]為動(dòng)點(diǎn)，[F1]，[F2]分別為橢圓[x2a2+y2b2=1]的左、右焦點(diǎn)，已知[ΔF1PF2]為等腰三角形.

（1）求橢圓的離心率[e]；

（2）設(shè)直線[PF2]與橢圓相交于[A，B]兩點(diǎn)，[M]是直線[PF2]上的點(diǎn)，滿足[AM?BM=-2]，求點(diǎn)[M]的軌跡方程.

解析 （1）容易求出橢圓的離心率為[e=12].

（2）因?yàn)閇e=12]，所以[a=2c]，[b=3c].

所以設(shè)橢圓方程為[3x2+4y2=12c2].

又[kPF2=ba-c=3]，

則直線[PF2]的方程為[y=3x-c].

設(shè)[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，

聯(lián)立方程組[3x2+4y2=12c2，y=3x-c]得，[5x2-8cx=0].

則有[x1+x2=85c，x1x2=0.] ①

進(jìn)而有[y1+y2-235c，y1y2=-95c2，] ②

因?yàn)閇AM?BM=-2]，

所以[x-x1x-x2+y-y1y-y2=-2]，

即[x2-x1+x2x+x1x2+y2-y1+y2y+y1y2]

[+2=0]，③

將①②代入③得，

[x2-85cx+y2+235cy-95c2+2=0]，④

消去參數(shù)[c]，將[c=x-33y]代入④并整理得，

[18x2-163xy-15=0].

點(diǎn)撥 剔“雜”：考慮題目中的隱含條件，將[y=18x2-15163x]代入[c=x-33y]，有[c=10x2+516x>0]，所以[x>0].因此點(diǎn)[M]的軌跡方程為[18x2-163xy-15=0][x>0].

七、根據(jù)直線的斜率存在與否補(bǔ)“漏”

例7 已知點(diǎn)[P0，5]及圓[C]：[x2+y2+4x-12y][+24=0].若直線[l]過點(diǎn)[P]且被圓[C]截得的線段長為[43]，求[l]的方程.

解析 設(shè)直線[l]的方程為[y-5=kx]，

即[kx-y+5=0]，

將圓方程[x2+y2+4x-12y+24=0]整理為

[x+22+y-62=16].

已知直線[l]被圓[C]截得的線段長為[43]，圓的半徑為4，

由垂徑定理知，圓心到直線的距離為2.

即[-2k-6+5k2+-12=2]，解得[k=34].

故[l]的方程為[3x-4y+20=0].

點(diǎn)撥 補(bǔ)“漏”：當(dāng)直線[l]的斜率不存在時(shí)，也滿足題意，此時(shí)方程為[x=0]，故直線[l]的方程為[3x-4y+20=0]或[x=0].

八、根據(jù)直線在坐標(biāo)軸上的截距的定義補(bǔ)“漏”

例8 求經(jīng)過點(diǎn)[P3，2]且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線[l]的方程.

解析 設(shè)直線[l]的方程為[xa+ya=1]，

將點(diǎn)[P3，2]的坐標(biāo)代入有，[3a+2a=1]，

解得[a=5]，

故直線[l]的方程為[x+y-5=0].

點(diǎn)撥 補(bǔ)“漏”：直線通過原點(diǎn)時(shí)，在兩坐標(biāo)軸上的截距為零，所以[2x-3y=0]亦滿足題意，故所求的直線方程為[2x-3y=0]或[x+y-5=0].

九、根據(jù)兩圓相切的定義補(bǔ)“漏”

例9 求與[y]軸相切于右側(cè)，并與圓[C]：[x2+y2-6x=0]也相切的圓的圓心的軌跡方程.

解析 圓[C]方程化為[x-32+y2=9]，

設(shè)動(dòng)圓圓心為[Px，yx>0]，圓[P]與[y]軸相切于點(diǎn)[M]，與圓[C]相切于點(diǎn)[N]，

所以[CP=PM+3]，即[x-32+y2=x+3]，

化簡得方程[y2=12xx>0].

點(diǎn)撥 補(bǔ)“漏”：上述解答是兩圓外切時(shí)的情形，還要考慮兩圓內(nèi)切時(shí)的情形.兩圓內(nèi)切時(shí)，點(diǎn)[M]，[N]均與原點(diǎn)重合，動(dòng)圓圓心在[x]軸的正半軸上且不與[C]點(diǎn)重合，滿足條件的還有[y=0][x>0且x≠3].故所求的軌跡方程為[y2=12xx>0]或[y=0][x>0且x≠3].

十、根據(jù)過點(diǎn)的切線的定義補(bǔ)“漏”

例10 求過曲線[y=x3-2x]上的點(diǎn)[P（1，-1）]的切線方程.

解析 由[y=3x2-2]，有[k=yx=1=1]，故切線方程為[y+1=x-1]，即[x-y-2=0].

點(diǎn)撥 補(bǔ)“漏”：要分辨“過點(diǎn)[P]的切線”和“在點(diǎn)[P]處的切線”的區(qū)別，在點(diǎn)[P]處的切線，一定以點(diǎn)[P]為切點(diǎn)，而過點(diǎn)[P]的切線，不一定以點(diǎn)[P]為切點(diǎn)，點(diǎn)[P]也不一定在已知曲線上.其正確解答為：設(shè)[Ax0，x30-2x0]為切點(diǎn)，切線的斜率[k=yx=x0=3x20-2]，所以切線方程為[y-][x30-2x0]=[3x20-2（x-x0）]，由點(diǎn)[P（1，-1）]在切線上，將其代入方程整理有[x0-122x0+1=0]，解得[x0=1]或[x0=-12]，故所求的切線方程為[x-y-2=0]或[5x+4y-1=0].